gs1,3函數(shù)的極限與連續(xù)

1、 前面討論了數(shù)列xn=f (n)的極限, 它是函數(shù)極限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然數(shù), 且n趨于無窮大. 現(xiàn)在討論y=f (x)的極限, 自變量x大致有兩種變化形式. (1) x, (2) xx0 (有限數(shù)). 并且, x不是離散變化的, 而是連續(xù)變化的.第一節(jié)函數(shù)的極限第一節(jié)函數(shù)的極限一、一、x時時, f(x)的極限的極限定義定義1.1. 設(shè)f (x)在(m, +) 內(nèi)有定義, axfx)(lim也可記為 f (x)a, (x+)若 0, x 0, 當(dāng)xx (或xx)時, 相應(yīng)的函數(shù)值f (x)滿足| f (x)a |0, x 0, 當(dāng)xx (或xx) 時, 有|f (x)a |

2、0, 正整數(shù)n, 使得當(dāng)nn 時, 都有|xna|0”.但是, 數(shù)列極限中n是離散變化的, 而這里x是連續(xù)變化的.例例1.1. 證明, 0limxxa 其中 0a1.證證: : 0 1, 要使|ax0 |=ax0, x 0, 當(dāng)xx (或xx) 時, 有|f (x)a |0, x 0, 當(dāng)|x|x時, 相應(yīng)的函數(shù)值滿足| f (x) a | 0), 都存在x 0. 當(dāng) x x 時, 函數(shù) y = f (x)的圖形夾在這兩直線之間. 如圖axyoa+ a xy = f (x)axfx)(lim . 2直觀地, 這個式子表示當(dāng) x 0), 存在x 0. 當(dāng) x 0), 存在x 0. 當(dāng) | x |

3、 x 時, y = f (x)的圖形夾在兩直線y = a 之間. 如圖axyoa+ a xx比如, 由 y = arctg x 的圖象xyo22y = arctg x,2arctglim,xx可知,2arctglimxx. arctglim不存在而xx二、當(dāng)二、當(dāng)x x0時時, f (x)的極限的極限若當(dāng)x x0時, 對應(yīng)的函數(shù)值f (x)a, 則稱a是f (x)當(dāng)x x0時的極限, f (x)a可用| f (x) a | 刻劃,如何用精確的數(shù)學(xué)而x x0則可用 |x x0 |0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時,相應(yīng)的函數(shù)值f (x)滿足 | f (x) a |0”,將“ nn” 換成 “ 0|x

4、x0|0, 正數(shù)數(shù)n, 使得當(dāng)nn 時, 都有|xna|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時, | f (x) a | , 則記axfxx)(lim0而現(xiàn)在 x x0, “ 0|xx0|n” 表示了n充分大這一意思. 注注2.2. 定義中“ 0|xx0|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時, | f (x) a |0,| 1|211|2)(|2xxxxf因要使|f (x)2|, 只須| x 1|. 211lim21xxx(本例說明f (x)在x0無定義, 但其極限可能存在)取 =.則當(dāng)0|x1| 時, 有|f (x)2|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時, 有 | f (x) a | 0,| x31 | =

5、| (x1)(x2+x+1) | = | x1 | | x2+x+1 |因x1, 故不妨設(shè) 0 | x1 | 1,即 0 x 2故 | x2+x+1 | = x2+x+1 4+2+1=7從而 | x31 | 7 | x1 |.例例5.5.考慮要使|x31|, 只須7|x1| , 即|x1| 即可.7取 = min ( , 1 ),7則當(dāng) 0 |x1| 時,(有|x 1|1及|x1| )7有 |x31| 0,|2sin22sin2cos2|sinsin| 00000 xxxxxxxxxx因要使|sinx sinx0| , 只須|x x0|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時, 有 | f (x) a

