高等代數(shù)北京大學(xué)第三版北京大學(xué)精品課程

1、第一學(xué)期第一次課第一章代數(shù)學(xué)的經(jīng)典課題§ 1若干準(zhǔn)備知識1.1.1 代數(shù)系統(tǒng)的概念一個集合，如果在它里面存在一種或若干種代數(shù)運(yùn)算,這些運(yùn)算滿足一定的運(yùn)算法則,則稱這樣的一個體系為個代數(shù)系統(tǒng)。1.1.2 數(shù)域的定義定義(數(shù)域)設(shè)K是某些復(fù)數(shù)所組成的集合。如果K中至少包含兩個不同的復(fù)數(shù)，且K對復(fù)數(shù)的加、減、乘、四則運(yùn)算是封閉的，即對K內(nèi)任意兩個數(shù)a、 b ( a可以等于b ), 必有b K, abK,且當(dāng)b 0時，a/b K ,則稱K為一個數(shù)域。1.1典型的數(shù)域舉例：復(fù)數(shù)域C;實(shí)數(shù)域R;有理數(shù)域Q； Gauss數(shù)域：Q (i) = a bi | a,b e Q,其中 i = J1。命題任

2、意數(shù)域K都包括有理數(shù)域Q。證明設(shè)K為任意一個數(shù)域。由定義可知，存在一個元素K,且a 0。于日ZE0 a a K,進(jìn)而1.1.3m, n Z集合的運(yùn)算,m K 。這就證明了 n集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念K o證畢。定義(集合的交、并、差)設(shè)S是集合，A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集，記作A B ;把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集，記做A B ;從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集，記做A Bo定義(集合的映射)設(shè)A、B為集合。如果存在法則f ,使得A中任意元素a在法則f下對應(yīng)B中唯一確定的元素(記做f (a),

3、則稱f是A到B的一個映射，記為B, f(a).如果f(a) b B,則b稱為a在f下的像，a稱為b在f下的原像。A的所有元素在f下的像構(gòu)成的 B的子集稱為A在f下的像，記做f (A)，即 f(A) f (a)| a A。若a a' A,都有f(a)f(a'),則稱f為單射。若 b B,都存在a A,使得f(a) b,則稱f為滿射。如果f既是單射又是滿射，則稱f為雙射，或稱一一對應(yīng)。1.1.4 求和號與求積號1.求和號與乘積號的定義 .為了把加法和乘法表達(dá)得更簡練，我們引進(jìn)求和號和乘積號。設(shè)給定某個數(shù)域 K上n個數(shù)a1,a2,an ,我們使用如下記號:當(dāng)然也可以寫成2. 求和號的

4、性質(zhì). 容易證明，事實(shí)上，最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個元素排成如下形狀：a1a2a1a2 ananaii1nai .i1a1a2a1a2annai i1n(aibi)i1nmaiji1j1an ai 1inai .1innaii1nnaibii1i1mnaijj1i1a11a12 a1ma21a22 a2man1 an2 anm分別先按行和列求和，再求總和即可。第一學(xué)期第二次課§ 2 一元高次代數(shù)方程的基礎(chǔ)知識1.2.1 高等代數(shù)基本定理及其等價命題1. 高等代數(shù)基本定理設(shè) K 為 數(shù) 域 。 以 Kx 表 示 系 數(shù) 在 K 上 的 以 x 為 變 元 的 一 元 多 項(xiàng) 式 的

5、 全 體 。 如 果 f(x)a0xna1xn1an Kx, (a00),則稱n 為 f (x)的次數(shù)，記為 deg f (x)。定理(高等代數(shù)基本定理) C x 的任一元素在 C 中必有零點(diǎn)。命題 設(shè)f(x) a0xn a1xn1an,(a00, n 1)是C上一個n次多項(xiàng)式，a是一個復(fù)數(shù)。則存在 C上首項(xiàng)系數(shù)為a0 的 n 1 次多項(xiàng)式 q(x) ，使得f (x) q(x)(x a) f (a)證明 對 n 作數(shù)學(xué)歸納法。推論x0 為 f(x) 的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) (x x0) 為 f(x) 的因式(其中 deg f(x) 1)。命題(高等代數(shù)基本定理的等價命題)設(shè)f(x) a0xn a1x

