第六章 定積分習(xí)題(期末)

1、1定積分的定義：定積分的定義： 定積分定義的四要素：分割；近似；求和；取極限定積分定義的四要素：分割；近似；求和；取極限2定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：01()lim()nbiiaifx dxfx badxxfA)(用圖表示用圖表示:一、定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念與性質(zhì) xy( )yf x0ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 3可積的充分條件可積的充分條件 若若 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在在 上可積上可積. ( )f x ba,( )f x ba, 若若 在區(qū)間在區(qū)間 上有界，且只有限個間斷點，上有界，且只有限個間斷點， 則則 在在 上可積上可積. ( )f x ba,

2、( )f x ba,4定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)反號性：反號性： dxxfdxxfabba )()(與積分變量無關(guān)性：與積分變量無關(guān)性： ( )( )bbaaf x dxf t dt 線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： 1212( )( )( )( )bbbaaak f xk g x dxkf x dxkg x dx 區(qū)間可加性區(qū)間可加性: ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx區(qū)間長：區(qū)間長： 1badxba保號性：如果在區(qū)間保號性：如果在區(qū)間 上上, ，則，則 ba,( )0f x ( )0 baf x dx 單調(diào)性：如果在區(qū)間單調(diào)性：如果在區(qū)間 上上, 則則 ba,)()(x

3、gxf ( )( )bbaaf x dxg x dx 估值定理：設(shè)估值定理：設(shè) 和和 分別是函數(shù)分別是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的 最大值和最小值，則最大值和最小值，則Mm)(xf ba, baabMdxxfabm)()()( )aaf x dx 奇偶對稱性：若奇偶對稱性：若 在在 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 )(xf aa, 二、積分上限函數(shù)與牛頓二、積分上限函數(shù)與牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 1積分上限函數(shù)：積分上限函數(shù)： xadttfxF)()()(xf是奇函數(shù)是奇函數(shù) )(xf是偶函數(shù)是偶函數(shù)02( ),af x dx 0，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，則稱上連續(xù)，則稱)(xf ba,

4、定積分中值定理：如果函數(shù)定積分中值定理：如果函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), 則至少存在一點則至少存在一點 ,使下式成立：使下式成立： )(xf ba,( , )a b ( )( )()baf x dxfba )()(xfdttfdxdxa (1) (2) ).()()()(xxfdttfdxdxa (3) ( )( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx 3牛頓牛頓萊布尼茲公式：若函數(shù)萊布尼茲公式：若函數(shù) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的個原函數(shù)，則上的個原函數(shù)，則 )(xF)(xf ba, baaFbFdxxf)()()(2積分上限函數(shù)的微分積分上

5、限函數(shù)的微分三、定積分的計算方法三、定積分的計算方法求定積分的總體原則：先求被積函數(shù)求定積分的總體原則：先求被積函數(shù) 的原函數(shù)的原函數(shù) ,然后利用牛頓然后利用牛頓萊布尼茲公式計算，即萊布尼茲公式計算，即 )(xf)(xF baaFbFdxxf)()()(1換元積分法換元積分法（1）湊微分法：）湊微分法： babaxdxfdxxxf)()()()( （2）變量置換法：函數(shù)）變量置換法：函數(shù) 滿足條件：滿足條件： )(tx ( ), a b )( dtttfdxxfbatx)()()()( 2分部積分法：分部積分法： bababavduuvudv四、反常積分四、反常積分1無窮限的反常積分無窮限的反

6、常積分 ( )lim( )taatf x dxf x dx 00( )( )( )f x dxf x dxf x dx( )lim( )bbttf x dxf x dx 2無界函數(shù)的反常積分無界函數(shù)的反常積分設(shè)設(shè) 為為 的瑕點的瑕點, 則則 a)(xf( )lim( )bbattaf x dxf x dx 設(shè)設(shè) 為為 的瑕點的瑕點,則則b)(xf( )lim( )btaatbf x dxf x dx 設(shè)設(shè) 為為 的瑕點，則有的瑕點，則有 )(bcac )(xf( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dxlim( )lim( )tbattctcf x dxf x dx五、典

7、型例題五、典型例題 ( )( )( )( )bbaafx dxf xf bf aab badxxf)(解：解： 由于由于 在在 上連續(xù)上連續(xù), 且且 是是 在在 上的一個原函數(shù)，故上的一個原函數(shù)，故 ba,( )fx ( )fx ( )f x ba,【例例1】設(shè)設(shè) 在在 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 是是 在在 上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù), , 求求 ba,( )f xabfbaf )(,)( )fx ba,)(xf【例例2】求定積分求定積分 01cos2xdx 解：解： 2001cos22cos xdxxdx 2022 sin2 sin2 2xx 202 2cos2cosxdxxdx