6、| 0要使 | lnxlnx0 |.ln0 xx .ln0 xx 只須. 0exxe即或,x0e- x x0e-即只須 x0(1e- ) xx0 x0(e1).取 =minx0(1e- ), x0(e1 ), 則當(dāng)0 | xx0 | 時,(有 xx0 x0(e1), x0(1e- ) xx0)例例7.7.有 | lnx lnx0 | 0, 0. 當(dāng)0 xx0 (或0 x0 x 0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時, | f (x) a |0, 0. 當(dāng)0 xx0 (或0 x0 x 0時,).(lim0 xfx討論解：解：由于當(dāng)x0時, 對應(yīng)的函數(shù)值f (x) =x.)(lim 0 xfx故由于當(dāng)x0

7、時, 對應(yīng)的函數(shù)值f (x) = sinx.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理f (x)是一個分段函數(shù)，x=0是這個分段函數(shù)的分段點. 對一個分段函數(shù)來說，其分段點處的極限要分左、右極限討論.0lim0 xxxxsinlim0 00sin例例9.9. 設(shè)f (x) = x ,當(dāng)x0時,cos x, 當(dāng)x0時,).(lim0 xfx討論)(lim 0 xfx而0lim)(lim00 xxfxx左、右極限存在, 但不相等,.)(lim 0不存在故xfxxxcoslim0 10cos解：解：以后, 常用下列記號表示函數(shù)的左, 右極限)(lim)0( ),(lim)0(000

8、0 xfxfxfxfxxxx 看圖x0+cosxxyx01yy.)(lim)(0存在，則極限唯一若xfxxx)0(0,)(lim)( 0aaaxfxx或若保號性定理時，當(dāng)則 |00oxx, 0),0(0,)(limaaaxfx則或若)0)(0)(|xfxfxx或時，有當(dāng)定理定理2.2.定理定理3.3.) 0)( 0)(xfxf或有三、函數(shù)極限性三、函數(shù)極限性質(zhì)質(zhì).)(lim),0)(0)( )(0存在且或若xfxfxfxxx).0)(lim(0)(lim )()(00 xfxfxxxxxx或則. 0)(lim0)(0 xfxfxx，也只能推出即使: :注注意意0|1lim01 0 x|x|xx

9、，但如推論推論1:1:推論推論2.2.).()(lim,)(lim00均存在設(shè)bxgaxfxxxx(1) 若存在0, 使當(dāng)0|xx0| 時, 有 f (x)g(x).).(lim)(lim 00 xgxfxxxx則當(dāng) 0 |xx0| 0,證證: : (1) 由于當(dāng) 0 |xx0| 時, 有 f (x) g(x).所以, 若記 f(x) = f (x) g(x), 則當(dāng) 0|xx0|0，使得f (x)在(, x)(x, +)內(nèi)有界,則稱 f (x)是x時的有界量.比如y=x2在定義域(, +) 內(nèi)是無界的, 但在 x=0的某個小鄰域內(nèi)是有界的. 因此, y=x2是x0時的有界量.y=x20 xy

10、m).(01從函數(shù)圖形上可看出時的有界量不是 xxy0yxxy1.)(時的有界量或x0)()(,)(lim若0 xxxfxfxxx是則存在比如: y=sinx在(,+)內(nèi)有界，是x時的有界量. 但.sinlim不存在xx定理定理4.4.定理4的逆命題不成立.coslim.不存在同理xxyx11y=sinx0則稱f (x)是該極限過程中的一個無窮小量(省去xxo , x的極限符號“ lim” 表示任一極限過程).定義定義1 1. 若lim f (x)=0,第二節(jié)無窮大量、無窮小量第二節(jié)無窮大量、無窮小量一、無窮小一、無窮小量量, 0coslim, 0sinlim, 01lim20 xxxxxx.

