第8動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理

1、第第8 8章章 動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理即即 cpmv8.1 8.1 動(dòng)量動(dòng)量s/mkg 單位單位 1niiipmv 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量 ddddciiiirrmmmvtt i icmrrmimm質(zhì)心質(zhì)心 ，mv質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量 單位單位： nsift常力的沖量常力的沖量ddif t 變力的元沖量變力的元沖量 21dttif t在在 內(nèi)的沖量?jī)?nèi)的沖量 1t2t8.2 8.2 沖量沖量2121dttmvmvf ti8.3 8.3 動(dòng)量定理動(dòng)量定理8.3.1 8.3.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理d()dmvftd()dmvf t或或稱為稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)

2、量定理的微分形式,即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量.1t2t1v2v在在 內(nèi)內(nèi), 速度由速度由 , 有有稱為稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式,即在某一時(shí)間間隔內(nèi)即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量.8.3.2 8.3.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理( )eif( ) iif外力外力: , 內(nèi)力內(nèi)力: 內(nèi)力性質(zhì)內(nèi)力性質(zhì):( )0iif（1）( )()0ioimf（2）( )d0iift（3）( )( )d()ddeii iiimvftf

3、t質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn):( )( )d()ddeii iiimvftft 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系:( )( )dddeeiipfti 得得( )ddeipft 或或稱為稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式, ,即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和; ;或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和. .)(ddexxftp)(ddeyyftp)(ddezzftp稱為稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式,即在某一時(shí)間間隔內(nèi)即在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)

4、量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和的矢量和.動(dòng)量定理微分形式的投影式動(dòng)量定理微分形式的投影式 動(dòng)量定理積分形式的投影式動(dòng)量定理積分形式的投影式)(12exxxipp)(12eyyyipp)(12ezzzipp( )211neiippi 1t2t1p2p在在 內(nèi)內(nèi), 動(dòng)量動(dòng)量 有有例例8-1 8-1 電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上, ,定子和外殼定子和外殼的質(zhì)量為的質(zhì)量為 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 . .定子和機(jī)殼質(zhì)心定子和機(jī)殼質(zhì)心 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)轉(zhuǎn)子質(zhì)心心 , , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基

5、礎(chǔ)的水平及鉛直求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力約束力. .1m2m1o2oeoo21temgmmfycos)(2221temfxsin22得得emp2tempxcos2tempysin2解解: :12ddyypfm gm gtddxxpft由由xtemsin22方向方向: :動(dòng)約束力動(dòng)約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動(dòng)約束力附加動(dòng)約束力本題的附加動(dòng)約束力為本題的附加動(dòng)約束力為ytemcos22方向方向: :電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí)電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí), , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ;電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱動(dòng)約束力動(dòng)約束力, ,上面給出的是動(dòng)約束上面給出的是動(dòng)約束力力. .0 xfgmm

6、fy)(218.3.3 8.3.3 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律( )0ef若若 , 則則 = 恒矢量恒矢量pxp若若 , 則則 = 恒量恒量0)(exf1 10a babpppp1111()()bba ba baapppp11bbaappd ()vbaqt vv解解:d:dt t 內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動(dòng)量變化為內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動(dòng)量變化為例例8-2 8-2 流體在變截面彎管中流動(dòng)流體在變截面彎管中流動(dòng), ,設(shè)流體不可壓縮設(shè)流體不可壓縮, ,且是且是定常流動(dòng)定常流動(dòng). .求管壁的附加動(dòng)約束力求管壁的附加動(dòng)約束力. .流體受外力如圖流體受外力如圖, ,由動(dòng)量定理由動(dòng)量定理, ,有有ff 為

