曲線積分與曲面積分重點總結(jié)例題

1、第十章 曲線積分與曲面積分【教學(xué)目標(biāo)與要求】1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2. 掌握計算兩類曲線積分的方法。3. 熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4. 了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計算第一類曲面積分的方法?！窘虒W(xué)重點】1. 兩類曲線積分的計算方法；2. 格林公式及其應(yīng)用；3. 第一類曲面積分的計算方法；【教學(xué)難點】1. 兩類曲線積分的關(guān)系及第一類曲面積分的關(guān)系；2. 對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計算；3. 應(yīng)用格林公式計算對坐標(biāo)的曲線積分；6.兩類曲線積分的計算方法；7.格林公式及其應(yīng)用格林公

2、式計算對坐標(biāo)的曲線積分；【參考書】1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 高等數(shù)學(xué)(下)，第五版 . 高等教育出版社 .2 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，第六版 .高等教育出版社3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南(下)，第六版 . 高等教育出版社§11.1 對弧長的曲線積分一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在 xOy 面內(nèi)的一段曲線弧 L 上 已知曲線形構(gòu)件在點 (xy) 處的線密度為 (x y) 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 把曲線分成 n 小段 s1 s2sn( si 也表示弧長 )任取( i i) si 得第 i 小段質(zhì)量的近似值

3、( i i) sin 整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為 M( i , i) sii1令 max s1 s2sn 0 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為nM lim( i , i ) si0 i 1這種和的極限在研究其它問題時也會遇到定義 設(shè)函數(shù) f(x y)定義在可求長度的曲線 L 上 并且有界 ，將 L 任意分成 n 個弧段 s1 s2 sn 并用 si 表示第 i 段的弧長 在每一弧段 si 上任取一點 ( i i ) 作和 nf ( i, i ) si 令 max s1 s2sn 如果當(dāng) 0 時 這和的極限總存在 則稱此i1極限為函數(shù) f(x y)在曲線弧 L 上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分 記作 f

4、 (x, y)ds 即nL f (x,y)ds lim f ( i, i) siL 0 i 1其中 f(x y)叫做被積函數(shù) L 叫做積分弧段曲線積分的存在性 當(dāng) f(x y) 在光滑曲線弧L 上連續(xù)時 對弧長的曲線積分f (x, y)ds 是存在的 以后我們總假定 f(x y) 在 L 上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分 L (x, y)ds 的值 其 中 (x y)為線密度n 對弧長的曲線積分的推廣 f (x,y,z)ds lim f( i, i, i ) si0i 1如果 L(或 )是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在 L(或 )上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲

5、線積分的和 例如設(shè) L 可分成兩段光滑曲線弧 L1 及 L2 則規(guī)定L L f (x,y)ds L f (x, y)ds L f ( x, y)ds閉曲線積分 如果 L 是閉曲線 那么函數(shù) f(x y) 在閉曲線 L 上對弧長的曲線積分記作 f (x, y)ds對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) c1、c2 為常數(shù) 則Lc1f(x,y) c2g(x,y)ds c1 L f(x,y)ds c2 Lg(x,y)dsf(x,y)ds性質(zhì) 2 若積分弧段 L 可分成兩段光滑曲線弧 L1和 L2 則L f (x, y)ds L f (x, y)ds L性質(zhì) 3 設(shè)在 L 上 f(x y) g(x y)

6、則L f (x, y)ds L g(x,y)ds特別地 有| L f ( x, y)ds| L| f (x,y)|ds二、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義 如果曲線形構(gòu)件 L 的線密度為 f(x y) 則曲線形構(gòu) 件 L 的質(zhì)量為 L f ( x, y)ds另一方面 若曲線 L 的參數(shù)方程為x (t) y (t) ( t )則質(zhì)量元素為f ( x, y)ds f (t), (t) 2(t) 2(t)dt曲線的質(zhì)量為f (t), (t) 2(t) 2(t)dt即 L f (x,y)ds f (t), (t) 2(t) 2(t)dt定理 設(shè) f(x y)在曲線弧 L 上有定義且連

