靜態(tài)誤差理論及數據處理數據報告

1、靜態(tài)誤差理論及數據處理綜合應用報告摘要：誤差理論從產生到發(fā)展，經歷了很長一段時間。研究誤差的意義在于能夠正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，并且正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果。本文主要針對靜態(tài)誤差，具體闡述了靜態(tài)誤差理論，以及靜態(tài)誤差理論在實際數據處理中的具體運用。關鍵字：靜態(tài)誤差 數據處理一、靜態(tài)誤差理論1. 誤差的基本性質1.1誤差的基本概念誤差是評定測量精度的尺度，誤差越小表示精度越高。1在測量中，誤差就是測量值與真值之差。若某物理量的測量值為y，真值為Y，則測量誤差dy = y - Y。雖然真值是客觀存在的，但實際應用時它一般無從得知。按照誤差的性質，可分為隨機誤差，系統(tǒng)

2、誤差和粗大誤差三類。隨機誤差：是同一測量條件下，重復測量中以不可預知方式變化的測量誤差分量。系統(tǒng)誤差：是同一測量條件下，重復測量中保持恒定或以可預知方式變化的測量誤差分量。粗大誤差：指超出在規(guī)定條件下預期的誤差。1.2隨機誤差1.2.1 定義測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。1.2.2 特征在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。 1.2.3 關于隨機誤差的正態(tài)分布特征當對同一量值進行多次等精度的重復測量，得到一系列的測量值，每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現沒有特定的規(guī)律，但就誤差的總體而言，卻有統(tǒng)計規(guī)律

3、。多數隨機誤差都服從正態(tài)分布。2分析服從正態(tài)分布的隨機誤差的特性。設被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機誤差可表示為： 式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數為 式中：標準差（或均方根誤差） e自然對數的底，基值為2.7182。它的數學期望為： 它的方差為：由正態(tài)分布函數公式可知，即絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數相等，這稱為誤差的對稱性；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的次數多，這稱為誤差的單峰性；隨機誤差只是出現在一個有限的區(qū)間內，即-k,+k,稱為誤差的有界性；隨著測量次數的增加，隨機誤差的算術平均值趨向于零，這稱為誤差的補償性。31.2.4 算術平均值及標準差的計算1.2

4、.4.1 算術平均值由于隨機誤差的抵償性，當測量次數足夠多時，正，負誤差的絕對值相等，因此，多次測量的算術平均值作為被測量的測量結果，能減小隨機誤差的影響。設x1,x2,x3, ,xn為n次測量值,則算術平均值x為x=1ni=1nxi1.2.4.2 實驗標準（偏）差由于隨機誤差的存在，等精度測量中各測得值一般皆不相同，它們圍繞著測量列的平均值有一定的分散性，測量的標準差可用實驗標準（偏）差表征，由貝賽爾公式計算。s=1n-1i=1n(xi-x)2應當指出，標準差不是測量列中任何一個具體測得值的隨機誤差，標準差的大小說明在一定條件下的等精度測量隨機誤差的概率分布情況。標準差大，隨機誤差的分布范圍

5、寬，精密度低；標準差小，隨機誤差的分布范圍窄，精密度高。1.2.4.3 算數平均值的標準偏差如果在相同條件下對同一量值做多組測量，每一測量列都有一算術平均值，由于隨機誤差的存在，各個測量列的平均值各不相同，它們圍繞著真值有一定的分散性，因此可用算術平均值的標準差來表征算術平均值的分散性。sx=sn=1n(n-1)i=1n(xi-x)21.3系統(tǒng)誤差 1.3.1 定義在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。1.3.2 性質 在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。1.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現

6、方法如何發(fā)現測量中的系統(tǒng)誤差，是分析和處理系統(tǒng)誤差的首要問題。只有將產生系統(tǒng)誤差的因素全部找出，才能采取相應的措施消除或減弱系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。由于產生系統(tǒng)誤差的因素是多方面的，又很復雜，我們還不能找到一套適用于所有系統(tǒng)誤差的通用方法。但對于測量中存在的較為顯著的系統(tǒng)誤差，可以通過一些檢驗方法和手段發(fā)現。4 1. 通過實驗對比檢驗系統(tǒng)誤差為了驗證某一測量儀器或測量方法是否存在系差，可用高一級精度的儀器或測量方法給出標準量進行對比檢驗。這種檢定不僅能發(fā)現測量中是否存在系差，而且能夠確定具體數值。有時，由于測量精度高或被測參數復雜，難以找到高一級精度的測量儀器或測量方法提供的標準量。此時，可