7、靜約束力為靜約束力; ; 為附加動(dòng)約束力為附加動(dòng)約束力0abpfff由于由于 ()vbafqvv得得d ()()dvbaabqt vvpffft()vbaabqvvp fff即即 fff設(shè)設(shè)8.4 8.4 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理8.4.1 8.4.1 質(zhì)量中心質(zhì)量中心mxmxiicmymyiicmzmziic, , ,iicmrrmimm , ,例例8-3 8-3 已知已知: : 為常量為常量, ,均質(zhì)桿均質(zhì)桿oa = = ab = ,= ,兩桿質(zhì)量皆兩桿質(zhì)量皆為為 , ,滑塊滑塊 b 質(zhì)量質(zhì)量 . . l1m2m求求: :質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及系統(tǒng)動(dòng)量質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及系統(tǒng)動(dòng)量. .解解:

8、 :設(shè)設(shè) ，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為t消去消去t 得軌跡方程得軌跡方程1)2/()2/()(2221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxccos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmycsin2sin222211211tlmmxmmvpccxxsin)(221tlmymmvpccyycos1tmtmmlpppyx221222122cossin)(4系統(tǒng)動(dòng)量沿系統(tǒng)動(dòng)量沿x, y軸的投影為軸的投影為: :系統(tǒng)動(dòng)量的大小為系統(tǒng)動(dòng)量的大小為: : 內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng), ,只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只有外力才能改變質(zhì)心

9、的運(yùn)動(dòng). .8.4.2 8.4.2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理( )1d()dneciimvft 由由( )1ddneciivmft 得得( )1neciimaf 或或稱為稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理, ,即即: :質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和. .)(excxfma)(eycyfma)(ezczfma)(2encfvm)(ddetcftvm)(0ebf在直角坐標(biāo)軸上的投影式為在直角坐標(biāo)軸上的投影式為:在自然軸上的投影式為在自然軸上的投影式為:例例8-4 8-4 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄ab長(zhǎng)為長(zhǎng)為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量

10、為m1, ,假設(shè)受力偶作用假設(shè)受力偶作用以不變的角速度以不變的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), ,并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞塞d, ,如圖所示如圖所示. .滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2, ,質(zhì)心在點(diǎn)質(zhì)心在點(diǎn)c . .在活塞上作用一恒力在活塞上作用一恒力f f . .不計(jì)摩擦及滑塊不計(jì)摩擦及滑塊b的質(zhì)量的質(zhì)量, ,求求: :作用作用在曲柄軸在曲柄軸a a處的最大水平約束力處的最大水平約束力fx . .tmmmmrtxaccxcos2dd2121222tmmrffxcos2212212max2mmrff顯然顯然,最大水平約束力為最大水平約束力為應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)

11、動(dòng)定理應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,解得解得ffammxcx2121211coscos2mmbrmrmxc解解:如圖所示如圖所示8.4.3 8.4.3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律( )0ef若若 則則 常矢量常矢量 cv 0)(exf若若則則 常矢量常矢量 cxv求求: :電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng). .例例 8-5 8-5 地面水平地面水平, ,光滑光滑, ,已知已知 , , , , ,初始靜止初始靜止, , 常量常量. .1m2me2121)sin()(2mmseamsamxcaxc1解解: :設(shè)設(shè)由由 , ,21ccxxsin212emmms得得8.5 8.5

12、 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理8.5.1 8.5.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)o的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩()ommvrmv對(duì)對(duì) z z 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩()()zoxymmvmmv 代數(shù)量代數(shù)量,從從 z 軸正向看軸正向看, 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正,順時(shí)針為順時(shí)針為 負(fù)負(fù).()()ozzmmvmmv1()nooiiilmmv 1()nzziiilmmv 單位單位:kgm2/s 8.5.2 8.5.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 對(duì)軸的動(dòng)量矩對(duì)軸的動(dòng)量矩ozzlloxyzll il jl k 即即 iiiiizzrvmvmml)(2iiiiirmrrm2iizrmjzzjl

13、 （1 1） 剛體平移剛體平移.可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來計(jì)算作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來計(jì)算.()zzclm mv()ooclm mv,（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dd()()ddommvrmvttdd()ddrmvrmvtt 8.5.3 8.5.3 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 1 1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理設(shè)設(shè)o為定點(diǎn)為定點(diǎn),有有0vmvd()dmvft其中其中:ddrvt （o為定點(diǎn)）為定點(diǎn)）d()( )dxxmmvmftd()( )dyymmvmftd()( )dzzmmvmft投影式投影式:d()( )doommvmft因此因此