7、續(xù) L 的參數(shù)方程為 x (t) y (t) ( t )其中 (t)、 (t)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 2(t) 2(t) 0 則曲線積分 L f(x,y)ds存在且L f(x,y)ds f (t), (t) 2(t) 2(t)dt( < )應(yīng)注意的問題 定積分的下限 一定要小于上限 討論(1) 若曲線 L 的方程為 y (x)(a x b) 則 L f(x,y)ds ? 提示 L 的參數(shù)方程為 x x y (x)(a x b) f(x,y)ds b fx, (x) 1 2(x)dxLa(2) 若曲線 L 的方程為 x (y)(c y d) 則 L f (x,y)ds ? 提示 L 的參

8、數(shù)方程為 x (y) y y(c y d)L f ( x, y)ds cd f ( y), y 2(y) 1dy(3) 若曲 的方程為 x (t) y (t) z (t)( t ) 則 ,z)ds ?提示 f ( x, y, z)ds f (t), (t), (t) 2(t) 2(t) 2(t)dt例 1 計算 L yds 其中 L 是拋物線 y x2 上點 O(0 0)與點 B(1 1)之間的一段弧2解 曲線的方程為 y x2 (0 x 1) 因此例 2 計算半徑為 R、中心角為 2 的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量 I（設(shè)線密度為1）解 取坐標(biāo)系如圖所示 則 I L y2ds 曲線 L

9、 的參數(shù)方程為x Rcos y Rsin ( < )于是 I L y2dsR2sin2 ( Rsin )2 (Rcos )2dR3 sin2 d R3( sin cos )例 3 計算曲線積分 (x2 y2 z2)ds 其中 為螺旋線 x acost、y asint、 z kt 上相應(yīng) 于 t 從 0 到達(dá) 2 的一段弧解 在曲線 上有 x2 y2 z2 (a cos t)2 (a sin t)2 (kt)2 a2 k 2t 2 并且ds ( asint)2 (acost) 2 k2dt a2 k2dt 于是 (x2 y2 z2)ds 0 (a2 k2t2) a2 k2dt32 a2 k

10、2(3a2 4 2k2)3小結(jié)用曲線積分解決問題的步驟(1) 建立曲線積分(2) 寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程 ) 確定參數(shù)的變化范圍(3) 將曲線積分化為定積分(4) 計算定積分教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意曲線積分解決問題的步驟，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。師生活動設(shè)計221. 已知橢圓 L : x y1周長為 a，求 (2xy 3x2 4y2)ds 。4 3 L2. 設(shè) C 是 由 極 坐 標(biāo) 系 下 曲 線 r a, 0 及所 圍 成 區(qū) 域 的 邊 界 ， 求4e x2 y2ds講課提綱、板書設(shè)計作業(yè) P190: 3 (1)(3)(5)(7)§11

11、2 對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點在 xOy面內(nèi)在變力 F(x y) P(x y)i Q(x y)j 的作用下從點 A沿光滑曲線弧 L 移動到點 B 試求變力 F(x y)所作的功用曲線 L 上的點 A A0 A1 A2An 1 An B 把 L 分成 n 個小弧段設(shè) Ak (xk yk) 有向線段 Ak Ak 1 的長度為 sk 它與 x 軸的夾角為 k 則AkAk 1 cos k,sin k sk (k 0 1 2 n 1)顯然 變力 F(x y)沿有向小弧段 AkAk 1 所作的功可以近似為F(xk,yk) AkAk 1 P(xk,yk)co

12、s k Q(xk,yk)sin k sk于是 變力 F(x y)所作的功n 1n 1WF(xk,yk) AkAk 1P(xk,yk)cos k Q(xk, yk)sin k skk 1k 1從而W LP(x,y)cos Q(x,y)sin ds這里 (x y) cos sin 是曲線 L 在點 (x y)處的與曲線方向一致的單位切向量 把 L 分成 n 個小弧段L1 L2Ln 變力在 L i上所作的功近似為F( i i) si P( i i) xi Q( i i) yi變力在 L 上所作的功近似為nP( i, i) xi Q( i , i) yi i1變力在 L 上所作的功的精確值nW lim

