考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化資料-極限(應(yīng)用)

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料 一份好的考研復(fù)習(xí)資料，會(huì)讓你的復(fù)習(xí)力上加力。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【高等數(shù)學(xué)-極限（應(yīng)用）知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，同時(shí)中公考研網(wǎng)首發(fā)2017考研信息，2017考研時(shí)間及各科目復(fù)習(xí)備考指導(dǎo)、復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為2017考研學(xué)子提供一站式考研輔導(dǎo)服務(wù)。模塊二 極限（應(yīng)用） 教學(xué)規(guī)劃【教學(xué)目標(biāo)】1、系統(tǒng)總結(jié)高等數(shù)學(xué)中涉及到極限計(jì)算的考點(diǎn)2、全面掌握通過(guò)極限計(jì)算解決高等數(shù)學(xué)各類問(wèn)題的方法【主要內(nèi)容】1、函數(shù)連續(xù)性和間斷點(diǎn)的討論2、導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)可導(dǎo)性的討論3、漸近線的計(jì)算4、多元函數(shù)極限的討論5、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)和全微分【重難點(diǎn)】1、導(dǎo)數(shù)定義式的推廣及可導(dǎo)性的討論2、多

2、元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)及可微的判斷與討論 知識(shí)點(diǎn)回顧一一元函數(shù)1連續(xù)性1）連續(xù)性的定義a.在一點(diǎn)連續(xù)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)：在點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值在點(diǎn)的左極限等于右極限并等于函數(shù)值當(dāng)自變量的該變量無(wú)限縮小時(shí)，因變量的該變量也無(wú)限縮小的圖像在點(diǎn)是“連續(xù)”的，沒(méi)有“間斷”b.左（右）連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)左（右）連續(xù)：在點(diǎn)的左（右）極限值等于函數(shù)值c.在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)，在處右連續(xù)，在處左連續(xù)2）函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在若左右極限相等但不等于函數(shù)值，則稱之為可去間斷點(diǎn)；若左右極限不相等則稱之為跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一

3、個(gè)不存在若左右極限中至少有一個(gè)為無(wú)窮大量，則稱之為無(wú)窮間斷點(diǎn)。3）重要公式、定理a.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四則運(yùn)算：設(shè)均在某區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)，都在上連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)均在其定義域上連續(xù)，且有，則是上的連續(xù)函數(shù)。反函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是它的反函數(shù)，則是上的連續(xù)函數(shù)。b.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)：由函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或是復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)。初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)都在其定義域內(nèi)連續(xù)。2導(dǎo)數(shù)與微分1）導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在的鄰域內(nèi)有定義，給自變量在處加上增量，相應(yīng)的得到因變量的增量。如果極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，該極限值稱為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或.導(dǎo)數(shù)的定義式還可以寫成2）左（右）導(dǎo)

4、數(shù)函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)定義為右導(dǎo)數(shù)的定義類似。定理：函數(shù)函數(shù)在處可導(dǎo)的充要條件是在處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.3）微分設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，如果因變量的增量可以表示為其中為只與有關(guān)而與無(wú)關(guān)的常數(shù)，表示的高階無(wú)窮小量，則稱在處可微，并稱為在處的微分，記作或，即。3函數(shù)的漸近線1）垂直漸近線()如果某函數(shù)在處的左右極限中至少有一個(gè)等于或，則稱為該函數(shù)的垂直漸近線。2）水平漸近線()如果有或，則稱為函數(shù)的水平漸近線。3）斜漸近線()如果有或，則稱為函數(shù)的斜漸近線。求函數(shù)斜漸近線的方法：）計(jì)算； ）再計(jì)算二多元函數(shù)1二重極限定義：設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于任意的，總存在正數(shù)使得當(dāng)

5、時(shí)有，則稱在點(diǎn)的極限為，記作或。2連續(xù)性定義：如果是函數(shù)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，且有成立，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。反之，不連續(xù)的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn)。3偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，把固定在而在處有增量，相應(yīng)的函數(shù)有增量，而如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作。類似地，可以定義函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作。4全微分定義：如果函數(shù)在點(diǎn)的全增量可表示為，其中，僅依賴于而與，無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，而稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作，即。5可微、可導(dǎo)與連續(xù)定理：如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且。注：在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，且可導(dǎo)必連續(xù)。在二元函數(shù)中，可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)

6、存在）不一定連續(xù)，也不一定可微。但由上述定理可知：可微一定連續(xù)，可導(dǎo)。關(guān)于可導(dǎo)與可微的關(guān)系，我們還有如下定理：定理：如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。這四個(gè)概念的關(guān)系可以形象地用如下的韋恩圖來(lái)表示 考點(diǎn)精講一連續(xù)、間斷點(diǎn)以及間斷點(diǎn)的分類【例1】：設(shè)函數(shù)問(wèn)為何值時(shí)，在處連續(xù)；為何值時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)？答案：時(shí)在處連續(xù)；時(shí)是的可去間斷點(diǎn)【例2】：函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是（ ）（A）0 （B）1 （C）（D）答案：【例3】：函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)數(shù)為(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 答案：【例4】：求函數(shù)=的表達(dá)式，并指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型答案：，是的可去間斷點(diǎn)；是的無(wú)窮間