14、 稱為稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩.ddd()()dddooi ioi ilm mvm mvttt( )d()deooilmft 得得稱為稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)o的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和.( )( )d()()()dieoiioioimmvmfmft( )( )d()()()dieoi ioioimmvmfmft2

15、2）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 由于由于 ( )()0ioimf( )d()dexxilm ft( )d()dyeyilmft 投影式投影式:( )d()dezzilmft 內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩.rmgmmeosin)(rmgmmvrjtsindd22sinmrjmgrmra例例8-6 8-6 已知：已知： , ,小車不計(jì)摩擦小車不計(jì)摩擦. .,mjrma求求:小車的加速度小車的加速度 .rvmjlo解解:rvatvdd由由 , ， 得得3 3）動(dòng)量矩守恒定律）動(dòng)量矩守恒定律若若 , ( )()0eomf若若 , 則則 常量。常量。( )()0ezm

16、fzl 例：面積速度定理例：面積速度定理有心力有心力：力作用線始終通過某固定點(diǎn)：力作用線始終通過某固定點(diǎn), 該點(diǎn)稱該點(diǎn)稱力心力心.由于由于 ,有有( )0omf ()m mvrmv 常矢量常矢量ol 則則 常矢量；常矢量；d(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drra由圖由圖, , ddat因此因此, 常量常量（1） 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi),即點(diǎn)即點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng) 軌跡是平面曲線軌跡是平面曲線.rv 稱面積速度稱面積速度.ddat 面積速度定理面積速度定理：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒：質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下其面積速度守恒.求：剪斷繩后求：剪斷繩后, 角時(shí)的

17、角時(shí)的 .例例8-7 兩小球質(zhì)量皆為兩小球質(zhì)量皆為 ,初始角速度初始角速度m0020221maamalz2)sin(22lamlz時(shí)時(shí),00 時(shí)時(shí),202)sin(laa由由 , 得得12zzll解解： 8.6 8.6 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩12,nf ff主動(dòng)力主動(dòng)力:12,nnff約束力約束力:d()()()dizziznjmfmft ()zimf d()dzzijmft 即即:( )zzjmf 或或22d( )dzzjmft 或或轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程8.6.1 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程例例8-8 已知已知: ，求，求 .12, ,r j

18、f frffj)(21jrff)(21解解:求微小擺動(dòng)的周期求微小擺動(dòng)的周期 .例例8-9 物理擺（復(fù)擺），已知物理擺（復(fù)擺），已知 ，ajmo,22dsindojmgat 解解：sin微小擺動(dòng)時(shí)，微小擺動(dòng)時(shí)，mgatjo22dd0dd22ojmgat即即：)sin(tjmgaoo通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定，由初始條件確定.omgajto2周期周期求：制動(dòng)所需時(shí)間求：制動(dòng)所需時(shí)間 .t例例8-10 已知：已知： ，動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)，動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù) ，rfjno,0f000ddtonjff r t0onjtff rddonjfrf f rt解解：1111rf

19、mjt2222mrfjt2122112211ijjimm21121221,mmrrijj1例例8-11 已知已知 求：求： .解解：ttff 121221rri因因 ， ，得得21iinizrmj 單位：?jiǎn)挝唬簁gm2 1. 1. 簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算1)1)均質(zhì)細(xì)直桿均質(zhì)細(xì)直桿3d320lxxjlllz231mljzlml由由 ，得，得42)d2(402rrrrjarao222mrmrrmjiiz2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)）均質(zhì)薄圓環(huán)aiiirrmd23 3）均質(zhì)圓板）均質(zhì)圓板2rma式中式中：221mrjo 或或4 4）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑） mj