11、cos,sin,1是相應(yīng)過程的無窮小量故xxx注注1 1：無窮小量與極限過程分不開, 不能脫離極限過程談無窮小量,2. 1sinlim2xxx因此，它不是.時的無窮小量小量, 但如sinx是x0時的無窮例：例：注注2 2：注注3 3：0是任何極限過程的無窮小量.由于limc = c(常數(shù)), 所以, 除0外的任何常數(shù)不是無窮小量.)().()()(limxxaxfaxf其中是該極限過程中的無窮小量. a為常數(shù).,)(lim,0axfxx設(shè)”“0, 0, 當(dāng)0|x x0| 時,有|f (x) a|0(無論多么大), )(lim)(0 xfxxx記作： 0(或x0), 當(dāng)0|xxo|x)時，有|f

12、 (x)|m,則稱f (x)是x x0(或x )時的無窮大量. 二、無窮大二、無窮大量量若以“ f (x)m ”代替定義中的 “|f (x)|m ”, 就得到正無窮大量的定義. )(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx若以“ f (x)m ”,就得到負(fù)無窮大量的定義. 分別記作： 0, 0(或x0), 當(dāng)0|xxo|x)時，有|f (x)|m,.)(lim)(0 xfxxx則記11lim1xx證明, 0m,11 | 1|0,1mxxm有時，則當(dāng)取 11lim 1xx故,11lim1 xx，從函數(shù)圖形上還可看出,11lim1 xx01-11,1| 1|,11即可只須要使mxmxx

13、xyyx1+x1例例1 1：證證：例例2:2: 試從函數(shù)圖形判斷下列極限.,tglim ,tglim ,tglim ) 1 (222xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 解：解： (1)2232xy0 xyy = tgxxy從圖上可看出.tglim ,tglim ,tglim222xxxxxx ,lim xxe從圖上看出(2) xoyxxyy ?lim ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10討論分aaxey . 0limxxex+x ,lnlim )3( xx ).1, 10討論分aa ?loglim ?,loglim(0

14、xxaxax一般.lnlim 0 xx注注1 1：若在定義2中，將“ f (x)” 換成“ xn” ,注注2 2：若lim f (x)=, 將“ x” 換成“ n” ,將“ x” 換成就得到數(shù)列xn為無窮大量定義.“n”,則表示在該極限過程中f (x)的極限不存在. 0, x0, 當(dāng)|x|x 時, 有|f (x)|m,.)(limxfx則記注注3 3：不能脫離極限過程談無窮大量. 注注4 4：無窮大量一定是無界量, 任何常量都不是無窮大量.但無界量不一定是無窮大量.),()cos)(sin)(在或xxxfxxxf.sinlim,sinlim不存在內(nèi)是無界函數(shù)，但xxxxxx只須內(nèi)無界函數(shù)是要說

15、明 .),(sinxxy說明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|m即可.為自然數(shù)，現(xiàn)在取kkx,220例例3 3：解：解：，充分大時當(dāng)則)(22|sin|00kmkxx.sin 是無界函數(shù)故xxy ,2xxkkxkk充分大時當(dāng)又取| )(|kxf但.0m不大于.sinlimxxx故,) 1(1 (nnnx.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是無界數(shù)列，例例4 4：定理定理2 2：在某極限過程中, 若f (x)為無窮大量, 則.)(1為無窮小量xf反之, 若f (x)為無窮小量.)(1),0)(為無窮大量則xfxf三、無窮小與無窮大量的關(guān)三、無窮小與無窮大量的關(guān)

16、系系 .11lim 1xx如： .lim xxe又如： .limnn0) 1(lim1xx則01limxxe則01lim nn則證：證：只證兩個無窮小量的情形. ),02(而言對).0)(2| )(|,|010 xxxx因有時當(dāng)設(shè)當(dāng)xx0時,(要證(x)(x)為無窮小量), 0,(x )0, (x )0,. 01四、無窮小量的運算定四、無窮小量的運算定理理定理定理3 3：有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量.),min(21取.2| )(| ,2| )(| xx同時有.22| )(| )(| | )()(| xxxx從而,|0時則當(dāng)oxx故(x) (x)是無窮小量.02).0)(2| )(|,|0