7、斷點(diǎn)【例5】：求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.答案：間斷點(diǎn)為，為無(wú)窮間斷點(diǎn)；，為可去間斷點(diǎn)【例6】：求函數(shù)所有的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.答案：，振蕩間斷點(diǎn)；，無(wú)窮間斷點(diǎn)；，跳躍間斷點(diǎn)二可導(dǎo)與可微1對(duì)導(dǎo)數(shù)定義式的直接考查【例7】：設(shè)是連續(xù)的并且，令，試討論在處的可導(dǎo)性。答案：在處不可導(dǎo)【例8】：設(shè)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并且。（1）試確定的值，使連續(xù)；（2）計(jì)算并討論的連續(xù)性。答案：（1）；（2），連續(xù)【例9】：設(shè)是連續(xù)的并且，令，試證明在處可導(dǎo)。小結(jié)：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算或檢驗(yàn)?！纠?0】：定義在實(shí)數(shù)集上，且對(duì)任意的恒有，其中。證明：處處可導(dǎo)。2導(dǎo)數(shù)的

8、定義與極限的計(jì)算【例11】：已知在處連續(xù)，求在處的切線方程。答案：【例12】：已知在處可導(dǎo)，求及。答案：【例13】：可微函數(shù)滿足：，則答案：【例14】：已知二階可導(dǎo)，求。答案：【例15】：已知，求。答案：小結(jié)：求極限時(shí)，往往會(huì)用到推廣之后的導(dǎo)數(shù)定義式：【例16】：已知可導(dǎo)，求下列極限。（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）小結(jié)：上述各題的形式可以總結(jié)為，其中，當(dāng)已知函數(shù)在處可導(dǎo)時(shí)，有。3函數(shù)可導(dǎo)的充要條件【例17】：已知，則下列說(shuō)法中與函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)等價(jià)的是（）A.極限存在 B.極限存在C.極限存在 D.極限存在答案：小結(jié)：存在的定義是極限，該定義式可以推廣到如下形式：存在，其中與為同階無(wú)

9、窮小，這里需要注意如下兩點(diǎn)：首先不能有確定的符號(hào)，必須是而不能是或；與不等價(jià)時(shí)，極限不等于導(dǎo)數(shù)的值，但這里我們只關(guān)心導(dǎo)數(shù)的存在性，所以只要求與同階即可?！纠?8】：存在等價(jià)于下列哪些極限存在（1）（2）（3）（4）（5）（6）答案：（1）（4）（6）三漸近線【例19】：曲線的斜漸近線方程為.答案：【例20】：曲線的漸近線有（）（A） 1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條答案：求函數(shù)斜漸近線的方法：）.計(jì)算； ）.再計(jì)算【例21】：求下列曲線所有的漸近線（1）（2）（3）答案：（1）與為斜漸近線（2）為垂直漸近線；為斜漸近線（3）為垂直漸近線；為水平漸近線；為斜漸近線四多元函數(shù)微分學(xué)的概念1

10、二重極限的討論【例22】：討論下列二重極限是否存在，如果存在，求出極限值（1） （ （2）（3） （4）（5）答案：（1）（2）不存在（3）（4）（5）不存在小結(jié)：1、二重極限的計(jì)算難度較大，多考察證明極限不存在。由于二元函數(shù)的極限要求自變量以任何方式趨近于給定的點(diǎn)都有相同的極限，因此，如果能找到兩條不同的路徑的極限不一樣，就可以說(shuō)明二重極限不存在。2、計(jì)算二重極限一般會(huì)用到一元函數(shù)極限的一些結(jié)論如等價(jià)無(wú)窮小，夾逼原理等。其中夾逼原理是最常用的方法，通常用在證明極限為零時(shí)：對(duì)函數(shù)取絕對(duì)值再放縮，如果能證明，則由夾逼原理可得。2連續(xù)、可導(dǎo)、可微【例23】：二元函數(shù)在點(diǎn)處（）(A).連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存

11、在 (B).連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在(C).不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 (D).不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在答案：【例24】：設(shè)則（）(A).存在，不存在 (B).不存在，存在(C).，都不存在 (D).，都存在答案：【例25】：討論下列函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，與可微性。（1）（2）（3）答案：（1）連續(xù)，可偏導(dǎo)，可微；（2）不連續(xù)，可偏導(dǎo)，不可微；（3）連續(xù)，可偏導(dǎo)，不可微小結(jié)：1、偏導(dǎo)數(shù)的討論和計(jì)算最基本的原則是對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)，另一個(gè)變量就視為常數(shù)，因此偏導(dǎo)數(shù)的存在性實(shí)際上就是固定了一個(gè)變量之后所得的一元函數(shù)的可導(dǎo)性。具體來(lái)說(shuō)，就是指極限式或存在。2、判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否可微的方法：首先計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。如果二者有一個(gè)不存在，則不可微。如果兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則計(jì)算極限，如果該極限不存在或不等于0則不可微，如果該極限等于0則可微。【例26】：二元函數(shù)在處可微的充分條件是 ( )(A)在處連續(xù).(B)在的某鄰域存在.(C)當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小量.(D)當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小量.