20、zz2zzmj或或2czzjjmd8.6.3 8.6.3 平行軸定理平行軸定理czdzz 式中式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過即：剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積.2211()czijm xy )(222yxmrmjiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iicmymy證明證明：因?yàn)橐驗(yàn)?czzjjmd

21、01ymi有有 ，得，得231mljzlm,例例8-12 均質(zhì)細(xì)直桿，已知均質(zhì)細(xì)直桿，已知 .cz求：對(duì)過質(zhì)心且垂直于桿的求：對(duì)過質(zhì)心且垂直于桿的 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。要求記住三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要求記住三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22mr（1） 均質(zhì)圓盤對(duì)盤心軸的均質(zhì)圓盤對(duì)盤心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量32ml（2） 均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)一端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量122ml（3） 均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)中心軸均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12)2(22mllmjjzzc則則z 對(duì)一端的對(duì)一端的 軸，有軸，有解：解：oj 求：求： .ld例例8-13 已知桿長(zhǎng)為已知桿長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為

22、 ，質(zhì)量為質(zhì)量為 .1m2m盤桿ooojjj231mljo桿2222)2()2(21dlmdmjo盤)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmjo解解：21jjjz2222112121rmrm)(214241rrljz 解解：lrm222lrm211其中其中mrrl)(2221由由 ，得得)(212221rrmjz)(2122212221rrrrl21,rrm例例8-14 已知：已知： ，zj 求求 .o例：求對(duì)例：求對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 o上，作微幅擺動(dòng)上，作微幅擺動(dòng). .mgljt2由由lm,tj其中其中 已知已知, 可測(cè)得，從而求得

23、可測(cè)得，從而求得 .解解：均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄壁圓薄壁圓筒筒細(xì)直桿細(xì)直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量簡(jiǎn)簡(jiǎn) 圖圖物體的物體的形狀形狀212lmjcz23lmjz32lcz3lz2mrjzrzrlh2薄壁空薄壁空心球心球空心圓空心圓柱柱圓柱圓柱)3(1221222lrmjjmrjyxz)3(121222lrryxzlr2)(222rrmjz)(2122rrz)(22rrl232mrjzrz32rh23圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實(shí)心球?qū)嵭那?52mrjzrz52343r)4(803103222lrmjjmrjyxz)4(80310322lrryxzlr23)43(22rrmj

24、z2243rrzrr222矩形薄矩形薄板板長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體橢圓形橢圓形薄板薄板222244)(4bmjamjbamjyyz222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmjcamjbamjyyz)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmjamjbamjyyzbabayxz289. 0289. 0)(12122abh8-7 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理8.7.1 8.7.1 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任意點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任意點(diǎn)的動(dòng)量矩cciiiiilmmvrmv(0)i icmrrm 因有有ciiirlrmv由

25、于由于icirvvvciiciiirlrmvrmv得得( )0iiciicrmvmrv其中其中即：無論是以相對(duì)速度或以絕對(duì)速度計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于即：無論是以相對(duì)速度或以絕對(duì)速度計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于 質(zhì)心的動(dòng)量矩其結(jié)果相同質(zhì)心的動(dòng)量矩其結(jié)果相同.ociiiciiiiilrrmvrmvrmv,iiciiicmvm vrmvloccclrmvloccmmvl對(duì)任一點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn)o的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩： ddddeoccciilrmvlrftt8.7.2 8.7.2 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 eeciiirfrfdd,0ddccccrrvmvtt由于由于ddddddcccccrlmvr

26、mvttt即即 ddecccirmvrft eecicirfrf質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩的外力對(duì)質(zhì)心的主矩. ddeciilrft得得 d()deccilmft或或8.8 8.8 碰撞碰撞8.8.1 8.8.1 基本概念基本概念 碰撞是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間碰撞是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。塑料塑料碰撞過程的持續(xù)時(shí)間極短，通常用千分子一

