人教a版必修5學(xué)案：2.5等比數(shù)列的前n項和含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料2.5等比數(shù)列的前n項和材拓展1等比數(shù)列的判定方法有以下幾種(1)定義法：q (q是不為0的常數(shù),nn*)an是等比數(shù)列；(2)通項公式法：ancqn (c,q均是不為0的常數(shù),nn*)an是等比數(shù)列；(3)中項公式法：aan·an2 (an·an1·an20,nn*)an是等比數(shù)列；(4)前n項和法：若sna(qn1),(a0,q0且q1)則an是等比數(shù)列,其中a.例如：等比數(shù)列an的前n項和是sn32nt,則t的值是_解析an是等比數(shù)列,sn32nt9·nt9,t9.答案92等比數(shù)列的通項公式(1)通項公式ana1qn1

2、 (其中a1為等比數(shù)列an的首項,q為其公比)(2)等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由通項公式ana1qn1,可得anqn,當(dāng)q>0,且q1時,yqx是一個指數(shù)函數(shù),而yqx是一個不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)yqx的圖象上的一些離散點例如：已知an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,其公比q1,且bn>0,若a1b1,a11b11,則a6與b6的大小關(guān)系是_解析bn>0,b1>0,q>0.點(n,bn)分布在函數(shù)yqx的圖象上點(n,an)分布在函數(shù)ydx(a1d)的圖象上當(dāng)q>1時,它們的圖象如圖1所示；當(dāng)0<q<1時,它們的圖象如圖2所

3、示；其中直線方程是ydx(a1d),曲線方程是yqx.直線x6與直線ydx(a1d)的交點為(6,a6),與曲線y·qx的交點為(6,b6)無論q>1還是0<q<1都有a6>b6.答案a6>b63等比數(shù)列的前n項和等比數(shù)列前n項和公式為sn注意：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式,運用該公式求和時,首先要判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)公比q不確定時,要注意對q分q1和q1進行討論例如：1aa2an1_.(其中a0)答案4等比數(shù)列的常用性質(zhì)在等比數(shù)列an中,(1)對任意的正整數(shù)m,n,有anamqnm.(2)對于任意的正整數(shù)m,n,p,

4、q,若mnpq,則有am·anap·aq.(3)當(dāng)或時,an是遞增數(shù)列；當(dāng)或時,an是遞減數(shù)列；當(dāng)q1時,an為常數(shù)列；當(dāng)q<0時,an為擺動數(shù)列(4)若sn為等比數(shù)列的前n項和,則sk,s2ksk,s3ks2k,s(m1)ksmk,成等比數(shù)列(q1或k為奇數(shù))(5)若sn表示等比數(shù)列的前n項和,公比為q,則有smnsmqmsn.例如：在等比數(shù)列an中,a57,a856,則通項an_.解析a8a5q3,q38,q2,ana5qn57×2n5.答案7×2n5法突破一、等比數(shù)列的判斷與證明方法鏈接：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法：定義法：q (常數(shù))；等

5、比中項法：aanan2 (an0,nn*)；通項法：ana1qn1 (a1q0,nn*)要證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列,只需證明相鄰三項不成等比即可例如：a1a3a.例1已知數(shù)列an和bn滿足：a1,an1ann4,bn(1)n(an3n21),其中為實數(shù),n為正整數(shù)(1)對任意實數(shù),證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論(1)證明假設(shè)存在一個實數(shù),使an是等比數(shù)列,則有aa1a3,即22492490,矛盾所以an不是等比數(shù)列(2)解因為bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn,又b1(18),所以當(dāng)18時,bn0

6、 (nn*),此時bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時,b1(18)0,由上可知bn0,所以 (nn*)故當(dāng)18時,數(shù)列bn是以(18)為首項,為公比的等比數(shù)列綜上,18時,bn不是等比數(shù)列；18時,bn是等比數(shù)列二、等比數(shù)列基本量運算方法鏈接：在等比數(shù)列an的通項公式和前n項和公式中共有五個量：a1,q,n,an,sn,一般可以“知三求二”,通過列方程組求出另外兩個量例2設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列,且a1>0,它的前n項和為80,且其中數(shù)值最大的項為54,前2n項的和為6 560.求此數(shù)列的通項公式分析因為前n項和與2n項和已知,這為建立方程提供了條件,由此可求得首項a1與公比q之間的關(guān)系,進而確定a

