概率統(tǒng)計(jì)常見題型及方法總結(jié)

1、常見大題：1. 全概率公式和貝葉斯公式問題B看做“結(jié)果”，有多個“原因或者條件”可以導(dǎo)致B這個“結(jié)果”發(fā)生，考慮結(jié)果B發(fā)生的概率，或者求在B發(fā)生的條件下，源于某個原因的概率問題全概率公式： 貝葉斯公式： 一（12分）今有四個口袋，它們是甲、乙、丙、丁，每個口袋中都裝有只紅球和只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再從乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再從丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后從丁口袋中任取一球，問取到紅球的概率為多少？解 表示從第個口袋放入第個口袋紅球，表示從第個口袋中任取一個球?yàn)榧t球， 2分則， 2分 2分依次類推 2分 二（10分）袋中裝有只正品硬幣，只次品硬幣（次品硬幣的

2、兩面均印有國徽），在袋中任取一只，將它投擲次，已知每次都出現(xiàn)國徽，問這只硬幣是次品的概率為多少？ 、解 記=取到次品，=取到正品，=將硬幣投擲次每次都出現(xiàn)國徽則，分 三、（10分）一批產(chǎn)品共100件，其中有4件次品，其余皆為正品。現(xiàn)在每次從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后放回，連續(xù)檢驗(yàn)3次，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗(yàn)時，一件正品被誤判為次品的概率為0.05，而一件次品被誤判為正品的概率為0.01。（1）求任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品的概率；（2）求這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率。解 設(shè) 表示“任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品”， 表示“任取一件產(chǎn)品是正品”，則，（1）由全概率公式得（2）這批

3、產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率為四、在電報通訊中不斷發(fā)出信號0和1，統(tǒng)計(jì)資料表明，發(fā)出0和1的概率分別為0.6和0.4，由于存在干擾，發(fā)出0時，分別以概率0.7和0.1接收到0和1，以0.2的概率收為模糊信號；發(fā)出1時，分別以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信號。（1）求收到模糊信號的概率；（2）當(dāng)收到模糊信號時，以譯成哪個信號為好？為什么？解 設(shè)=“發(fā)出信號”， =“收到信號”。由題意知， ， ， 。（1）由全概率公式得 4分。 2分（2）由貝葉斯公式得， 3分 3分2、 隨機(jī)變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨(dú)立性的判斷記住如下知識點(diǎn)：常見分布律和概率密度：一般正態(tài)分布的計(jì)算轉(zhuǎn)

4、化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機(jī)變量X:二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：聯(lián)合密度：掌握如下解決隨機(jī)變量函數(shù)分布的解題方法：對于二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，注意：除了求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的密度函數(shù)用公式： 注意：先寫出聯(lián)合密度:，根據(jù)聯(lián)合密度寫出或者，在平面x0z或者y0z上畫出被積函數(shù)不為零的區(qū)域，然后穿線通過區(qū)域確定x的上下限。他的函數(shù)Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：第一步 求聯(lián)合密度:，根據(jù)聯(lián)合密度寫出或者第二步 求z的分布函數(shù)：難點(diǎn)是畫出二重積分的積分區(qū)域，然后把二重積分化為二次積分定上下限，畫圖：先畫出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域，再確定區(qū)域與密度

5、非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域，穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個積分區(qū)域定內(nèi)限，求出分布函數(shù)第三步 求密度函數(shù)：分析：一、設(shè)總體服從上的均勻分布，是來自總體的一個樣本，最大順序統(tǒng)計(jì)量，1求隨機(jī)變量的概率密度；解：，其分布函數(shù)為而的分布函數(shù)為 ， 二、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（1）求常數(shù)的值；（2）求與的協(xié)方差。解 （1）由，得（2） 三（16分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 （1） 求邊緣密度函數(shù)，；（2） 求邊緣分布函數(shù)，；（3） 判斷與是否相互獨(dú)立；（4） 求。(1) ，當(dāng)0時，=0,于是=0當(dāng)0時， =， 所以的邊緣概率密度為=的邊緣概率密度 當(dāng)0時， =0當(dāng)0時