27、秒或萬分碰撞過程的持續(xù)時(shí)間極短，通常用千分子一秒或萬分之一秒來度量。之一秒來度量。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的特征碰撞的特征 由于碰撞過程是一個(gè)十分復(fù)雜的物理過程，要研究碰撞過程的動(dòng)由于碰撞過程是一個(gè)十分復(fù)雜的物理過程，要研究碰撞過程的動(dòng)力學(xué)問題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，力學(xué)問題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，以獲得較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型。以獲得較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型。 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力等）的幾百倍甚至幾千倍，等）的幾百倍甚至幾千倍， 故故平常力

28、在碰撞過程中可以忽平常力在碰撞過程中可以忽略不計(jì)。略不計(jì)。兩個(gè)基本假設(shè) 2. 由于碰撞力隨時(shí)間而變化，瞬時(shí)值很難測(cè)定。由于碰撞力隨時(shí)間而變化，瞬時(shí)值很難測(cè)定。 因此，通常是用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量來表示碰撞因此，通常是用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量來表示碰撞的強(qiáng)弱。這個(gè)沖量稱為的強(qiáng)弱。這個(gè)沖量稱為碰撞沖量碰撞沖量。 若碰撞開始時(shí)，兩物體的質(zhì)心均在接觸點(diǎn)的公法線上，這種碰撞稱若碰撞開始時(shí)，兩物體的質(zhì)心均在接觸點(diǎn)的公法線上，這種碰撞稱為對(duì)心碰撞，如圖為對(duì)心碰撞，如圖a。兩物體的質(zhì)心不在接觸點(diǎn)的公法線上的碰撞，如圖兩物體的質(zhì)心不在接觸點(diǎn)的公法線上的碰撞，如圖b。碰撞的分類對(duì)心碰撞對(duì)心碰撞偏心碰撞偏心碰

29、撞c1c2nn(a)c1c2nn(b)在對(duì)心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖在對(duì)心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖c。在對(duì)心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖在對(duì)心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖d。對(duì)心正碰撞對(duì)心正碰撞對(duì)心斜碰撞對(duì)心斜碰撞c1c2nn(c)c1c2nn(d)1）沖量定理上式表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。即上式表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。即質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過程中的動(dòng)量變化，質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過程中的動(dòng)量變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受的外碰撞沖量的矢量和等于該質(zhì)點(diǎn)系所受的外碰撞沖量的矢量和。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可以用質(zhì)點(diǎn)系的

30、總質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可以用質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量m與質(zhì)心速度的乘積來計(jì)算，與質(zhì)心速度的乘積來計(jì)算，所以可以改寫為所以可以改寫為其中其中vc 1和和vc2分別是碰撞開始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心分別是碰撞開始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心c的速度。上式稱為的速度。上式稱為碰撞時(shí)的碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有 )e(12immivvii)e(12imm ivvccxzyrimio 根據(jù)研究碰撞問題的基本假設(shè)，在碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位根據(jù)研究碰撞問題的基本假設(shè)，在碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位移均可忽略，因此，可用同一矢移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn) mi 在碰撞開始和結(jié)束時(shí)的位

31、在碰撞開始和結(jié)束時(shí)的位置。置?；蛘邔懗苫蛘邔懗?()()(ioioioimvmvmiimm全部?jī)?nèi)碰撞沖量之矩的總和恒等于零，所以只剩下外碰撞沖量的矩。iiiovrvmiimm)(iimivimivi)()()()e(iimvmvmoioiomm2）沖量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為碰前：碰前：iiiiiiirvrvrmmiiiiovrvmiimm)(碰后：碰后：所以所以對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有上面兩式分別表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)（或?qū)S）的沖量矩定理，即上面兩式分別表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)（或?qū)S）的沖量矩定理，即在在碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)（或任一軸）的動(dòng)量矩的變化