17、2xxxxo因有時當(dāng)注：注：定理3中“有限個”不能丟，無限個無窮小量的和不一定是無窮小量, 1)111(limnnnnn個比如：定理定理4 4：.)(),( 0)(00時的有界量是設(shè)xxxfxxx,|0, 0, 0,101時當(dāng)以及即xxm.| )(|mxf有若(x)是某極限過程中的無窮小量, f (x)是該過程的有界量, 則f (x)(x)為該過程的無窮小量.即, 有界量與無窮小量之積為無窮小量.證證：),min(21取.| )(|)(| )()(|mmxxfxxf有.)()( 0時的無窮小量是故xxxxf時，則當(dāng) |0oxx, 0現(xiàn)在.| )(|02mxxxo時，有當(dāng). 0,0, 0)(2而

18、言對因mx.sin1limxxx求. 01lim, 1|sin| xxx而推論：推論：設(shè)(x), (x)是某極限過程中的無窮小量, c為常數(shù). 則(x)(x), c(x)都是無窮小量. 0sin1limxxx故例例2 2：解解：1. ，都不一定是無窮大量，也不一定是無窮小量.2. 0, (有界量)不一定是無窮大量，也不一定是無窮小量(其中0表無窮小量).3. 無窮大量是無界量,但無界量不一定是無窮大量.五、無窮大量的運算性五、無窮大量的運算性質(zhì)質(zhì)4. (+ )+(+ ) = + , ( )+( )= .5. = , (有界量有界量) = ， 常量常量 = .6. c = (其中其中c等非等非0

19、常量常量).定理定理1.1. 若limf (x)=a, limg(x)=b存在, 則(1) limf (x) g(x) =limf (x)limg(x) =ab(2) limf (x) g(x) = limf (x) limg(x) = a b(3)()(lim, 0 xgxfb則若 )(lim)(limxgxf.ba第三節(jié)極限運算法則第三節(jié)極限運算法則一、極限四則運算法一、極限四則運算法則則證證: : (2) 因limf (x)=a, limg(x)=b, 均存在, 則f (x)=a+(x), g(x)=b+(x). 從而f (x) g(x)= a+(x)b+(x)= ab+a(x)+ b(

20、x)+(x)(x)得lim f (x) g(x) = ab同理可證(1), (3).推論推論: : 設(shè)limf (x)存在. c為常數(shù), n為自然數(shù). 則(1) limcf (x) = c limf (x)(2) limf (x)n = limf (x)n例例1.1.642lim232xxxx求解解: : 由于)6(lim2xx6limlim22xxx= 26 = 4)42(lim232xxx4lim2lim2232xxxx4limlim22232xxxx= 2 23 + 22 4 =16,4416642lim232xxxx故).2()(lim,642)(223fxfxxxxfx上述結(jié)果說明若

21、記例例2.2.)(,.,)(1110次多項式為稱為非負(fù)整數(shù)常數(shù)為其中設(shè)nxfnaaxaxaxaxfinnnn)()(lim00 xfxfxx則解解: : 由定理1及其推論, 有)(lim0 xfxxnxxnnxxnxxaxaxaxa000limlimlim1110nnnnaxaxaxa0110100)(0 xf例例3.3. .)()()()(lim, 0)(.)()(,)(),(0000 xgxfxgxfxgxgxfxgxfxx則若為有理函數(shù)稱分別為多項式設(shè)更一般的, 以后將有結(jié)論: 若f (x)為初等函數(shù). 且f (x)在點 x0處有定義. 則)()(lim00 xfxfxx2111lim2

22、1xx比如:1ln)ln(limeeexxex例例4.4.,11lim1為自然數(shù)其中求nmxxmnx解解: : 將x=1代入分母, 分母為0, 不能用例3或定理1(3)的方法求極限.想辦法約去使分子分母都為零的因子x1.).1)(1(121nnnxxxx注意到公式有11lim1mnxxx) 1)(1() 1)(1(lim111mnxxxxx11lim111mnxxxmn例例5.5.xxx11lim0求解解: : 將x=0代入. 分子, 分母都為0. 不能用定理1(3). 想法約去零因子x. 為此, 有理化.xxx11lim0) 11(lim0 xxxx111lim0 xx21例例6.6.925