6、n 1 an (a0 0, n 1)為C上的n次多項(xiàng)式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在n個復(fù)數(shù)ai,a2,，an，使f(x) a0(x 1 )(x2)(xn)證明 利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3,對n作數(shù)學(xué)歸納法。2.高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式定義 設(shè)K是一個數(shù)域，x是一個未知量，則等式a0xn a1xn 1 an 1x an 0(1)(其中a0,a1,an K, a00)稱為數(shù)域K上的一個n次代數(shù)方程；如果以x K帶入(1)式后使它變成等式，則稱為方程(1)在K中的一個根。定理(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)數(shù)域K上白n n( 1)次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域 C內(nèi)必有一個根。命題

7、 n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域 C內(nèi)有且恰有n個根(可以重復(fù))。迪(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)給定 C上兩個n次、m次多項(xiàng)式 f(x)a0axanxn(an0),g(x)b0"xbmxm(bm0),如果存在整整數(shù)l ,l m, l n,及l(fā) 1個不同的復(fù)數(shù)1, 2,使得f( i) g( i) (i 1,2,l 1),則 f(x) g(x)。1.2.2韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性設(shè) f(x) a°xn axn 1 Lan,其中 aiK,a0-f(x) (x i)a。i 1nn 1x ( 12 L n)x L0。設(shè)f(x) 0的復(fù)根為1, 2,L , n (可能有重復(fù))，

8、則(x 1)(x2)L (x n)1 2 L n .1 ( 1 , 2 , n )12n，所以(1)1( 12n)；a0生(1)2i1 i2 ；a00 i1 i2 nana0(1)n 1 2我們記1, 2,L , n 稱為r ( 1, 2,n)0 i1 i2i1 i2 ir nn ( 1,n)1, 2,L , n的初等對稱多項(xiàng)式于是有定理2.5 （韋達(dá)定理）設(shè)f（x）na°xaixanaiK,a0 0。設(shè)f （x） 0的復(fù)根為1 , 2, Ln。則a1a。1)1n)；命題給定R上n次方程na°x如果a bi是方程的一個根，則共軻復(fù)數(shù)證明由已知,a2a0a0naxn a0a1

9、1)21)nn) ；n ).an 1x anb i也是方程的根。a00 ，an 1 an0.兩邊取復(fù)共軻，又由于 a0,a1,an R,所以-n a0-n a1an 1an0.推論實(shí)數(shù)域上的奇數(shù)次一元代數(shù)方程至少有一個實(shí)根。證明 因?yàn)樗膹?fù)根（非實(shí)根）必成對出現(xiàn)，已知它在C內(nèi)有奇數(shù)個根,故其中必有一根為實(shí)數(shù)。第一學(xué)期第三次課§ 3線性方程組1.3.1 數(shù)域K上的線性方程組的初等變換舉例說明解線T方程組的Gauss消元法。定義（線性方程組的初等變換）數(shù)域K上的線性方程組的如下三種變換(1)互換兩個方程的位置;(2)把某一個方程兩邊同乘數(shù)域K內(nèi)一個非零元素c ;(3)把某一個方程加上另一

10、個方程的k倍，這里k K的每一種都稱為線性方程組的初等變換。容易證明，初等變換可逆，即經(jīng)過初等變換后的線性方程組可以用初等變換復(fù)原。命題線性方程組經(jīng)過初等變換后與原方程組同解證明設(shè)線性方程組為allxlai2X2ainXnai2K222X2La2nXnb2,(*)am1X1am2X2 Lamnxnbn.經(jīng)過初等變換后得到的線性方程組為（*）,只需證明（*）的解是（*）的解，同時（*）的解也是（*）的解即可。設(shè)Xiki,X2 k2,.,Xn kn是（*）的解，即（*）中用Xj % （i 1,2,.n）代入后成為等式。對其進(jìn)行初等變換，可以得到x1k1,x2 k2,Xn kn代入（*）后也成為等式

11、，即x1k1, x2k2,Xnkn是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。證畢。1.3.2 線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣以及矩陣的初等變換定義（數(shù)域K上的矩陣）給定數(shù)域K中的mn個元素aij （i 1, m , j 1, ,n）。把它們按一定次序排成一個m行n列的長方形表格Ona12 a1n221O22 a2 nAam1am 2 amn稱為數(shù)域K上的一個m行n列矩陣，簡稱為m n矩陣。定義（線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣）線性方程組中的未知量白系數(shù)排成的矩陣A稱為方程組的系數(shù)矩陣；如果把方程組的常數(shù)項(xiàng)添到A內(nèi)作為最后一列，得到的 m （n 1）矩陣a11 a12 a1n。a21 a22