6、 = 4分（2） 4分（3）獨(dú)立 4分（3） 4分四（分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。當(dāng)時，當(dāng)時，所以的分布函數(shù)為 3. 中心極限定理的問題：用正態(tài)分布近似計(jì)算共兩類：一類是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算問題 ，即,這個公式給出了n 較大時二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。另一類是除二項(xiàng)分布之外的其他分布的獨(dú)立變量連加和的計(jì)算問題，設(shè)獨(dú)立同分布，近似有連加和服從正態(tài)分布： 一、 (14分) 設(shè)糧倉內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個服從泊松分布的隨機(jī)變量，且倉內(nèi)無鼠的概率為。（1）寫出隨機(jī)變量的分布律；（2）試用中心極限定理計(jì)算，在200個同類糧倉內(nèi)老鼠總數(shù)超過350只的概率。解 （1）； 5分（2）表示任意老鼠個

7、數(shù)，由中心極限定理 3分 3分 3分二、（分）某保險公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜而向保險公司索賠的數(shù)。（1）寫出的概率分布；（2）求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。解 （1），（2），根據(jù)棣莫佛拉普拉斯中心極限定理 三（10分）某銀行的柜臺替每一位顧客的服務(wù)時間（單位：分鐘）服從參數(shù)的指數(shù)分布，且各位顧客的服務(wù)時間是相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計(jì)算，對100位顧客的總服務(wù)時間不超過240分鐘的概率。解 設(shè)分別表示每一位顧客的服務(wù)時間，則它們相互獨(dú)立相同分布，且 - 5分 點(diǎn)估計(jì)的問題：矩估計(jì)和似然估計(jì)似然函數(shù)

8、的構(gòu)造：例題分析：一、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來自的樣本，1求的矩估計(jì)量；矩估計(jì)法:，令, => 2 求的最大似然估計(jì)量；3 判斷，是否為無偏估計(jì)解：最大似然估計(jì)法：設(shè)為樣本的觀察值，則似然函數(shù)為，按似然估計(jì)的思想，當(dāng) 似然函數(shù)關(guān)于 是增函數(shù)，故。的最大似然估計(jì)量為。二（10分）設(shè)為樣本，總體的概率密度為求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；問它是否為的無偏估計(jì)量 解設(shè)是相應(yīng)的樣本值，則似然函數(shù)為= 令 為無偏估計(jì)量 三、設(shè)是總體的樣本, 的概率密度為其中.求和的最大似然估計(jì)量。設(shè)是的樣本值, 則似然函數(shù), 當(dāng)（）時, , 令顯然, 第二個等式是矛盾等式, 所以由上述似然方程求不出和. 由于,

9、 這表明是的嚴(yán)格遞增函數(shù), 注意到（）, 因此當(dāng)時最大. 于是和的最大似然估計(jì)值, , 于是和的最大似然估計(jì)量為, .四、（10分）設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù)。設(shè)為總體的樣本。（1）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；（2）判斷是否為的無偏估計(jì)量。解 （1）設(shè)是的觀測值, 則似然函數(shù)為 ， 。令 ，得，解得的最大似然估計(jì)量為 （2）由于，是的無偏估計(jì)量。五（10分）設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布，其概率密度為 其中為未知參數(shù)，今隨機(jī)抽取5只，測得壽命如下： 1150，1190，1310，1380，1420 求電池的平均壽命的最大似然估計(jì)值。解 似然函數(shù)， 3分 3分令得 2分 2分六、設(shè)總體X的概率密度

10、為其中是未知參數(shù).設(shè)為總體的樣本.求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解 矩估計(jì)且 ，令，則從而的矩估計(jì)量最大似然估計(jì)設(shè)是的樣本觀測值, 則似然函數(shù)為. 取對數(shù)得，令，得，解得 ,所以, 的最大似然估計(jì)量為 .七、設(shè)總體的分布律為， ， 其中為未知參數(shù)。現(xiàn)抽得一個樣本：，求參數(shù)的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。解 ，由，即，得參數(shù)的矩估計(jì)值為統(tǒng)計(jì)量的分布判斷問題：主要利用性質(zhì)：獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一 、設(shè)是正態(tài)總體的樣本， 1試問服從什么分布（指明自由度）？且獨(dú)立，2假定，求的分布。, ,又和相互獨(dú)立，故二設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，分別記為的樣本均值和樣本方差，求