23、lim22xxx求解解: : 這是有理函數(shù). 當(dāng)x時的極限問題. 分子, 分母的極限都為. 不存在. 不能用定理1(3).同除以分母的最高次冪x2.925lim22xxx229251limxxx21將本題改為9 25lim2xxx3339251limxxxx= 0925 lim2xxx322925limxxxx= 改為例例7.7. ,)(110nnnaxaxaxf設(shè)mmmbxbxbxg110)(則)()(limxgxfx., ,0,00為非負(fù)整數(shù)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)mnmnmnmnba).1)( .)(lim, 1,xgxfnx取當(dāng)特別總結(jié)總結(jié): : 設(shè)f (x), g(x)為多項式.)()()(li

24、m ) 1 (已解決xgxfx)()(lim )2(0 xgxfxx0)(, 0)(, 0)()(0)()()(00000000 xfxgxgxfxxxgxgxf但想法約去因子=例例8.8.).1311(lim31xxx求解解: : 這是兩個無窮大量之差的極限問題. 無窮大量的和, 差不一定是無窮大量.)1311(lim31xxx) 1)(1(31lim221xxxxxx) 1)(1()2)(1(lim21xxxxxx12lim21xxxx133這類問題, 稱為“ ”型. 通分例例9.9.).1(lim22xxxx求解解: : 這是兩無窮大量之差的問題. 即“ ” 型. 對無理函數(shù), 可考慮有

25、理化.)1(lim22xxxx11lim22xxxxx2111111limxxxx21解解: : 這是一分段函數(shù). 分段點x=0.在分段點處極限要分左, 右極限討論.分段函數(shù))00( f)(lim0 xfx) 1(lim0 xxe10 e=2)00( f)(lim0 xfx)(sinlim0bxxb0sin= b故, 當(dāng)b=2時, f (0+0) = f (00)= 2,. 2)(lim0 xfx從而例例10.10.,0sin,01)(時當(dāng)時當(dāng)設(shè)xbxxexfx何值時,.)(lim0存在xfx問常數(shù)b為例例11.11. .,lim, 0,321并求之存在證明設(shè)數(shù)列nnnxaaaaxaaaxaa

26、xax證證: : 先用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限” 證明.lim存在nnx(1)(1)單調(diào)性單調(diào)性. .= xn1故xn單調(diào)遞增.0aaa n1個aaaaxn n個a(2)(2)有界性有界性. .故 xn有界.00, 由保號性定理, a0從而,2411aa即.2411limaxnn求復(fù)合函數(shù)的極限時, 常可用“ 換元法” 簡化運算.二、復(fù)合函數(shù)的極二、復(fù)合函數(shù)的極限限例例12.12.).cos(lnlim1xx求解解: : 直觀地看.當(dāng)x1時, lnx0, 而當(dāng)lnx0時, cos(lnx)cos0=1.或者, 令u=lnx,當(dāng)x1時, u0,代入uxuxcoslim)cos(lnlim0110c

27、os這種方法稱為換元法. 使用時, 將原式中所有x換寫成u的表達(dá)式. 極限過程xx0換成相應(yīng)的u的極限過程.定理定理2.2. 設(shè)y =f (x)由y =f (u), u=(x)復(fù)合而成.,)(lim00uxxx若.)(lim0aufuu而且在x0的某去心鄰域 (x0)內(nèi), (x) u0aufxfuuxx)(lim)(lim 00則證 (略).例例13.13.sinlnlim2xx求解解: : (1) 令u=sinx. 12sinsin,2xux時當(dāng)代入.uxuxlnlimsinlnlim1201ln (2) 也可直接利用例3后介紹的結(jié)論, 有02sinlnsinlnlim2xx例例14.14.