12、 a2n b2A.am1 am 2 amn bn稱為方程組的增廣矩陣。定義（矩陣的初等變換）對數(shù)域K上的矩陣的行（列）所作的如下變換（1）互換兩行（列）的位置；（2）把某一行（列）乘以 K內(nèi)一個非零常數(shù)c；（3）把某一行（列）加上另一行（列）的 k倍，這里k K稱為矩陣的行（列） 初等變換。定義（齊次線性方程組）數(shù)域K上常數(shù)項(xiàng)都為零的線性方程組稱為數(shù)域K上的齊次線性方程組這類方程組的一般形式是命題證明說明a12Xiam1X1a12X2a22X2am2X2變元個數(shù)大于方程個數(shù)的齊次線性方程組必有非零解；對變元個數(shù)作歸納。a1nXna2nXnamn xn0,0,0.線性方程組的解的存在性與數(shù)域的變

13、化無關(guān)（這不同于高次代數(shù)方程）O事實(shí)上,在（通過矩陣的初等變換）用消元法解線性方程組時，只進(jìn)行加、減、乘、除的運(yùn)算。如果所給的是數(shù)域K上的線性方程組，那么做初等變換后仍為 K上的線性方程組， 所求出的解也都是數(shù)域K中的元素。因此，對K上線性方程組的全部討論都可以限制在數(shù)域K中進(jìn)行。第一學(xué)期第四次課第二章向量空間與矩陣第一節(jié)m維向量空間2.1.1 向量禾口 m維向量空間的定義及性質(zhì)定義（向量）設(shè)K是一個數(shù)域。K中m個數(shù)a1, a2, am所組成的個m元有序數(shù)組稱為一個m維向量；稱為一個m維列向量；而a1a2am(i K,i 1,2,.,m)(a1',a2,，am')稱為一個m維行

14、向量。我們用Km記集合（a1,a2,am')|ai K, i 1,2,.,m。定義（K m中的加法和數(shù)量乘法）在K m中定義加法如下：兩個向量相加即相同位置處的數(shù)相加，即athab1a2b2a2b2.am.bm.ambm在Km定義數(shù)量乘法為用K中的數(shù)去乘向量的各個位置，即對于某個a1ka1a2ka2.am.kamK上的m維向量空間。K表本數(shù)域，表定義（m維向量空間） 集合Km和上面定義的加法、數(shù)乘運(yùn)算組成的代數(shù)系統(tǒng)稱為數(shù)域命題（向量空間的性質(zhì)）向量空間中的元素關(guān)于加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下性質(zhì)（其中示K m中的向量）：(1)加法結(jié)合律：（();(2)加法結(jié)合律:(3)向量（0,0,，0）（

15、記為0）具有性質(zhì)：對于任意0;(4)(ai, a2,稱其為 的負(fù)向量，它滿足0;(5)(6)有(kl)k(l );有(kl)k(定義（線性組合） 設(shè)Kmk1, k2,ks K ，則稱向量k1 1k22ks s為向量組(8)2.1.2 線性組合和線性表出的定義s的一個線性組合。定義（線性表示） 設(shè)K 。如果存在k1, k2,ks K，使得則稱可被向量組s線性表示。k1 1k22ks2.1.3 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價表述定義（線性相關(guān)與線性無關(guān)）K m。如果存在不全為零的 k1，k2,ks K ,使得則稱k1 1 k2 2k1 1k2ks s 0,s線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)。根

16、據(jù)這個定義，1,ks s 0 ,則必有2,k1k2性無關(guān)可以表述如下：若k1,k2, ,ks K ,使得ks 0。如果顯然1,s線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組a11a12aa21a22a,2,1am1am2a1n1mn2na11x1a12X2.a1nxn0,a21Xa22X2.a2nXn0,am1X1am2x2.amnxn0有非零解,s線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)此齊次線性方程組只有零解。命題n Km,則下述兩條等價:1)1, 2, n線性相關(guān);2）某個i可被其余向量線性表示。證明 1）2）.由于1, 2, , n線性相關(guān)，故存在不全為零的n 個數(shù) k1,k2, kn K，使得不妨設(shè)某個kii ( k1/

