加速度的分量表達(dá)式

1、 §2、速度、加速度的分量表達(dá)式上一次課，我們?yōu)榱藢⑦\(yùn)動(dòng)的一些特征能直接的表示出來，而定義了速度和加速度， 。在一般情況下它們往往都是時(shí)間t的函數(shù)。何謂定義呢？定義它本身不是可以用什么方法或者數(shù)學(xué)手段加以證明得到的，而是根據(jù)實(shí)際需要常常用到而定義下來的名稱和概念。例如過兩點(diǎn)成一條直線。由于速度和加速度都是矢量，因此都可以將它們表示成分量的形式。這次課將準(zhǔn)備討論速度、加速度在各種坐標(biāo)系中的表達(dá)式。一、 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系又稱笛卡兒坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑可以寫成為： （1）根據(jù)速度的定義可知將（1）代入，則有1、速度： 于是，我們比較上面的等式，就可得到速度在直角坐標(biāo)系中

2、的分量表達(dá)式為：可見速度沿三直角坐標(biāo)軸的分量（即分速度）就等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)間t 的一階導(dǎo)數(shù)。速度的大小：速度的方向就用方向余弦來表示：。同理，我們由加速度的定義不難得到它的分量表達(dá)式。 2、加速度根據(jù)加速度的定義：比較這些恒等式可得加速度的直角坐標(biāo)分量表達(dá)式： 推薦精選 于是可得加速度的大小為：加速度的方向用方向余弦表示。如果質(zhì)點(diǎn)始終在某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，我們采用的坐標(biāo)是平面正交坐標(biāo)系的話，那么將上面的分量表達(dá)式中的某一分量去掉，剩下的就是平面正交坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式了。二、 平面極坐標(biāo)系在研究質(zhì)點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，除了可用平面正交坐標(biāo)系外，還可以采用平面極坐標(biāo)系。有時(shí)采用極坐標(biāo)系會(huì)比采用

3、平面正交坐標(biāo)系來計(jì)算問題要簡單的多，特別是在研究有心力作用的力學(xué)問題時(shí)，采用極坐標(biāo)就更顯示出它的優(yōu)越性。在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置是用極徑r和極角這兩個(gè)極坐標(biāo)來確定的。在平面極坐標(biāo)系中的單位矢量的取法與正交坐標(biāo)系的情形是不同的，在這里是沿矢徑方向上取一單位矢量為徑向單位矢量。在垂直矢徑方向上取一單位矢量就稱做橫向單位矢量。于是，在極坐標(biāo)中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑：。因?yàn)榈玫搅宋皇冈诰唧w的坐標(biāo)系中的表達(dá)式，然后根據(jù)速度和加速度的定義，相繼就可以推出它們在具體的坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式。所以，由速度的定義這個(gè)結(jié)果對不對？不對。為什么不對？，千萬要注意：這里的單位矢量與直角坐標(biāo)系中的單位矢量是不同的。盡管

4、這兒的單位矢量和的大小仍然等于是不變的，但是，它們的方向卻是隨時(shí)在變化的，因此它們不是恒矢量而是變矢量，既然是變量，它們對時(shí)間的微商當(dāng)然就不會(huì)等于了：所以上式中還有一項(xiàng)要考慮進(jìn)去。不能把它丟掉。所以，速度應(yīng)該等于：這兩項(xiàng)之和。下面我們先來計(jì)算推薦精選為了直觀起見，我們結(jié)合圖來討論（上課時(shí)添加一圖）。從圖上可以清楚地看到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從這位置移到這個(gè)位置時(shí)，單位矢量的方向都發(fā)生了變化，它們的變化量分別為和d。這兩個(gè)變化量都是由于單位矢量的方向的改變所引起的變化量，單位矢量的大小等于是不變的。于是我們就很容易得到徑向單位矢量對時(shí)間微商的大小：它的方向與與橫向單位矢相同。所以對時(shí)間的微商。同樣道理可以得到