32、，等于該質(zhì)碰撞過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)（或任一軸）的動(dòng)量矩的變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受到外碰撞沖量時(shí)對(duì)同一點(diǎn)（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)點(diǎn)系所受到外碰撞沖量時(shí)對(duì)同一點(diǎn)（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）和）。 由于碰撞過程中伴隨有機(jī)械能損失，因此研究碰撞問題一般不用由于碰撞過程中伴隨有機(jī)械能損失，因此研究碰撞問題一般不用動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。)()()()e(ixixixmmmmmivv)()()()e(iiimmimvmvmooo把上式投影到任一軸上，例如把上式投影到任一軸上，例如ox上，則得上，則得xzyrimioiimivimivi 設(shè)質(zhì)量分別為設(shè)質(zhì)量分別為m1和和m2的兩個(gè)光滑球作平動(dòng)，兩

33、球質(zhì)心的速度分別為的兩個(gè)光滑球作平動(dòng)，兩球質(zhì)心的速度分別為v1和和v2，且，且v1v2，在某瞬時(shí)發(fā)生正碰撞。，在某瞬時(shí)發(fā)生正碰撞。 先以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象。考察先以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象。考察整個(gè)碰撞過程整個(gè)碰撞過程，因外，因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有22112211vvvvmmmm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得22112211vmvmvmvm碰撞結(jié)束時(shí)，兩球仍作平動(dòng)，其速度分別為碰撞結(jié)束時(shí)，兩球仍作平動(dòng)，其速度分別為v1和和v2。nv1v2nv1v20)()(221121vvummmm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得0)()(221121vmvmumm從

34、而求出從而求出212211mmvmvmu 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。用用u表示表示變形結(jié)束時(shí)變形結(jié)束時(shí)兩球的公共速度。兩球的公共速度。以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象nv1v2n因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有, 1111ivumm1222ivumm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得, 1111ivmum1222ivmum分別取兩球?yàn)檠芯繉?duì)象分別取兩球?yàn)檠芯繉?duì)象 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。v1i1i1v2由沖量定理，有由沖量定理，有x, 2111iuvmm222iuv2mm沿水平方向投影，得沿水平

35、方向投影，得,2111iumvm2222iumvm 恢復(fù)階段恢復(fù)階段與與變形階段變形階段碰撞沖量碰撞沖量i2和和i1的大小的比值，可以用來度量的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，也反映了物體在碰撞中機(jī)械能的損失程度，碰撞后變形恢復(fù)的程度，也反映了物體在碰撞中機(jī)械能的損失程度，稱為稱為恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)，用，用e表示。表示。 現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段恢復(fù)階段恢復(fù)階段。i2i2v1v2利用沖量定理，有利用沖量定理，有x消去消去u，得，得1112vuuviie利用式利用式碰撞開始時(shí)相對(duì)速度時(shí)相對(duì)速度碰撞結(jié)束 211212vvvviie 恢復(fù)階段恢復(fù)階段與與變形階段變形階

36、段碰撞沖量碰撞沖量i2和和i1的大小的比值，可以用來度量的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)，用，用e表示。表示。, 1111ivmum1222ivmum,2111iumvm2222iumvm即即,22112211vmvmvmvm212211mmvmvmu22vuuv可以證明，對(duì)于一般碰撞，恢復(fù)系數(shù)可以證明，對(duì)于一般碰撞，恢復(fù)系數(shù)向相對(duì)速度碰撞開始時(shí)接觸點(diǎn)的法度時(shí)接觸點(diǎn)的法向相對(duì)速碰撞結(jié)束 e碰撞開始時(shí)相對(duì)速度時(shí)相對(duì)速度碰撞結(jié)束 211212vvvviie兩球正碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為兩球正碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為nnnnvvvviie211212

37、 大量的實(shí)驗(yàn)表明，大量的實(shí)驗(yàn)表明，恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)主要與碰撞物體的材料主要與碰撞物體的材料性質(zhì)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。性質(zhì)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 恢復(fù)系數(shù)一般都小于恢復(fù)系數(shù)一般都小于1而大于零而大于零（0e1），這時(shí)的碰撞稱為，這時(shí)的碰撞稱為彈彈性碰撞性碰撞。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。 理想情況理想情況e =1時(shí)，碰撞結(jié)束后，物體能完全恢復(fù)原來的形狀，這時(shí)，碰撞結(jié)束后，物體能完全恢復(fù)原來的形狀，這種碰撞稱為種碰撞稱為完全彈性碰撞完全彈性碰撞。 在另一極端情況在另一極端情況 e =0 時(shí)，說明碰撞沒有恢復(fù)階段，即物體的變時(shí)，