17、ki)2)1).k1 1 k2 2kn n0。0。于是，由向量空間的性質(zhì)有1( k2 / ki ) 2(ki i/ki)ki1/ki) i(kn/ki) n如果某個i可被其余向量線性表示,即存在ki,ki 1 , ki 1 ,kn K ,使得ik11 k2 2kiki 1 i 1kn由向量空間的性質(zhì)有日1,n線性相關(guān)。推論1， 2， n1)k1 1k2 2證畢。ki 1Km,則下述兩條等價:1, 2,n線性無關(guān);1) iki 1 i 1kn n 0.2）任一 i不能被其余向量線性表示。第一學(xué)期第五次課2.1.4向量組的線性等價和集合上的等價關(guān)系定義（線性等價）給定Km內(nèi)的兩個向量組(*)(*

18、)如果向量組（*）中每一個向量都能被向量組（*）線性表示，反過來向量組(*)中的每個向量也都能被向量組（* ）線性表示，則稱向量組（*）和向量組（*）線性等價。定義（集合上的等價關(guān)系）給定一個集合S, S上的一個二元關(guān)系“”稱為一個等價關(guān)系，如果“滿足以下三條:(1)反身性:a S, a(2)對稱性:a,b S,如果 a b,貝1Jb a ；(3)傳遞性:b c,貝1Ja c。與a等價的元素的全體成為a所在的等價類。命題 若a與b在不同的等價類，則它們所在的等價類的交集是空集。進(jìn)而一個定義了等價關(guān)系的集合可以表示 為所有等價類的無交并。CSaSb ,于是有證明 記a所在的等價類為Sa , b的

19、等價類為 Sb 。若它們的交集非空，則存在ca, cb。由等價關(guān)系定義中的對稱性和傳遞性即知ab,與a和b在不同的等價類矛盾。 這就證明了 a和b所在的等價類交集是空集。而集合包含所有等價類的并集，又集合中的任一個元素都屬于一個等價類，于是集合是 等價類的并集。綜上可知，命題成立。證畢。命題給定Km內(nèi)兩個向量組1 , 2,r，1）1, 2,s，2）且 （ 2） 中每一個向量都能被向量組 （ 1） 線性表示。 如果向量能被向量組 （ 2） 線性表示， 則也可以被向量組1）線性表示。證明 若向量組（2 ）中的每一個向量都可以被向量組（1 ）線性表示，則存在 kij K （1r, 1 js) ，使得

20、kij i( j 1,2,L,s) .i）i1能被向量組（ 2 ）線性表示，故存在lj(1s） ，使得slj j1將（ i ）代入，得j1rkiji1skijj1i1s( kij ) i ， j1即 可被 1, 2 , r 線性表示。由此易推知命題 線性等價是K m 的向量組集合上的等價關(guān)系。2.1.5 向量組的極大線性無關(guān)部分組和向量組的秩定義 （ 向量組的極大線性無關(guān)組） 設(shè)1,2,s為Km中的一個向量組,它的一部分組i1 , i2為原向量組的一個極大線性無關(guān)組 ，若1）i1 , i2ir 線性無關(guān)；2）1 , 2 , s 中的每一個向量都可被i1i2i r 線性表出。容易看出向量組ir線

21、性等價。引理給定 K m 上的向量組1, 2,1,2,r ，如果1, 2,s 可被1,2, r 線性表出，且 s r，則向量組1,2,s線性相關(guān)。證明由于1, 2,s 可被 1 , 2 ,r 線性表出，故存在kijK ，使得2LLk11 1 k21 1 LLL ks1 1k12k22LLL將（ * ）代入（* ） ，得s(ki 1xi )i1x11(1 x2 2ski2 xi )i1xsk1r k2r LL ksr0.r,r,r.s( kirxi) r 0.i1*）* )設(shè)各系數(shù)均為零，得到ssskBLX L&Xr 0,（* ）i 1i 1i 1（* ）是一個含有r個未知量和s個方程的