7、用同精度的其它儀器或測量方法給出的測量結果作對比，若發(fā)現明顯差別，表明二者之間有系差。2. 通過理論分析判斷系統(tǒng)誤差對測量器具、測量原理、方法及數據處理等方面進行具體分析，能夠找到測量中的各系差因素。3. 對測量數據進行直接判斷通過觀察測量數據的變化趨勢，直接發(fā)現測量中的系統(tǒng)誤差。這一方法較為粗略，但簡單易行。4. 用統(tǒng)計方法進行檢驗按隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律做出某種統(tǒng)計判斷，如果不相符合，則說明包含系統(tǒng)誤差。由于這種判別方法不涉及測量本身，僅針對測量數據因而便于使用。但每種統(tǒng)計方法都不是完美的，其應用是有限的，常用的有：殘差校驗法、阿貝-赫梅特判別法、殘差總和判別法、標準差比較法等。1.4 粗大誤

8、差1.4.1 粗大誤差的產生原因測量數據中包含隨機誤差和系統(tǒng)誤差是正常的，只要測量誤差在一定的范圍內，測量結果就是正確的。但當測量者在測量時由于疏忽造成錯誤讀取示值，錯誤紀錄測量值，錯誤操作以及使用有缺欠的計量器具時，會出現粗大誤差，此數據的誤差分量明顯偏大，即明顯歪曲測量結果。任意一測量數據都含有測量誤差，并服從某一分布，它使測量結果具有一定的分散性。因此，任憑直觀判斷，難于區(qū)分含有粗大誤差的異常數據和正常數據。1.4.2 粗大誤差的判別方法在測量過程中，確實是因讀錯記錯數據，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經發(fā)現，就應在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術上和物理

9、上找出產生異常值的原因，是發(fā)現和剔除粗大誤差的首要方法。有時，在測量完成后也不能確知數據中是否含有粗大誤差，這時可采用統(tǒng)計的方法進行判別。統(tǒng)計法的基本思想是：給定一個顯著性水平，按一定分布確定一個臨界值，凡超過這個界限的誤差，就認為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數據應予以剔除。在判別某個測得值是否含有粗大誤差時，要特別慎重，應作充分的分析和研究，并根據判別準則予以確定。常用的判別準則有：準則；羅曼諾夫斯基準則；格羅布斯準則等2. 測量不確定度2.1 定義測量不確定度是指測量結果變化的不肯定。5它是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，是測量結果含有的一個參數，用來表示被測量值的分

10、散度。從測量不確定度的定義中可知，一個完整的測量結果包括：被測量值的估計和分散性參數兩個部分。即：測量結果=被測量的估計值+不確定度。2.2 分類不確定度從評定方法上可分為兩類：A類分量和B類分量。用統(tǒng)計方法來評定的不確定度稱為A類不確定度評定，當測量誤差服從正態(tài)分布時，以標準差表示稱為標準不確定度，用符號u表示，u=s。由于標準差所對應的置信概率通常不夠高，正態(tài)分布情況下僅為68.3%，因此還可用標準差的倍數來表示不確定度，用符號UA表示。擴展不確定度和標準不確定度的關系為UA=ku，式中k稱為包含因子（或覆蓋因子），是相對于置信概率p的置信系數。由于實際測量時一般為小樣本，u的可信程度較低

11、，所以應按t分布確定k值，t分布系數由附錄中查找。不能由統(tǒng)計方法評定的不確定度稱為B類不確定度評定，A類以外的不確定度均屬B類不確定度。進行B類不確定度評定時，須分析實際情況，利用生產部門或研究部門提供的技術說明文件，以及對測量儀器特性的了解和經驗，對測量值B類不確定度做出評定。要求評定者有一定的分析能力和經驗，能根據不同的信息資料做出相應的處理。如當測量儀器檢定證書上給出準確度等別時，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的不確定度大小，按規(guī)定的分布（正態(tài)分布或t分布等）求出B類不確定度。當量儀器檢定證書上給出準確度等級時，可按平均分布利用儀器規(guī)定的最大儀器誤差進行評定。2.3 直接測量不確定