8、0 2cosxdx 注：當(dāng)定積分的被積函數(shù)中包含絕對值符號時，必須設(shè)法將注：當(dāng)定積分的被積函數(shù)中包含絕對值符號時，必須設(shè)法將其去掉，并且要特別注意被積函數(shù)的符號其去掉，并且要特別注意被積函數(shù)的符號【例例3】設(shè)設(shè) , 求求 21,1( )1,12xxf xxx 20)(dxxf解解:21220011( )(1)2f x dxxdxx dx1223101=26xxx83 【例例4】設(shè)設(shè) 求求 2,1( ),2,1xxf xxx 21)1(dxxf分析：利用變量代換將分析：利用變量代換將 在在 上的定積分上的定積分 化為化為 在在 上的定積分再計算。上的定積分再計算。 )1( xf 2 , 1 (

9、)f t 3, 0解解:設(shè)設(shè) ,則則1 xtdxdt 13321011 =2323xxx13201 =(2)x dxx dxdxxfdttfdxxf 303021)()()1(【例例5】設(shè)設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，求為連續(xù)函數(shù)，求 )(xf babadxxbafdxxf)()(解解: 令令 , 則則 ,當(dāng)當(dāng) 時時, 當(dāng)當(dāng) 時時,xbat dxdt xa ;tb xb .ta 則則()( )()baabf abx dxf tdt故故 babadxxbafdxxf0)()( )( )bbaaf t dtf x dx【例例7】求定積分求定積分 411xdx解解:設(shè)設(shè) ,則則ux 2,2.xu dxudu421

10、1211dxuduux 212=2ln(1)2 1ln3uu211121uduu 【例例8】計算定積分計算定積分 )0(0222 adxxaxa解解: 令令 則則sin ,xat cos .dxat 22222200sincoscosaxax dxat at atdt 44201 sin48416aatt 4201cos442atdt .2t 當(dāng)當(dāng) 時時, 當(dāng)當(dāng) 時時, 0 x0;t ax 42220sincosattdt 4220sin 24atdt 【例例9】計算定積分計算定積分 10arctanxdxx解解: 101arctan82xx 21100arctanarctan()2xxxdx

11、xd 12212001arctan221xxxdxx 12011(1)821dxx 11(1)82442 【例例10】求定積分求定積分 3434(1arctan ) 1cos2xxdx 分析：由于積分區(qū)間為對稱區(qū)間，可考慮被積函數(shù)是否分析：由于積分區(qū)間為對稱區(qū)間，可考慮被積函數(shù)是否具有奇偶性或部分具有奇偶性具有奇偶性或部分具有奇偶性解解: 原式原式24022 2cos2 2( cos )4 22xdxx dx 334433441cos2arctan1cos2xdxxxdx34341cos2xdx 34021cos2xdx 34022 cos x dx 【例例11】設(shè)設(shè) 求求324,1xxdtu

12、t dxdu解：因為解：因為 3241xxdtut 所以所以21283211duxxdxxx234400 11xxdtdttt 32044011xxdtdttt【例例17】求反常積分求反常積分 21ln xdxx 解：解：211ln1ln()xdxxdxx 21111ln xdxxx 1ln1limxxxx 10lim11xx【例例18】求積分求積分 2021xdx分析：被積函數(shù)分析：被積函數(shù) 在積分區(qū)間在積分區(qū)間 上不是連續(xù)的，上不是連續(xù)的， 211x 2 ,0牛頓牛頓萊布尼茲公式失效這是一個反常積分。萊布尼茲公式失效這是一個反常積分。 1 x該積分的瑕點。該積分的瑕點。 解：解：21222

13、2001111dxdxdxxxx 因為因為 1021xdx 01011lnxx故該積分發(fā)散故該積分發(fā)散注：由于定積分與瑕積分的表達式?jīng)]有區(qū)別，在計算積分時注：由于定積分與瑕積分的表達式?jīng)]有區(qū)別，在計算積分時 要特別注意。要特別注意。222001lnln3.11dxxxx 錯誤在于將反常積分誤認為定積分。錯誤在于將反常積分誤認為定積分。 在應(yīng)用牛頓在應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計算定積分時，必須注萊布尼茲公式計算定積分時，必須注意其使用條件，即被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)意其使用條件，即被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)常見的錯誤做法：常見的錯誤做法： 一、定積分應(yīng)用的類型一、定積分應(yīng)用的類型幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用