22、其次線性方程組，而 sr,故方程組（* ）有非零解，于是存在不全 為零的Xi,X2,L ,% K,使得（*）成立。由線性相關(guān)的定義即知向量組1, 2, s線性相關(guān)。定理線性等價的向量組中的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等。證明 設(shè)1, 2,L , n和1, 2,L , m Km中的線性等價的向量組。設(shè)向量組i1 , i2 , ir和 小j2 , js分別是原向量組的極大線性無關(guān)部分組，則由線性無關(guān)部分組的定義和線性等價的傳遞性知此二極大線性無關(guān)部分 組線性等價。由于i1, i2, ir可將j1, j2,L , jt中的每一個向量線性表出，知 r s （否則由引理知向量組11, i2, ir線性

23、相關(guān)，矛盾）。同理s r。于是r s。推論任意向量組中，任意極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等。定義（向量組的秩）對于Km內(nèi)給定的一個向量組，它的極大線性無關(guān)組所含的向量的數(shù)量稱為該向量組的秩。第一學(xué)期第六次課第二章§2矩陣的秩11.1.1 陣的行秩與列秩、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義2.1矩陣的行秩與列秩。一個矩陣A的行向量組的秩成為 A的行秩，它的列向量組的秩稱為A的列秩。命題2.1矩陣的行（列）初等變換不改變行（列）秩；證明只需證明行變換不該行秩。容易證明，經(jīng)過任意一種初等行變換，得到的行向量組與原來的向量組線性等價，所以命題成立。證畢。定義2.2矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行與列互換之后，得到的矩

24、陣A'稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。命題2.2矩陣的行（列）初等變換不改變列（行）秩。證明只需證明行變換不改變列秩。列變換可用矩陣的轉(zhuǎn)置證得。假設(shè)A的列向量為1, 2,L , 口，它的一個極大線性無關(guān)部分組為i1, i2,L , ir ,而經(jīng)過初等行變換之后的列向量為1, 2',L , n',只需證明i1, i2',L , ir '是變換后列向量的一個極大線性無關(guān)部分組即可。只需分別證明向量組i1, i2',L , J （*）線性無關(guān)和J 2',L , n中的任意一個向量都可以被（*）線性表出。構(gòu)造方程Xi1i1',Xi2i2',

25、L,Xk/ 0,由于i1,i2,L ,ir線性無關(guān)，線性方程組 -1*2i2,L ,Kr ir 。只有零解。而方程Xi1 i1',Xi2 i2',L , X. . 0是由。小 i2, L ,Kr ir 0經(jīng)過初等行變換得來的，而初等行變換 是同解變換，所以 X1 i1,Xi2 i2',L ,Xr ir 0只有零解，于是i1, i2',L, ir 線性無關(guān)。對于 A的任意一個列向量，都可被i1, i2,L , ir線性表出，利用初等行變換是同解變換同樣可以證明經(jīng)過初等行變換后，可以被（*）線性表出。證畢。推論 矩陣的行、列秩相等，稱為矩陣的秩，理陣A的秩記為r（A

26、）；證明設(shè)a11a12La1na21a22La2nLLam1am2Lamn不妨考慮 A 0 ，經(jīng)過行、列調(diào)換后，可使左上角元素不等于零。用三種行、列變換可使矩陣化為如下形式*( 0) 00*100 *其中 (*) 代表一個矩陣。若( * )不是零矩陣，重復(fù)上面做法，歸納下去，最后得到形如1O10的一個矩陣，可知，矩陣的行秩和列秩都等于矩陣中“ 1”的個數(shù)。于是由初等變換可逆和推論可以知道，矩陣的行秩等于列秩。定義2.3 一個矩陣A的行秩或列秩成為該矩陣的秩，記作r(A)。11.1.2 矩陣的相抵定義2.4給定數(shù)域K上的矩陣A和B ,若A經(jīng)過初等變換能化為 B ,則稱矩陣 A和B相抵。命題 2.

27、3 相抵是等價關(guān)系，且秩是相抵等價類的完全不變量。證明 逐項(xiàng)驗(yàn)證等價類的定義， 可知相抵是等價關(guān)系； 由于初等變換不改變矩陣的秩， 于是矩陣的秩是等價類的完全不變量。11.1.3 用初等變換求矩陣的秩用初等行變換或列變換將矩陣化為階梯形，階梯形矩陣的秩這就是原矩陣的秩。第一學(xué)期第七次課第二章 § 3 線性方程組的理論課題3.1.1 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系對于齊次線性方程組a11x1a12 x2La1n xn0,a12 x1a22 x2a2n xn0,LLLLLLLLLLam1x1am2x2axmn n0.a11a12a1n則上述方程組即為命題證明a211Mam10 為零向量） 。將