13、 P( i, i) xi Q( i, i ) yi 0 i 1其中 是各小弧段長度的最大值 提示用 si xi yi表示從 Li 的起點到其終點的的向量用 si 表示 si的模 對坐標(biāo)的曲線積分的定義定義 設(shè)函數(shù) f(x y)在有向光滑曲線 L 上有界 把 L 分成 n 個有向小弧段 L1 L2Ln 小弧段 Li 的起點為(xi 1yi 1)終點為 (xi yi)xixi xi 1yiyi yi 1( i)為 Li 上任意一點 為各小弧段長度的最大值n如果極限 lim f( i, i) xi 總存在 則稱此極限為函數(shù) f(x y)在有向曲線 L 上對坐標(biāo) 0 i 1nx的曲線積分 記作 L f

14、(x,y)dx 即 L f (x, y)dx lim f( i, i) xi設(shè)L 為xOy面上一條光滑有向曲線 cos sin 是與曲線方向一致的單位切向量 函數(shù) P(x y)、Q(x y)在 L 上有定義 如果下列二式右端的積分存在 我們就定義L P( x, y)dx L P(x, y)cos dsLQ(x,y)dy L Q(x, y) sin ds前者稱為函數(shù) P(x y)在有向曲線 L 上對坐標(biāo) x 的曲線積分 后者稱為函數(shù) Q(x y)在有向曲 線 L 上對坐標(biāo) y 的曲線積分 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分定義的推廣設(shè) 為空間內(nèi)一條光滑有向曲線 cos cos cos 是曲線在點

15、 (x y z)處的與曲線方向 一致的單位切向量 函數(shù) P(x y z)、 Q(x y z)、R(x y z)在 上有定義 我們定義 (假如各式 右端的積分存在 )P(x,y,z)dx P(x,y,z)cos dsQ(x,y,z)dy Q(x,y,z)cos dsR(x,y,z)dzR(x, y, z) cos dsnnL f (x, y, z)dx lim f( i, i, i) xi L f (x, y,z)dy lim f( i, i, i) yiL 0i 1 L0 i 1nL f (x, y, z)dz limf( i, i, i) ziL0i 1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式L P(x,

16、y)dx LQ(x,y)dy L P(x, y)dx Q(x,y)dyP(x, y, z)dxQ( x, y,z)dyR(x,y,z)dzP(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)(1) 如果把 L 分成 L1和 L2 則Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx QdyLL1L2(2) 設(shè) L 是有向曲線弧 L 是與 L 方向相反的有向曲線弧 則 LP(x,y)dx Q(x,y)d L P(x,y)dx Q(x,y)dy 兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè) cos i sin i 為與 si 同向的單位向量 我們注意到 xi yi si 所以 xi cos i

17、si yi sin i si0i 1L f ( x, y)dx lim f( i, i) xi Llim f ( i, i)cos i sif ( x, y)cos ds0 i 1LL f(x,y)dy lim0i 1 f( i, i) yilim f( i, i)sin i sif(x,y)sin ds0 i 1 LL Pdx Qdy LPcos Qsin ds其中 A P Q t cos sin 為有向曲線弧 L 上點(x y)處單位切向量 dr tds dx dy類似地有x Qdy RdzdrA t dsAt ds其中 A P Q R T cos cos cos 為有向曲線弧 上點(x

18、y z)處單們切向量 dr Tds dx dy dz At 為向量 A 在向量 t 上的投影二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理 設(shè) P(x y) 、Q(x y) 是定義在光滑有向曲線 L x (t) y (t) 上的連續(xù)函數(shù) 當(dāng)參數(shù) t 單調(diào)地由 變到 時 點 M(x y)從 L 的起點 A 沿 L 運動到終點 B 則L P(x,y)dx P (t), (t) (t)dtL Q(x,y)dy Q (t), (t) (t)dt討論LP(x,y)dx Q(x,y)dy ？提示 L P(x, y)dx Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt定理 若 P(x y)