12、度的評定直接測量就是用測量儀器直接獲得被測量的量值的方法，分為等精度和不等精度直接測量。2.3.1 等精度直接測量的不確定度評定等精度測量是指參與測量的要素均不發(fā)生改變的條件下進行的多次重復測量。等精度測量是一個理想的條件。對等精度測量進行不確定度評定，首先要判定是否存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，對系統(tǒng)誤差設法消除或加以修正，對測量數據進行粗大誤差的判別，確定為粗大誤差的應予以刪除，不能夠消除的系統(tǒng)誤差應進行不確定度的B類評定。不確定度的A類評定:計算測量列的算術平均值x：x= 1ni=1nxi計算殘余誤差vi：vi=xi-x計算算術平均值的標準偏差sx， 及標準不確定度u=sx=1n(n-1)i=

13、1nvi2確定包含因子kp包含因子kp與測量列的分布特征，自由度及置信水準p有關。計算擴展不確定度UAUA=kpu 或UA=tpu不確定度的B類評定：已知置信水準和包含因子根據經驗和有關信息資料，由置信區(qū)間a和相應的包含因子k按照公式求出標準B類不確定度：u=ak已知擴展不確定度和包含因子如果儀器制造部門的說明書中明確給出擴展不確定度U和包含因子K，則可求出標準B類不確定度：u=Uk已知使用儀器的等級如果儀器制造部門的說明書中明確給出測量儀器的準確度等級，可按最大允許誤差A來求標準B類不確定度：u=A3已知重復性限和重復性限求不確定度如果儀器制造部門的說明書中明確給出重復性限r和復現性限R，則

14、標準B類不確定度為：u=r2.83 或 u=R2.83考慮到包含因子，總的B類不確定度為：UB=kpu總的不確定度：U=UA2+UB2測量結果的表達X=x±U 并標明置信水準2.3.2 不等精度直接測量的不確定度評定計算不確定度時B類不確定度的求法與等精度測量相同，A類不確定度的計算如下：權值的確定不等精度測量是指在測量過程中，除被測對象不改變，其他的要素發(fā)生改變的測量。如儀器、測量方法、測量環(huán)境以及測量人員中任何一項發(fā)生改變，都可認為是不等精度測量。不等精度測量中不確定度計算涉及權w，即測量的可信賴程度，權值越大可靠程度越高。在其他測量條件相同的情況下，測量次數越多，則測量結果越可

15、靠，其權值也越大，故可用測量次數來確定權值，即w=n。假定同一個被測量有m組不等精度的測量結果，這m組測量結果是從單次測量精度相同而測量次數不同的一個系列測量值求得的算術平均值。因為單次測量精度都相同，其標準差均為s，則算術平均值的標準差為Si=Sni i=1,2,3, ,m由此得到n1s12=n2s22=nmsm2=s2，因為w=n， 又可寫成w1s12=n2s22=nmsm2=s2或表示成 w1:w2: :wn=1s12:1s22:1sn2即測量結果的權值wi與其相應的方差成反比測量列的算術平均值x：x=i=1nwixii=1nwi算術平均值的標準偏差sx：sx=1i=1n1si2上式是已

16、知si時的不確定度計算，如果權值已知，當然也可根據權值計算不確定度，見下式：sx=i=1nwivi2(n-1)i=1nwi計算擴展不確定度UAUA=kpu包含因子kp與測量列的分布特征、自由度及置信水準P有關最后合成總不確定度U=UA2+UB2 并寫出結果表達式2.4 提高測量精度的途徑在擬定或設計測量方法時，需要確定測量的不確定度。測量的總不確定度應根據被測量的精度要求恰當的給以規(guī)定。反過來，要想提高測量的精度，就應盡可能的減小最后結果的總不確定度。根據不確定度的合成關系，可從下面幾方面著手?？刂茰y量的誤差因素控制各誤差因素來減小各不確定度分量，這是提高測量精度的最基本方法。首先從根源上消除

17、或減小誤差的影響。對測量的環(huán)節(jié)進行具體分析，找出產生誤差的原因，采取恰當的措施減小或消除。例如嚴格控制環(huán)境溫度，保證穩(wěn)定的測量環(huán)境，選擇好的測量儀器，提高儀器的測量精度等。再次選擇恰當的方法，能避免某些誤差因素對測量結果的影響。例如：對稱測量可消除線性變化的誤差，對于周期性的系差采用一定的方法（半周期法）可減小或消除。選擇有利的測量方案在間接測量中，測量結果往往與很多因素有關，測量方案的選擇有多種，最佳的方案就是使測量結果的不確定度達到最小的方案。要做到這一點，應從兩方面入手，首先選擇最佳的測量公式。一般說來，間接測量的函數公式可能不止一種，在間接測量的函數公式中，不確定度分量的個數越少，合成