14、 平面圖形的面積平面圖形的面積特殊立體的體積特殊立體的體積 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為平行截面面積為已知立體的體積已知立體的體積二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟1. 構(gòu)造微元的基本思想構(gòu)造微元的基本思想元素法的實質(zhì)是局部上元素法的實質(zhì)是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不變代變以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化以均勻變化代不均勻變化”的方法，其的方法，其“代替代替”的原則必須的原則必須是無窮小量之間的代替。將局部是無窮小量之間的代替。將局部 上所對上所對應(yīng)的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成應(yīng)的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表

15、示成定積分定積分 ,badxxx badxxf)(無論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。無論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。2. 在求解定積分應(yīng)用問題時，主要有四個步驟：在求解定積分應(yīng)用問題時，主要有四個步驟： 選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；確定積分變量和變化范圍；確定積分變量和變化范圍；在在 上求出微元解析式（積分式）。上求出微元解析式（積分式）。 ,x xdx 把所求的量表示成定積分把所求的量表示成定積分 ( ).baf x dx 三、典型例題三、典型例題1. 幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的

16、體積。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元體積。解決這些問題的關(guān)鍵是確定面積元素、體積元素。素、體積元素?！纠?】求由求由 所圍成圖形的面積。所圍成圖形的面積。 20,2xyyxx分析：在直角坐標(biāo)系下分析：在直角坐標(biāo)系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形由給定曲線所圍成的幾何圖形如圖所示。如圖所示。 如果取如果取 為積分變量為積分變量, 則則 x0,3.x 0,3,x 設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間 所對應(yīng)的曲邊梯形面積為所對應(yīng)的曲邊梯形面積為 則面積元則面積元,dxxx 素素 就是在就是在 上以上以“以直代曲以直代曲”所形成的矩形面積。所形成的矩形面積。,A dA,dxxx 解解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間：確定積

17、分變量和積分區(qū)間：的交點為的交點為 和和 ,)0, 0()3, 3(取取 為積分變量為積分變量, 則則x0, 3.x xxy22 由于曲線由于曲線 和和0 yx（2）求微元：任?。┣笪⒃喝稳?0,3,x ,0, 3.x xdx 如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為 ,xy 2將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為 ,xxy221 那么，那么， 就是區(qū)間就是區(qū)間 所對應(yīng)的矩形的面積。因此所對應(yīng)的矩形的面積。因此dA ,x xdx dxxxdxxxxdxyydA)3()2()(2212 （3） 求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為求定積分：所求的幾何圖形

18、的面積表示為320(3 )Axx dx 計算上面的積分得：計算上面的積分得： 3209(3 ).2Axx dx 【例例5】設(shè)由曲線設(shè)由曲線 ， 及及 圍成圍成xysin (0)2x 1 y0 x平面圖形平面圖形 繞繞 軸軸, 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。Axy分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，繞分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問題，繞 軸旋轉(zhuǎn)時，軸旋轉(zhuǎn)時，x取取 為積分變量為積分變量; 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時, 取取 為積分變量。為積分變量。xyy設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間對對 或?qū)驅(qū)?,2x 0,1,y 或或 所對應(yīng)的曲邊梯形為所對應(yīng)的曲邊梯形為 是以直代曲是以直代曲,dxxx ,d

19、yyy ,S 所形成的矩形為所形成的矩形為 則繞則繞 軸、軸、 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋軸旋轉(zhuǎn)而成的旋 1,S xy轉(zhuǎn)體的體積微元轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形就是矩形 分別繞分別繞 軸、軸、 軸軸dV1S xy旋轉(zhuǎn)而成的體積旋轉(zhuǎn)而成的體積.解解: (一一) 求求 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 x（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖軸旋轉(zhuǎn)如圖,x旋轉(zhuǎn)體體積元素旋轉(zhuǎn)體體積元素 是是 對應(yīng)的矩形繞對應(yīng)的矩形繞 軸所得的軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即旋轉(zhuǎn)體的體積，即 xdV ,x xdx xdxxdVx)sin1(22 0,2x ,0,2x xdx （2）求微元

20、：對）求微元：對取取 為積分變量為積分變量,則則x0,.2x （3）求定積分：繞）求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為x220(1sin)xVx dx 計算積分得：計算積分得：4cos )sin1(2202202 xdxdxxVx（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖軸旋轉(zhuǎn)如圖, y取取 為積分變量為積分變量, 則則y0, 1.y (二二) 求繞求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積y（2）求微元：對）求微元：對0,1,y ,0, 1,y ydy 旋轉(zhuǎn)體的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積元素 ydV是是 對應(yīng)的矩形繞對應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積, 即即 ,y ydy y22(arcsin ).ydVx dyy dy （3）求定積分：繞）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為 y120(arcsin )yVydy 120(arcsin )yVydy 12 10201 (arcsin ) |2(arcsin )1yyyydyy