5、橫向單位矢量對時(shí)間的微商。為什么這里要加一個(gè)負(fù)號呢？從圖上可以看到d的方向與的方向反向，所以這里要加上一個(gè)負(fù)號表示與的方向相反。將結(jié)果代入前式。則有：（）因?yàn)椋核俣仁鞘噶?，所以可以將它投影到徑向和橫向上去。得到徑向分速度和橫向分速度，就分別稱它們?yōu)閺较蛩俣群蜋M向速度，所以，它又恒等于于是，我們比較（）的兩個(gè)恒等式可見徑向速度分量：；橫向速度分量。這就是速度在平面極坐標(biāo)系的兩個(gè)分量表達(dá)式, 由此可得速度的大小為：我們結(jié)合上面的討論由（）式不難了解它們的物理意義：徑向速度是由位矢大小的變化引起的。我們對（）再求一次微商就能得到加速度在平面極坐標(biāo)中的分量表達(dá)式：=同樣道理，我們也可以將加速度沿徑向和

6、橫向分解成兩個(gè)分量，沿徑向的分量就用相應(yīng)的符號表示，沿橫向的加速度分量就用表示。所以上式又等于。我們就將此式的第一項(xiàng)叫做徑向加速度，第二項(xiàng)就叫做橫向加速度。由（）這個(gè)等式可見：徑向加速度的大小推薦精選, 橫向加速度的大小。故有加速度的大?。?。這里要我們引起注意的是：同學(xué)中往往容易把第二項(xiàng)給丟了，因?yàn)閺较蛩俣龋瑒t徑向加速度就等于極徑的二次微商 。這項(xiàng)只是由徑向速度大小的變化所引起的，所以我們除了要考慮這一項(xiàng)之外，還得考慮由于橫向速度的方向的改變所引起的另一項(xiàng)，它也是徑向的。這一點(diǎn)必須要記住，應(yīng)用時(shí)不要忘了第二項(xiàng)。我希望大家課外由去推導(dǎo)一下。通過推導(dǎo)不僅可以加深我們的印象，而且還能夠使我們在推導(dǎo)過

7、程中明確各項(xiàng)量的物理意義。三、柱坐標(biāo)系：接下去介紹一下與平面極坐標(biāo)有關(guān)的另一種空間坐標(biāo)系，即柱坐標(biāo)系。在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，我們就可以很省力地給出速度和加速度在柱坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式。對柱坐標(biāo)系我想大家還是比較熟的，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換關(guān)系大家都知道，即： 在三維空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置，在極坐標(biāo)系中是由這三個(gè)坐標(biāo)來確定的。我們從圖上可以看到，這三個(gè)柱坐標(biāo)就是由運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在空間任一點(diǎn)的位置在平面上垂足（即投影點(diǎn)M），它在這個(gè)平面內(nèi)的極坐標(biāo)（，）加上這個(gè)垂直坐標(biāo)而構(gòu)成的。所以，在柱坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑的具體表達(dá)式好不好寫呢？它只是比平面極坐標(biāo)系多了一個(gè)分量而已。位置矢徑就等于：（）這里的單

8、位矢量就如圖哪樣取。仿照平面極坐標(biāo)系的推導(dǎo)方法，就能很快地推出速度和加速度在極坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式：速度（）所以速度在這三個(gè)方向的分量分別為：。速度的大?。?。加速度就等于：則加速度的三個(gè)分量為：推薦精選，加速度的大?。何覀儚模ǎ?，（）兩式可以看出，速度，加速度在柱坐標(biāo)系中的分量只是比平面極坐標(biāo)系多了一個(gè)方向的分量。因此，只要記住了速度、加速度在平面極坐標(biāo)系中的分量式。那么，它們在柱坐標(biāo)中的分量式也就不難記住了。在平面極坐標(biāo)的速度和加速度的分量表達(dá)式一定要記住。接下去介紹速度，加速度在自然坐標(biāo)系中的分量式，也就是內(nèi)稟方程。四、自然坐標(biāo)系：內(nèi)稟方程在這里我們只研究平面運(yùn)動(dòng)的情況質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)的情