19、是定義在光滑有向曲線 L x (t) y (t)( t )上的連續(xù)函數(shù) L 的 方向與 t 的增加方向一致 則L P(x, y)dx P (t), (t) (t)dt所以簡要證明 不妨設(shè) 對應(yīng)于 t 點與曲線 L 的方向一致的切向量為 (t) (t)2(t) 2(t)從而P(x,y)dx P(x,y)cos dsP (t), (t) (t)dt應(yīng)注意的問題下限 a對應(yīng)于 L 的起點 上限 對應(yīng)于 L 的終點 不一定小于討論若空間曲線 由參數(shù)方程 xt) y = (t) z (t)給出 那么曲線積分P(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x, y, z)dz ？ 如何計算？提示P( x

20、, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x,y,z)dzP (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (t) R (t), (t), (t) (t)dt其中 對應(yīng)于 的起點 對應(yīng)于 的終點例題2例 1 計算 L xydx 其中 L 為拋物線 y2 x 上從點 A(1 1)到點 B(1 1)的一段弧例 2 計算 L y2dx(1)L 為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2(2) 從點 A(a 0)沿 x 軸到點 B( a 0)的直線段例 3 計算 L 2xydx x2dy (1) 拋物線 y x2上從 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (2)拋物線

21、x y2 上從 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (3)從 O(0 0)到 A(1 0) 再到 R (1 1)的有向折線 OAB 例 4 計算 x3dx 3zy2dy x2ydz 其中 是從點 A(3 2 1)到點 B(0 0 0)的直線段AB例 5 設(shè)一個質(zhì)點在 M(x y)處受到力 F 的作用 F 的大小與 M 到原點 O 的距離成正比 F 的方向恒指向原點 此質(zhì)點由點 A(a 0)沿橢圓 x2 y2 1 按逆時針方向移動到點 B(0 b) a2 b2求力 F 所作的功 W小結(jié)1. 第二類曲線積分的定義；2. 第二類曲線積分的計算方法。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意

22、第二類曲線積分的定義和計算方法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。師生活動設(shè)計1. 已知 為折線 ABCO，A 計算 I dx dy ydz 講課提綱、板書設(shè)計作業(yè) P200: 3 （1）（3）（5）（7），4§113 格林公式及其應(yīng)用一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域 設(shè)D為平面區(qū)域 如果 D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于 D 則稱 D為平面單連通 區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域 D 的邊界曲線 L 我們規(guī)定 L 的正向如下 當(dāng)觀察者沿 L 的這個方向 行走時 D 內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊區(qū)域 D 的邊界曲線 L 的方向定理1設(shè)閉區(qū)域 D由分段光滑的曲線 L圍成 函數(shù)P（x y）及Q（

23、x y）在D上具有一階連 續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有Q( Qx Py )dxdy L Pdx Qdy其中 L 是 D 的取正向的邊界曲線簡要證明 僅就 D 即是 X 型的又是 Y型的區(qū)域情形進(jìn)行證明設(shè) D (x y)| 1(x) y 2(x) a x b 因為 P 連續(xù) 所以由二重積分的計算法有yPy dxdyab2(xx)P(xy,y)dydxab P x, 2(x)Px, 1(x)dxya1(x) ya另一方面 由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計算法有2(x)dxLPdx L Pdx LPdx abPx, 1(x)dx ba Px,abPx, 1(x) Px, 2(x)dx a因此dxdy LPdx設(shè) D

24、(x y)| 1(y) x 2(y) c y d 類似地可證Qdxdy Qdx D x L由于 D 即是 X型的又是 Y型的 所以以上兩式同時成立 兩式合并即得Qx Py dxdy L Pdx Qdy應(yīng)注意的問題對復(fù)連通區(qū)域 D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域 D 的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)?區(qū)域 D 來說都是正向設(shè)區(qū)域 D 的邊界曲線為 L 取 P y Q x 則由格林公式得12 dxdy L xdy ydx 或 A dxdy xdy ydx D L D 2 L例 1 橢圓 x a cos y b sin 所圍成圖形的面積 A分析 只要 Qx Py 1 就有 D( Qx Py)dxdy