28、（ * ）的解視為 n 維向量，則所有解向量構(gòu)成S 中的元素（解向量）的線性組合仍屬于只需要證明 S 關(guān)于加法與數(shù)乘封閉。設(shè)a22Mam2a2nn，Mamn(k1l1) 1 (k2 l2) 2 Lx1x2 2 Lxn*）則所有解向量構(gòu)成S （仍是解） 。(k1,k2,L ,kn)，k1 1k2 2 Lkn n 0 ， l1kKkk1 1 kk2 2 L那么，就稱定義1）2）（線性方程組基礎(chǔ)解系）1 , 2 ,L , s 線性無關(guān)；方程組（ * ）的任一解向量都可被K n 中的一個向量組，記為S 。(l1,l2,L1 l2 2(kn ln) n 0，故 (k1 l1,k2 l2,L ,kn ln

29、)kkn n 0 ，所以 (kk1,kk2,L ,kkn) S 。證畢。齊次線性方程組（ * ）的一組解向量1, 2,L , s線性表出,1, 2 ,L , s 是齊次線性方程組（ * ）的一個 基礎(chǔ)解系 。定理 數(shù)域上的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中的向量個數(shù)等于變元個數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩；證明 記線性方程組為x1 1 x2 2Lxn0 ，其中,ln)S ，則S；1, 2,L ,設(shè)1, 2,L , n的秩為r ,無妨設(shè)1, 2,L, r 線性表出，存在kijK(1 i n r,j r)，即 ki1 1ki2 2 Lkirln n 0，又因?yàn)閟 如果滿足如下條件：a11a21Mam11, 2,L ,

30、使得r1r2LL1? r i 0, (ia12a1na22Mam2a2n nMr為其極大線性無關(guān)部分組k11 1k12 2則 r1,r 2,L , n 皆可 被k1rk2rr,r,LLkn r1LLLLL1 kn r2 2kn rrr,1, 2,L n r） 。于是 S 中含有向量(k11,k12,L ,k1r,1,0,L ,0),(k21,k22,L ,k2r,0,1,L ,0),LLLLLLLLL(k k k 0 0n r n r1, n r2, n r r, ,1).只需要證明1, 2,L , n r是解向量組的一個極大線性無關(guān)部分組即可。易見，向量組1, 2,L , n r線性無關(guān)。只

31、需要再證明1, 2,L , n r 能線性表出任意一個S 即可。為此，需要證明引理：引理設(shè) 1, 2,L , t 線性無關(guān)， 可被1,2,L ,t 線性表出，則表示法唯一。證明k1 1l1 1k2 2l2 2ktltt兩式相減，得到得到(k1l1)(k2l2) 2(ktlt) t 0.由于1,2,L , t 線性無關(guān)，故各i (1t) 的系數(shù)皆為零，于是kili ( i) ，即的表示法唯一。引理證畢。現(xiàn)在回到定理的證明。設(shè)(c1, c2 ,L,cn)S，則有考慮c1(cr 1 r 1 cr 2r2是由(1) 、 ( 2 )兩式可知c1 1c2cr rcr 1 r1cr 2 r2L0.1)cnn

32、rS ，則形如(c1 ',c2 ',L ,cr ',cr 1,cr 2,L, cn ) ，且有c2 'cn2Ln) ，則由引理，它可以被線性無關(guān)的向量組cr ' rcr 1 r 1cr 2 r 2 Lcn n 0 .1, 2,L ,r 唯一地線性表示，于2)c1c1 ' c2c2'L crcr ' ，(c1, c2,L ,cn)2 Lcn n r 。這就證明了1 , 2 ,L , n r 是解向量組的一個極大線性無關(guān)部分組。再由矩陣的秩的定義可知命題成立。證畢?；A(chǔ)解系的求法我們只要找到齊次線性方程組的 n r 各自有未知量，就可

33、以獲得它的基礎(chǔ)解系。具體地說，我們先通過初等行 變換把系數(shù)矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數(shù)就是系數(shù)矩陣的秩。把每一個非零行最左端的未知量保留在方r 個未知量其中的一個為 1， 其余為零， 這樣可以得到程組的左端， 其余 n r 個未知量移到等式右端， 再令右端 nn r 個解向量，這n r 個解向量構(gòu)成了方程組的基礎(chǔ)解系。例 求數(shù)域 K 上的齊次線性方程組x1x23x4x50,x1x22x3x40,4x12x26x33x44x50,2x14x22x34x47x50.的一個基礎(chǔ)解系。解 用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形：r(A) 3 ，基礎(chǔ)解系中有nr(A)2 個向量。寫出階梯形矩陣所對應(yīng)的