18、的總不確定度就會越小。因此如果可由函數公式所涉及的直接測量的個數最少來確定函數公式，既確定測量方程的最佳形式。另外，間接測量的不確定度還與靈敏系數有關，應遵循靈敏系數最小原則。根據不確定度的傳播公式，顯然，若靈敏系數越小，則相應的直接測量量的不確定度分量與靈敏系數的乘積就越小。因此，若能使不確定度分量的靈敏系數最小，就可減小其對間接測量的總不確定度的貢獻?？刂普`差的最大分盤與微小誤差相反，在測量中，一個或幾個大的誤差對測量精度的影響舉足輕重。若能適當減小這一個或幾個直接測量量的不確定度，就可大大減小最后測量的總不確定度，從而提高測量的精度。因此，為了有效的提高測量精度，還應從大的誤差分量下手，

19、適當控制最大誤差分量。3. 回歸分析在科學實驗中，常常需要尋求相互關聯的兩個或多個變量之間的內在聯系。根據測量得到的若干組兩個或多個變量的對應數據，求表示這些變量間關系的解析式的過程稱為回歸。6最簡單的回歸分析就是線性回歸，又以兩個變量的線性回歸最簡單。3.1 直線擬合最小二乘法假定所研究的變量x和y之間存在線性關系，則函數形式可寫成y=a+bx由于自變量只有一個，故稱為一元線性回歸。利用測量的一組數據xi，yi，（i=1,2,n）來確定系數a和b。由于測得的xi，yi，不可能完全落在同一直線上，因此，對應于每個xi，觀測值yi，和最佳經驗公式的y之間存在一個偏差，我們稱它為觀測值yi的殘差e

20、。7殘差的正負和大小表示了實驗觀測點在回歸法求得的直線兩側的分散程度。為了使殘差的正負不抵消，且考慮所有實驗值的影響，我們計算殘差的平方和RSS。如果a和b的取值使殘差的平方和RSS最小，a和b即為所求值。3.2 直線擬合最小一乘法一元線性回歸是處理兩變量關系的最簡單的模型。當樣本中存在異常值時,經最小二乘法擬合的直線會偏離真實直線，出現偏差。這是因為最小二乘法擬合時，是利用殘差平方和最小進行線性擬合，當有異常值時，其殘差較大，殘差平方和會進一步放大，為了使殘差平方和最小，必然把擬合直線拉向異常值，從而偏離真實直線。8但最小一乘法在線性擬合時，是利用偏離直線的絕對值之和最小為依據，因此異常值的

21、影響沒有最小二乘法那么顯著，是一種穩(wěn)健性的線性擬合方法。但在計算上，不像最小二乘法那樣，有明確的計算公式，并且會出現擬合直線不唯一的情況。由于最小一乘法的計算量大，它的使用不像最小二乘法那么普及。一些文獻中的最小一乘法是利用坐標軸平移，把擬合直線的一般形式，變成無截距的形式，每個樣本點處找到過樣本點(帶約束)的最優(yōu)直線，在所有樣本點的最優(yōu)直線中比較它們的最小絕對值之和，找出最小的值，它所對應的那條直線即為所求直線。當為最優(yōu)直線時，每個樣本點處偏離直線的絕對值之和位于一折線凸函數的最低點上，在此最低點左側折線的斜率小于零，右側折線的斜率大于等于零。9利用此性質，確定每個樣本點的最優(yōu)直線。本算法則

22、是利用最小一乘法的特點，最優(yōu)直線過其中的兩個樣本點，只要找到這兩個樣本點就可以確定直線方程，把直線確定轉化為樣本點的確定。二、數據處理綜合應用1. 誤差的基本性質與處理實驗內容：對某一軸徑等精度測量8次，得到下表數據，求測量結果。序號1234567824.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674假定該測量列不存在固定的系統(tǒng)誤差，則可按下列步驟求測量結果。1、算術平均值2、求殘余誤差3、校核算術平均值及其殘余誤差4、判斷系統(tǒng)誤差5、求測量列單次測量的標準差6、寫出最后測量結果實驗過程：算術平均值根據：可得：x=i=18li8=24.674125求