25、Ddxdy A例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線 證明L 2xydx x2dy 02例 3 計算 e y dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)為頂點的三角形閉區(qū)域 D分析 要使 Q P e y 只需 P 0 Q xe y xy例 4 計算 xdy2 yd2x 其中 L 為一條無重點、 分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L x2 y2Q y2 x2PL 的方向為逆時針方向y x 2 2解 令P x2 y2 Q x2xy2 則當(dāng) x y 0時 有 x (x2 y2)2y記L 所圍成的閉區(qū)域為 D 當(dāng)(0 0) D 時 由格林公式得xdy2 yd2x 0L x2 y2

26、當(dāng)(0 0) D 時 在 D 內(nèi)取一圓周 l x2 y2 r 2(r>0) 由 L及 l 圍成了一個復(fù)連通區(qū)域 D 1 應(yīng)用格林公式得xdy ydxx2 y2xdy ydxl x2 y2其中 l 的方向取逆時針方向于是xdyydx xdyydx2r 2 cos2r2 sin2d2r2L x2y2l x2y20d2記 L 所圍成的閉區(qū)域為 D當(dāng) (0 0) D 時 由格林公式得xdy ydxx2 y2D( Qx)dxdy 0分析 這里P x2 yy2 Q x2xy2x2 y2 0 時 有 Qxy2 x2(x2 y2)2二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)設(shè) G 是一個開區(qū)域

27、 P(x y)、Q( x y) 在區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果對于 G 內(nèi)任 意指定的兩個點 A、B 以及 G 內(nèi)從點 A到點 B的任意兩條曲線 L 1、L 2 等式Pdx Qdy Pdx QdyL1L2恒成立 就說曲線積分 LPdx Qdy在 G內(nèi)與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān)設(shè)曲線積分 LPdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān) L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點 A到點 B 的曲線 則有L Pdx Qdy L Pdx QdyL1L2因為L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy 0L1L2 L1 L2L Pdx Qdy L Pdx Qdy 0 L (L )P

28、dx Qdy 0L1L2 L1 (L2 )所以有以下結(jié)論曲線積分 LPdx Qdy在 G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿 G 內(nèi)任意閉曲線 C 的曲線積分 Pdx Qdy 等于零定理 2 設(shè)開區(qū)域 G 是一個單連通域 函數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù) 則曲線積分 L Pdx Qdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿 G 內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零) 的充分必要條件是等式PQyx在 G 內(nèi)恒成立充分性易證P QQ P若 P Q 則 Q P 0 由 格 林公 式 對任 意 閉曲 線 L 有 yxx yLPdx Qdy Q P dxdy 0L D x y必要性假設(shè)存在一點 M0 G 使

29、 Q P 0 不妨設(shè) >0 則由 Q P 的連續(xù)性 存在 x y x yM0的一個 鄰域U(M0, ) 使在此鄰域內(nèi)有 Q P 于是沿鄰域 U(M0, )邊界 l 的閉 x y 2曲線積分lPdx Qdy ( Qx Py )dxdy 2 2 0l U(M0, ) x y 2這與閉曲線積分為零相矛盾 因此在 G 內(nèi) Q P 0xy應(yīng)注意的問題定理要求 區(qū)域 G 是單連通區(qū)域 且函數(shù) P(x y) 及 Q(x y) 在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保證成立破壞函數(shù)P、Q及 Py 、Qx 連續(xù)性的點稱為 奇點例 5 計算 L 2xydx x2dy 其

30、中 L 為拋物線 y x2 上從 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧解 因為 P Q 2x 在整個 xOy 面內(nèi)都成立 yx所以在整個 xOy 面內(nèi) 積分 L 2xydx x2dy 與路徑無關(guān)2xydx x2dy2xydx x2dy2xydx x2dy0112dy 1L 的方向為逆時針方討論 設(shè) L 為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 向 問 L xdxy2 yyd2x 0是否一定成立？提示 這里 P 2 y 2 和Q 2 x 2 在點(0 0)不連續(xù) x2 y2x2 y2因為當(dāng) x2 y2 0 時Q y2 x2 Px (x2 y2)2 y所以如果 (0 0)不在 L 所圍成的區(qū)