34、方程組寫出階梯形矩陣所對應(yīng)的方程組X1X23x4X502x22x32x4X503x4X50移項(xiàng)，得X1X23x4X52x22x42x3X53x4X5(1)、取X31, X5 0,得一個解向量1 ( 1,1,1,0,0)；(2)、取X30,X5 1 ,得另一解向量11 - 3A5 一 6,7 一 6(22即為方程組的一個基礎(chǔ)解系,方程組的全部解可表示為ki ik2 2 (ki, k 2K).解畢。非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)給定一個一般線性方程組a11x1al2X2,.a1nXnh,a21X1a22X2.a2nXnb2,am1 X1am2 X2. amnXnbm(*)于是其系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別

35、為aiia12aina21A 21Ma22Ma2nMh b2 Mamiam2amnbm定理(數(shù)域K上線性方程組有解的判別定理) 對于數(shù)域K上的線性方程組(*),若r(A) r(A),則方程a11a12La1na21a22La2nMMMam1am2Lamn組無解；r(A) r(A) n ,則有唯一解；r(A) r(A) n ,則有無窮多解。證明寫出線性方程組的向量形式,其中x1 1X2 2Xn na2ii M , (i 1,2,L，n)，ab2 M bmai ami若r(A) r(A),則由矩陣秩的定義，可知 A列向量組的秩小于 A列向量的秩，即向量組 1, 2,L , n的秩小于向 量組1,

36、2,L , n,的秩。只需證明 不可以被向量組 1, 2,L , n線性表出即可證明方程組無解。事實(shí)上，若1, 2,L , n可以將 線性表出，則向量組 1, 2,L , n與1, 2,L , n,線性等價，則兩個向量組的秩相等，矛 盾于向量組 1, 2,L , n的秩小于向量組 1, 2,L , n,的秩。所以1, 2,L , n不能將 線性表出，方程組無解 得證。若r(A) r(A),則1, 2,L , n的極大線性無關(guān)部分組就是1, 2,L , n,的極大線性無關(guān)部分組。于是能被1, 2,L , n線性表出，即線性方程組有解。任取線性方程組的一個解向量，記為0,對于線性方程組的任意一個解

37、向量，0是由原方程組系數(shù)矩陣所對應(yīng)的齊次線性方程組(稱為線性方程組(*)的導(dǎo)出方程組)的解向量。事實(shí)上，可以分別將和0帶入(*),再將對應(yīng)方程相減，即可證明上述結(jié)論。反過來，容易證明，對于導(dǎo)出方程組的每一個解向量，0都是線性方程組(*)的解向量。以T記導(dǎo)出方程組的解向量組成的集合，則(*)的解為0| T .詳言之，記導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系為1, 2,L , n r ,則(*)的解為：0 k1 1 k2 2 L kn r n r, ( ki K,i 1,2,L ,n r).如果r(A) r(A) n,則T 0,故方程組(*)有唯一解；如果 r(A) r(A) n ,則T為無窮集合，故方程組 (*)

38、有無窮多解。第一學(xué)期第八次課2.4.1矩陣運(yùn)算的定義定義(矩陣的加法和數(shù)乘)第二章§ 4矩陣的運(yùn)算給定兩個m n矩陣a11a12La1n如5Lb1na21a22La2nBb21b22Lb2nMMMMMMam1am2Lamnbm1bm2LbmnA和B加法定義為ABa21b11b21a12a22b12b22am1bm1am2bm2給定數(shù)域 K 中的一個元素k ， k 與 A 的數(shù)乘定義為kA k定義 （矩陣的乘法）A 和 B 的乘法定義為2.4.2 矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）的性質(zhì)命題矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算規(guī)律（其中1）加法結(jié)合律2）加法交換律3）數(shù)乘結(jié)合律4）數(shù)