38、說明碰撞沒有恢復(fù)階段，即物體的變形不能恢復(fù)，碰撞結(jié)束于變形階段，這種碰撞稱為形不能恢復(fù)，碰撞結(jié)束于變形階段，這種碰撞稱為非彈性碰撞非彈性碰撞或或塑塑性碰撞性碰撞?；謴?fù)系數(shù)測(cè)定恢復(fù)系數(shù)測(cè)定一種最簡(jiǎn)單的測(cè)定恢復(fù)系數(shù)的方法如圖所示。一種最簡(jiǎn)單的測(cè)定恢復(fù)系數(shù)的方法如圖所示。h1h2v1v1nacb,211ghv 212ghv 211212vvvviie1112vviie12hhe 表8-2 常見材料的恢復(fù)系數(shù)碰撞物體的材料 鐵對(duì)鋁 木對(duì)膠木木對(duì)木 鋼對(duì)鋼 玻璃對(duì)玻璃恢復(fù)系數(shù) 0.140.260.500.560.94 兩小球的質(zhì)量分別為兩小球的質(zhì)量分別為m1和和m2 ，碰撞開始時(shí)兩質(zhì)心的速，碰撞開始時(shí)兩

39、質(zhì)心的速度分別為度分別為v1和和v2 ，且沿同一直線，如圖所示。，且沿同一直線，如圖所示。c1c2例題例題8-1 圖示兩球能碰撞的條件是圖示兩球能碰撞的條件是 。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，二者的速度分。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，二者的速度分別為別為 和和 ，方向如圖所示。，方向如圖所示。21vv1v2v22112211vmvmvmvm由恢復(fù)系數(shù)定義有由恢復(fù)系數(shù)定義有2112vvvve聯(lián)立聯(lián)立（a）和和（b）二式，解得二式，解得)()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevv（a）（b）c1c2（c）v1v2根據(jù)動(dòng)量守恒，有根據(jù)動(dòng)量守恒，有1）兩物體正碰后的速度）兩物體正碰后的速度可

40、見，當(dāng)可見，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， 。21vv 22vv ,21212222111vmvmt22221122121vmvmt在碰撞過程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為在碰撞過程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為)(21)(21222222121121vvmvvmttt 以以t1和和t2分別表示此兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰分別表示此兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過程開始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有撞過程開始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevvc1c2v1v2（d）2）正碰時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能損失）正碰時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能損失（d）),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (21212

41、22vvmmmevv考慮到考慮到2112vvvve于是有于是有2212212121)()1 ()(2vvemmmmttt)(21)(21222222121121vvmvvmttt 在理想情況下，在理想情況下，e = 1 , t = t2 t1 =0。可見，在完全彈性碰撞時(shí)，?？梢?，在完全彈性碰撞時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能沒有損失，即碰撞開始時(shí)的動(dòng)能等于碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)能。系統(tǒng)動(dòng)能沒有損失，即碰撞開始時(shí)的動(dòng)能等于碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)能。221212121)()(2vvmmmmttt如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即 v2=0， 則動(dòng)能損失則動(dòng)能損失為為21212121)(2vmmmmttt在塑性碰撞時(shí)，在塑性碰撞時(shí)，e = 0 ，動(dòng)能損失為，動(dòng)能損失為2212212121)()1 ()(2vvemmmmttt可見，可見，在在塑性碰撞塑性碰撞過程中的動(dòng)能損失與兩物體的質(zhì)量比有關(guān)過程中的動(dòng)能損失與兩物體的質(zhì)量比有關(guān)。 注意到注意到 上式可改寫為上式可改寫為 12112122111tmmtmmmttt2112122121)(vmmmmttt21212121)(2vmmmmttt上式可改寫為上式可改寫為 第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止，即第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于