31、域內(nèi)則結(jié)論成立 而當(dāng)(0 0)在L 所圍成的區(qū)域內(nèi)時 結(jié)論未必成立三、二元函數(shù)的全微分求積曲線積分在 G內(nèi)與路徑無關(guān) 表明曲線積分的值只與起點從點 (x0 y0)與終點 (x y)有關(guān)(x,y)如果 Pdx Qdy 與路徑無關(guān) 則把它記為 Pdx QdyL(x0,y0)(x,y)L Pdx Qdy(x0,y0)Pdx Qdy若起點 (x0 y0)為 G 內(nèi)的一定點 終點 (x y)為 G 內(nèi)的動點 則(x,y)u(x y) Pdx Qdy(x0,y0)為 G 內(nèi)的的函數(shù)二元函數(shù) u(x y)的全微分為 du(x y) ux(x y)dx uy (x y)dy表達(dá)式 P(x y)dx+Q(x y

32、)dy 與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達(dá)式 P(x y) dx+Q(x y)dy 是某個二元函數(shù) u(x y)的全微分呢？ 當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時怎樣求出這個二元函數(shù)呢？定理 3 設(shè)開區(qū)域 G 是一個單連通域 函數(shù) P(x y)及 Q(x y)在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù) 則 P(x y)dx Q(x y)dy 在 G 內(nèi)為某一函數(shù) u(x y )的全微分的充分必要條件是等式 PQyx在 G 內(nèi)恒成立必要性 假設(shè)存在某一函數(shù)簡要證明u( x y) 使得 du P(x y)dx Q( x y)dy則有2P u u ()xy因為2u Px y y2u

33、Q 連續(xù) y x x所以 2u2u即 P Qx yy x yxPQ充分性 因為在 G內(nèi) P 所以積分 P(x,y)dx Q(x,y)dy在 G內(nèi)與路徑無關(guān) y x L在 G 內(nèi)從點 (x0 y0)到點(x y)的曲線積分可表示為 u(x y) (x ,y )P(x, y)dx Q(x, y)dy (x0, y0)因為(x,y)u(x y), y0)P(x,y)dx Q(x, y)dyyxy Q(x0, y)dy x P(x, y)dxy0x0所以yxuy Q(x0,y)dyx P(x, y)dx P(x, y)x x y0x x0類似地有 u Q(x,y) 從而 du P(x y)dx Q(x

34、 y)dy 即 P(x y)dx Q(x y)dy是某一函 y數(shù)的全微分求原函數(shù)的公式u(x, y)(xx,yy)(x0,y0)P(x, y)dx Q(x, y)dyxyu(x, y) x P(x,y0)dx y Q(x, y)dy x 0y0yxu(x, y) y Q(x0,y)dy x P(x,y)dxy0x0例 6 驗證 xdy ydx 在右半平面 (x>0) 內(nèi)是某個函數(shù)的全微分 并求出一個這樣的函 x2 y2數(shù)解 這里 P x 2 y2 Q x2 x y2且有x y x y因為 P、 Q 在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Q y2 x2Px ( x2 y2)2 y所以在右半平面內(nèi)

35、xdy ydx 是某個函數(shù)的全微分 x2 y 2取積分路線為從 A(1 0)到 B(x 0)再到 C(x y)的折線 則所求函數(shù)為u(x, y)(x,y) xdy ydx (1, 0) x2 y20 0 x2xdyy2 arctanxy問 為什么 (x0 y0)不取 (0 0)?例 7 驗證 在整個 xOy 面內(nèi) xy2dx x2ydy 是某個函數(shù)的全微分 并求出一個這樣的函 數(shù)解 這里 P xy2 Q x2y因為 P、Q在整個 xOy 面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且有Q 2xy P xy所以在整個 xOy 面內(nèi) xy2dx x2ydy 是某個函數(shù)的全微分x2y22取積分路線為從 O(0 0)到