39、乘分配律5）乘法結(jié)合律6）乘法分配律7）(A B)' A'8）2.4.3 矩陣的和與積的秩a1na2nb1nb2namna11a12La1nka11ka12Lka1na21a22La2nka21ka22Lka2nMMMMMMam1am2La mnkam1kam2Lkamnn 矩陣和一個給定一個 ml 矩陣a11a12La1nb11b12Lb1la21a22La2n，Bb21b22Lb2lMMMMMMam1am2Lamnbn1bn2Lbnlnnna1ibi1a1i bi 2a1ibili1i1i1nnnABi1a2ibi1a2ibi2i1a2ii1bil.nnnamibi1ami

40、bi2amibili1i1i1數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）的性質(zhì)(A B) C A (B C)；k(lA) (kl)A；k(A B) kA kB ；(k l)A kA lA ；(AB)C A(BC)k(AB) (kA)BA(B C) AB(B C)A BAAB ' B'A' 。A, B, C 均為 K 上的矩陣， k, l 為數(shù)域 K 中的元素）A(kB)；BC ；CA；B'命題 矩陣的運(yùn)算與秩的關(guān)系滿足如下性質(zhì)（其中 A, B 均為數(shù)域 K 上的 m n 矩陣， k 為 K 中的元素）1)若 k 0 ，則r(kA) r(A) ；2)r(A') r(A) ；3)r

41、(A B) r(A) r(B)證明1)和( 2)顯然成立。關(guān)于( 3) ，由矩陣的秩的定義，只需要證明 A B 的列向量組的秩小于等于 A 的列向量組的秩加上 B 的列向量組的秩即可。 A B 的列項(xiàng)量可以被A 和 B 的所有列向量線性表出， 于是 A B 的秩A, B 秩的和。于是命題成立。小于等于 A, B 所有列向量的所組成的向量組的秩，小于等于命題 設(shè) A, B 分別為 m n 矩陣和一個n l 矩陣，則r (AB)min ( r(A), r(B).證明 由矩陣乘法的定義，有a1ibi1a1i bi 2a1ibilABAB 的列向量(記為 A? Bi (i 1,2,A?Bii1ni1n

42、i1na2i bi1a2ibi2a2i bilami bi1amibi2amibili1i1i1, l ) )可表示為pj表小為a11a12a1na21b1ia22b2iLa2n bni， (i 1,2,LM 1iM 2iMniam1am2amnnnni1i1i1l)，AB 每一個列向量都可以寫成r (AB)min ( r(A), r(B) 。命題r(AB) r (A) r(B)n.證明記 C AB ，設(shè) B 的列向量為B1 , B2 ,L , Bl ，則 C 的列向量可以表示為CiABi .1)設(shè)C的列向量的一個極大線性無關(guān)部分組為Ci1,Ci2 ,L , Cir ,CijABij ， j

43、1,2,L ,r ，任取 C 的一個列向量Cj ，存在 kj1, k j2,L , kjl ，使得 Cjk j1Ci1kj2Ci2LkjrCir ， 將( 1)，式代入，得到A(kj1Bi1kj2Bi2LkjrBir)Cj ，是勺向 kj2Bi2 L kjB是方程組AX Cj的一個特解。設(shè)齊次線性方程組AX0 的基礎(chǔ)解系為1 , 2 ,L , n r (A) ，由線性方程組理論知，方程AXC j 的解可以表示其中miK ， 由 CijABij線性表示，于是r(B)kj1Bi1kj2Bi2Bi 是方程AXs r(AB) (nLkjr Birm1 1m2 2 L mn r(A)Ci 的解， 于是

44、B 的列向量可以被向量組r(A) ，即n r(A) ，Bi1,Bi2,L ,Bir, 1, 2,L , n r(A)A 的列向量組的線性組合，故r (AB) r(A) ；同理可證， r (AB) r(B) ，于是r(AB) r(A) r(B) n .證畢。10O定義 n 階方陣 A 自左上角到右下角這一條對角線稱為 A 的主對角線。主對角線上的 n 個元素的連加稱為 A跡。第一學(xué)期第九次課第二章 § 5n 階方陣2.5.1 n 階方陣，對角矩陣，數(shù)量矩陣，單位矩陣，初等矩陣，對稱、反對稱、上三角、下三角矩陣反對稱、上三角、下三角矩陣定義 （數(shù)域 K 上的 n 階方陣） 數(shù)域 K 上的 nn 矩陣成為K 上的 n 階 方陣K 上全體 n 階方陣所成的集合記作 Mn(