9、況。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在作平面曲線運(yùn)動(dòng)的情況下，采用自然坐標(biāo)系比采用極坐標(biāo)系，有時(shí)顯得更加方便一些。對自然坐標(biāo)大家是熟悉的。因?yàn)椋诹W(xué)基礎(chǔ)中已經(jīng)學(xué)過。什么是自然坐標(biāo)？請哪個(gè)同學(xué)回答。所謂的自然坐標(biāo)，就是在已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上取任一點(diǎn)做為原點(diǎn)，并規(guī)定軌跡的方向。質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置就用它相對質(zhì)點(diǎn)的曲線弧長來確定的，這個(gè)弧坐標(biāo)稱為自然坐標(biāo)。如果我們把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的切線和法線作為坐標(biāo)軸而建立坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系就叫做“自然坐標(biāo)系”。自然坐標(biāo)系的方位指向是隨著運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置的變化而變化的。在自然坐標(biāo)系中我們同樣可以將速度和加速度分解成切向和法向分量。今天我們不采用過去的推導(dǎo)方法，而采用更簡潔的方法得出同樣的結(jié)論

10、。推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)仍然是他們的定義。因?yàn)樵跇O限的情況下，的方向就是質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)軌跡的切線方向，所以我們可以用切線方向上的單位矢量來表示。路程對時(shí)間的變化率就是速率即速度的大小。所以根據(jù)加速度的定義有： 如果我們令軌道的切線和X軸的 夾角為的話，哪么我們套用前面 這一結(jié)果，就很容易地得到： 推薦精選 這里的是垂直與 指向曲線凹的一面的單位矢量即法向的單位矢量。為了使角量不在這個(gè)式子中出現(xiàn)，我們可以想辦法用其他的量代替它。我們可以將 寫成為： 這個(gè)比值我們由高等數(shù)學(xué)知識可知，它就等于曲線在該處的曲率，即該處曲率半徑的倒數(shù)： 于是可得切向加速度的大?。?（2）法向加速度的大小 (3) 由前面的推導(dǎo)可知切向

11、加速度是由速度的大小改變而引起的，法向加速度是由速度方向的改變所引起的。所以，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，切向加速度有可能等于0，而法向加速度不可能有等于零的情況的。由于和 都與坐標(biāo)系無關(guān)。只與軌道的本身性質(zhì)有關(guān)。因此，（2）（3）兩式有時(shí)也就稱為內(nèi)稟性方程。上面我們討論的前提是質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)。那么，所得到的結(jié)果對空間曲線運(yùn)動(dòng)能否適用呢？對這個(gè)回答是肯定的，它還能適用于空間曲線，在這里我們要碰到微分幾何學(xué)上的一個(gè)基本概念：密切平面，我們書上敘述比較繁，我們初次接觸往往不容易看懂，我用一句簡單的話幫助我們理解密切平面的概念。由確定的平面就是密切平面，如果我們用 表示切向單位矢量， 那么，的方向就是決定主

12、法線的方向，我們就用來表示主法線方向上的單位矢量。除了位于密切平面內(nèi)的主法線之外。還有一條垂直與切平面的副法線。副法線方向的單位矢量就用符號表示。它的方向由和的方向決定，用矢量式表示的話，則有：=×。遵循右手螺旋法則。所以在上圖應(yīng)該這樣畫（見上圖）。這個(gè)切向和主法線方向組成的平面也就是密切平面。由于加速度總是位于軌跡的密切平面內(nèi)，所以，加速度只有在切線方向和主法線方向上的分量，加速度在垂直于密切平面的副法線方向上的加速度分量必定是等于0的。最后再介紹一下球坐標(biāo)系中的速度和加速度。推薦精選五、球坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的位置是用球坐標(biāo)來表示的。這兒的三個(gè)單位矢量是 ，直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)得關(guān)系為： 所以，在球坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑可寫成為：=r+ r+同樣根據(jù)速度和加速度的定義可以求出球坐標(biāo)系中的速度和加速度的表達(dá)式：我將結(jié)果寫出來，推導(dǎo)過程就留給大家去做。作為這次課的作業(yè)。=+r+r=(rr)+ (r+2r)+(r+2+2r