23、殘余誤差根據：-計算可得：li24.67424.67524.67324.67624.67124.67824.67224.674vi-0.000130.000875-0.001130.001875-0.003130.003875-0.00212-0.00013校核算術平均值及其殘余誤差殘差和：=0.000375 殘余誤差代數和絕對值應符合：當n為偶數時，A 當n為奇數時，測量列中單次測量的標準差測量列算術平均值的標準差=0.000843644=0.0022320712判別系統(tǒng)誤差對某量進行10次測量，測得數據為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.

24、1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：按貝塞爾公式 按別捷爾斯法 由 得 所以測量列中無系統(tǒng)誤差存在。3. 判別粗大誤差在實驗數據的處理過程中，一般不需判斷測量的原始數據是否正確，當測量數據含有粗大誤差時，對測量結果將造成歪曲并影響不確定度的大小。在此，以鋼絲楊氏模量直徑測量數據為例，當測量數據中含有粗大誤差時，用兩種數據處理方法分別求最佳值和不確定度并進行比較。實驗原始數據如下表：測量次數n12345678直徑 D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893直接計算平均值及測量列的標準差D=i=1nDi8=0.909(mm)SD=I=

25、18(Di-D)28-1=0.035855(mm)進行測量數據的分析判斷粗大誤差的判別方法很多，由于狄可遜準則不需計算標準差，可以快速的判別異常數據。因此此處利用狄可遜準則進行檢驗。首先將測量數據按順序排序，排序如下：0.8890.8930.8930.8950.8960.8970.9120.996由于最后一個數據和它前一數據比較，出入較大，因此有理由懷疑最后一個是可疑數據。確定檢出水平a=0.05，剔除水平a*=0.01經查表得到測量次數為8次時的狄可遜統(tǒng)計量r08,0.01=0.683r08,0.05=0.554當測量次數為8時，用下式計算狄可遜統(tǒng)計量。r(n)=x(n)-x(n-1)xn-

26、x(2)得到：r8=0.996-0.9120.996-0.893=0.816由于r8>r0(8,0.01),可以確定測量數據中的0.996含有粗大誤差，為異常數據而且應剔除并應在原始數據中進行標識。原始數據整理為：測量測試n12345678直徑D(mm)0.8960.9120.8890.8950.8930.9960.8970.893剔除異常數據后，對剩下的原始數據重新分析判斷，發(fā)現已不存在粗大誤差。這時對剩下的原始數據計算最佳值及測量列的標準差。計算如下：D=I=18DI-0.9967=0.896(mm)SD=I=18(DI-D)2-(0.996-0.896)26=0.0073(mm)4

27、. 不確定度的計算某圓球的半徑為r，若重復10次測量得r±r =(3.132±0.005)cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：其標準不確定度應為： 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：UKu3.25×0.03140.102求圓球的體積的測量不確定度圓球體積為：其標準不確定度應為：確定包含因子。查t分布表t0.01（9）3.25，及K3.25最后確定的圓球的體積的測量不確定度

28、為UKu3.25×0.6162.0025. 最小二乘法的應用以液體旋光率實驗為例，進行葡萄糖溶液濃度的反預測，計算葡萄糖溶液濃度的反預測值及其不確定度計算。葡萄糖溶液濃度及旋光度測量數據如下表：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.1750.2000.250未知零點誤差旋光度(*)左9.7012.3514.9017.1520.3025.3012.60-0.10右9.6512.3514.8517.1020.2025.2512.550測量條件：T=18.3 =589.3nm L=20cm經過計算旋光度和濃度關系對應如下：濃度(g/ml)0.1000.1250.1500.175

29、0.2000.250未知旋光度(。)9.7212.4014.9217.1820.3025.3212.62 直接預測不求不確定度 以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進行數據處理得：旋光率的計算斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=100.18則 旋光率為：=50.09ºmlg.dm濃度反預測點的計算x=yb=12.62100.18=0.126 g/ml有不確定計算的預測旋光率的計算以濃度為自變量x，旋光度為因變量y，利用關系式=CL用最小二乘法直線擬合無截距形式y(tǒng)=bx進行數據處理得：斜率 b=L=i=16xiyii=16xi2=1