11、的分布。解 ，且與相互獨(dú)立，所以， 由于，且與相互獨(dú)立，因此由分布的定義得三、 ， .(1) 證明都是的無偏估計(jì)量；（2）判斷中哪一個估計(jì)量更有效.利用卡方分布：四設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，記，求統(tǒng)計(jì)量的分布？5、 設(shè)為X的樣本，求統(tǒng)計(jì)量的分布.六、設(shè)總體，是X的樣本，統(tǒng)計(jì)量，（）服從分布，求參數(shù)的值和的分布的自由度。解 由，得且相互獨(dú)立，即，且相互獨(dú)立。于是且相互獨(dú)立。所以當(dāng)時，該分布的自由度為2。假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理，弄懂上分位數(shù)的含義，在密度曲線圖上用分位數(shù)給出各個分布的大概率區(qū)域和小概率 區(qū)域能夠從圖上用分位數(shù)標(biāo)出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)

12、域 ，。1（10分）某工廠生產(chǎn)銅線，根據(jù)長期積累的數(shù)據(jù)知，銅線的折斷力服從正態(tài)分布，方差為。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機(jī)抽取根，測得折斷力如下：，問該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動性有無顯著變化？ 檢驗(yàn)假設(shè)， 統(tǒng)計(jì)量，則當(dāng)為真時， 拒絕域?yàn)榛颉?現(xiàn)在， 由于，即該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較，其波動性無顯著變化。 2（8分）在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中, 隨機(jī)地抽取6塊, 測量其抗斷強(qiáng)度(單位MPa)分別為3.366 3.106 3.264 3.287 3.122 3.205設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布, 問能否認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度是3.250MPa？（顯著性水平）、解 3分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域

13、3分算得 2分接受3（10分）某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量（單位：噸）服從正態(tài)分布，今測得5天的產(chǎn)量分別為785，805，790，790，802。問是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？ （?。?解 假設(shè) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-5分拒絕域 ，接受 -4.是來自正態(tài)總體的樣本，其中參數(shù)和均未知，對于參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間，試問當(dāng)減少時該置信區(qū)間的長度如何變化？答：則的置信度為1 的置信區(qū)間置信區(qū)間的長度，當(dāng)樣本容量給定時，減小的值會增大的值，相應(yīng)地變長。5、（10分） 某燈泡生產(chǎn)車間為考察燈泡的壽命，從生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取25只，測得平均壽命小時，標(biāo)準(zhǔn)方差小時。假設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，（1

14、）求總體方差的置信水平為95%的置信區(qū)間；（2）在顯著性水平條件下能否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時？解 （1），。的置信水平為95%的置信區(qū)間為（2）在檢驗(yàn)水平為5%的條件下檢驗(yàn)假設(shè) ，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，當(dāng)原假設(shè)時，；該假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)橛蓷l件得 由于，因此接受原假設(shè)，即在檢驗(yàn)水平為5%的條件下可以認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時。6. 假設(shè)某種產(chǎn)品來自甲、乙兩個廠家，為考查產(chǎn)品性能的差異，現(xiàn)從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件產(chǎn)品，測其性能指標(biāo)X得到兩組數(shù)據(jù)，經(jīng)對其作相應(yīng)運(yùn)算得 假設(shè)測定結(jié)果服從正態(tài)分布，1在顯著性水平下，能否認(rèn)為？2求的置信度為90%的置信區(qū)間，并從置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系角度分析甲乙兩廠生產(chǎn)產(chǎn)品的性能指標(biāo)有無顯著差異。解 (1) 檢驗(yàn)假設(shè) 拒絕域?yàn)?由