28、xxe10lim求解解: :.1xu 令.1,0 xux時當(dāng)代入,0limlim10uuxxee有?lim1xe若改為x0+定理定理1.1. 設(shè)在點x0的某去鄰域 (x0, 1)內(nèi), 有 f(x)f (x)g(x),),()(lim)(lim00常數(shù)且axgxfxxxx則axfxx)(lim0第四節(jié)函數(shù)極限存在定理第四節(jié)函數(shù)極限存在定理一、夾逼定一、夾逼定理理證證: : 0.)(lim)(lim00axgxfxxxx因當(dāng)0|xx0|2時, 有|f(x)a|且|g(x)a|0.故 a f(x) , g(x) a+ 即 |f (x)a|0, 當(dāng)nn時，有|f (xn)a|)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的

29、關(guān)二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系系的充要條件是任何以x0為極限的數(shù)列xn(xnx0, xnd(f ), 有由于,)(lim0axfxx則 0, 0, 當(dāng)0 xx0 時,有f (x)a .由于xnx0(n+).當(dāng)nn時, 有0 |xnx0 | (xn x0).從而，對 0, n 0, 當(dāng) n n 時,有故.)(limaxfnn所以，對上述0,n0, f (xn) a 充分性：用反證法充分性：用反證法.若對任何數(shù)列 xn x0 (xnx0), 有,)(limaxfnn.)(lim0axfxx但(注意，) 就是“0 0, 對 0, 存在xd( f ), 雖然0 xx0 , 但 f (x) a .”ax

30、fxx)(lim0對上述00, 取 依次等于1, 可設(shè)相應(yīng)的x1, x2, , xn, , 滿足,21,31,1n0 x1x0 1, 但 f (x1) a 00 x2x0 , 但 f (x2)a 0210 xnx0 , 但 f (xn)a 0n1左邊一列說明 xnx0(n+, xnx0),此與條件矛盾.故充分性成立.右邊一列說明 f (xn)不以a為極限,例例1.1. 證明不存在.xx1sinlim0證：證：只須證可取兩個數(shù)列 xn0, ),( 0nxnnnxx1sin1sin和的極限不相等即可.1)2sin(2n 0,sin2n 而注意到)( 021 nnxn故取)( 0221nnxn. 1

31、1sinlin , 01sinlim nnnnxx從而.1sinlim 0不存在故xx如圖, 若當(dāng) xx0 時, f (x) a . x1f (x1) x2f (x2) x3f (x3) xnf (xn) 0 xx0a y=f (x) y顯然, 當(dāng)xnx0 時, f (xn) a . 反過來, 若對任意的數(shù)列 xn , xnx0 (xnx0), 有 f (xn) a , 則 f (x) a (xx0 ) .注注: : 1. 若對某個數(shù)列 xnx0 (xnx0), 有 f (xn) a , 不能得出 f (x) a (xx0 )的結(jié)論.2sinxy 如考慮 x = 0處的極限.),(01nnxn

32、取),(002sin2sin)(nnxxfnn.2sinlim0不存在但xx2. 該定理對 x 也成立.定理定理3.3.的充要條件是0, 0, 當(dāng)x1, x2d(f )且0 x1x0, 0 x2x0 時, 有 f (x1)f (x2) .axfxx)(lim0證：證：略x時的柯西收斂準(zhǔn)則可依照定理3給出.三、柯西收斂準(zhǔn)三、柯西收斂準(zhǔn)則則. 1sinlim0 xxx證證: : (1)先證. 1sinlim0 xxx.,20作單位圓設(shè) x110 xyaxdbc總有 saoc s扇形aob 0. 必存在自然數(shù)n, 使得nxn+1. .1111111 ,nxn從而由冪函數(shù), 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 有nn111nx11xx11111nx111nnnn111 所以xx11.111nnnnn111lim1111111lim1nnnn= e 1= e令x+, 由于xn+1, 有n+. 且111limnnnnnnn1111lim= e 1= e.11lim,exxx得由夾逼定理(2)考慮x時的情形.令u = x, 當(dāng)x時, 有u+.xxx11lim從而uuu11limuuuu1limuuuu111limuuu111limxxx11lim(令u1=t ,當(dāng)u+時, t