36、A(x 0)再到 B(x y)的折線 則所求函數(shù)為u( x, y)( x,y) 2 2 y 2 2 y(0, 0)xy2dx x2ydy 0 0 x2ydy x2 0 ydy思考與練習(xí)1在單連通區(qū)域 G內(nèi) 如果 P(x y)和Q(x y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有 Q P 那么xy(1)在 G 內(nèi)的曲線積分 L P(x,y)dx Q(x,y)dy 是否與路徑無關(guān) ?(2) 在 G 內(nèi)的閉曲線積分 LP(x,y)dx Q( x, y)dy 是否為零 ?(3) 在 G 內(nèi) P(x y)dx Q(x y)dy 是否是某一函數(shù) u(x y)的全微分 ?QPxy2 在區(qū)域 G 內(nèi)除 M0點外 如果 P(x

37、 y)和 Q(x y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且恒有G1是G 內(nèi)不含 M0的單連通區(qū)域 那么(1)在 G 1內(nèi)的曲線積分 LP(x,y)dx Q(x, y)dy是否與路徑無關(guān) ?(2)在 G 1內(nèi)的閉曲線積分P(x,y)dx Q(x, y)dy 是否為零 ?(3) 在 G 1內(nèi) P(x y)dx Q(x y)dy 是否是某一函數(shù) u(x y)的全微分 ?3 在單連通區(qū)域 G 內(nèi) 如果 P(x y)和 Q(x y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) P Q 但 Q P 非常簡單 那么y x x y(1) 如何計算 G 內(nèi)的閉曲線積分 ?(2) 如何計算 G 內(nèi)的非閉曲線積分 ?(3)計算 L (ex sin y 2

38、y)dx (excosy 2)dy 其中 L 為逆時針方向的 上半圓周 (x a)2 y2 a 2 y 0 小結(jié) Q P1.格林公式 Pdx Qdy dxd y L D x y2. 格林公式中的等價條件。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意格林公式和其中的等價條件，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 師生活動設(shè)計 講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P214: 2 (1); 3 ; 4 (3) ;5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)§11 4 對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題 設(shè) 為面密度非均勻的物質(zhì)曲面 其面密度為 (x y z) 求其質(zhì) 量

39、 把曲面分成 n 個小塊 S1 S2Sn ( Si 也代表曲面的面積 ) 求質(zhì)量的近似值n( i, i , i) Si ( i i i ) 是 Si 上 任 意 一 點 ) 取 極 限 求 精 確 值 i1nM lim ( i, i, i) Si ( 為各小塊曲面直徑的最大值 )0i 1定義 設(shè)曲面 是光滑的 函數(shù) f(x y z)在 上有界 把 任意分成 n 小塊 S1 S2 Sn ( Si也代表曲面的面積 ) 在 Si上任取一點 ( i i i ) 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的 n最大值 0 時 極限 lim f( i, i, i) Si 總存在 則稱此極限為函數(shù) f(x y z)在曲面 0i

40、 1上對面積的曲面積分或第一類曲面積分 記作 f (x,y,z)dS 即nf ( x, y,z)dS lim f ( i, i, i ) Si0i 1 i i i i其中 f(x y z)叫做被積函數(shù) 叫做積分曲面對面積的曲面積分的存在性我們指出當(dāng) f(x y z)在光滑曲面 上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的 今后總假定 f(x y z)在 上連續(xù)根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù) (x y z)的光滑曲面 的質(zhì)量 M 可表示為 (x y z)在 上 對面積的曲面積分M f(x,y,z)dS如果 是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在 上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的 各片曲面上對面積的曲面積分之和 例如設(shè) 可分成兩片光滑曲面 1 及 2(記作1 2)就規(guī)定f (x,y,z)dSf (x, y, z)dSf(x,y,z)dS1 2 1 2對面積的曲面積分的性質(zhì)(1)設(shè) c 1、c 2 為常數(shù) 則c1f(x,y,z) c2g(x,y,z)dS c1 f ( x, y, z)dS c2 g(x, y, z)dS(2)若曲面 可分成兩片光滑曲面 1 及 2 則f(x,y,z)dSf (x, y, z)dSf (x, y,z)dS12(3) 設(shè)在曲面 上 f(x y z) g(x y z) 則 f(x,y,z)dS g(x,y,z)dS(