7、n.解設(shè)數(shù)列的公比為q,由sn80,s2n6 560,得q1,否則s2n2sn.,得qn81.將qn81代入得,a1q1.又a1>0,q>1.數(shù)列an是遞增數(shù)列從而,a1qn154,a1qn54q,81a154q.聯(lián)立,解得q3,a12.ana1qn12×3n1.三、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用方法鏈接：對于等比數(shù)列,還有以下的常用結(jié)論：(1)如果數(shù)列an是等比數(shù)列,c是不等于0的常數(shù),那么數(shù)列c·an仍是等比數(shù)列；(2)如果an,bn是項數(shù)相同的等比數(shù)列,那么數(shù)列an·bn,仍是等比數(shù)列；(3)在等比數(shù)列an中,間隔相同的項構(gòu)成的數(shù)列,仍是等比數(shù)列如a1,a

8、4,a7,a10,；(4)sn為等比數(shù)列an的前n項和,一般地：sn,s2nsn,s3ns2n構(gòu)成等比數(shù)列(q1或n為奇數(shù))；(5)若an是公比為q的等比數(shù)列,則smnsnqnsm.解等比數(shù)列問題時,熟練運用上述性質(zhì),進行整體代換,可以簡化解題過程,提高解題速度例3在等比數(shù)列an中,(1)若q,s9977,求a3a6a99的值；(2)若an的前m項和為2,其后2m項和為12,求再后3m項的和解(1)s99(a1a4a97)(a2a5a98)(a3a6a99)(a3a6a99)7(a3a6a99)77a3a6a9911.(2)涉及an的前6m項,把每m項之和依次記作：a1,a2,a3,a4,a5

9、,a6,則它們成等比數(shù)列公比記作q.且a12,a2a312,a2a32q2q212,q2或q3.當(dāng)q2時,a4a5a6a1(q3q4q5)2×(232425)112；當(dāng)q3時,a4a5a6a1(q3q4q5)2×(3)3(3)4(3)5378.后3m項的和為112和378.四、錯位相減求前n項和方法鏈接：等比數(shù)列an的前n項和公式的推導(dǎo)方法即錯位相減法是很重要的方法,必須熟練掌握該法主要應(yīng)用于已知數(shù)列求和中,各項的組成是等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項乘積構(gòu)成的新數(shù)列的求和問題例4設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn2n2,bn為等比數(shù)列,且a1b1,b2(a2a1)b1.(1)求數(shù)列an和

10、bn的通項公式；(2)設(shè)cn,求數(shù)列cn的前n項和tn.解(1)當(dāng)n1時,a1s12；當(dāng)n2時,ansnsn12n22(n1)24n2,a1也滿足上式故an的通項公式為an4n2,即an是a12,公差d4的等差數(shù)列設(shè)bn的公比為q,則b1qdb1,d4,q.故bnb1qn12×,即bn的通項公式為bn.(2)cn(2n1)4n1,tnc1c2cn13×45×42(2n1)4n1,4tn1×43×425×43(2n3)4n1(2n1)4n.兩式相減得3tn12×(442434n1)(2n1)4n(6n5)4n5,tn(6n5)

11、4n5五、等差中項與等比中項的運用方法鏈接：一個等比數(shù)列,除可以按定義設(shè)為a1,a1q,a1q2,之外,若已知連續(xù)三項,常可設(shè)為,a,aq,然后應(yīng)用等差中項或等比中項建立方程求解例5互不相等的三個數(shù)之積為8,這三個數(shù)適當(dāng)排列后可成為等比數(shù)列,也可排成等差數(shù)列,求這三個數(shù)排成的等差數(shù)列解設(shè)三個數(shù)為,a,aq,a38,即a2,三個數(shù)為,2,2q.(1)若2為和2q的等差中項,則2q4,q22q10,q1,與已知矛盾；(2)若2q為與2的等差中項,則12q,2q2q10,q或q1(舍去),三個數(shù)為4,1,2；(3)若為2q與2的等差中項,則q1,q2q20,q2或q1(舍去),三個數(shù)為4,1,2.綜

12、合(1)(2)(3)可知,這三個數(shù)排成的等差數(shù)列為4,1,2或2,1,4.六、等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項問題方法鏈接：1.一般地,兩個等差數(shù)列若存在公共項,則它們的公共項按原來的順序構(gòu)成一個新的等差數(shù)列公差是原來兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)2一般地,一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列若存在公共項,則它們的公共項按原來的順序構(gòu)成一個新的等比數(shù)列例6設(shè)an為數(shù)列an的前n項和,an(an1) (nn*),數(shù)列bn的通項公式為bn4n3 (nn*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)將數(shù)列an、bn的公共項,按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新的數(shù)列dn,證明數(shù)列dn的通項公式為dn32n1 (nn*)(1)

13、解由已知an(an1) (nn*)當(dāng)n1時,a1(a11),解得a13.當(dāng)n2時,ananan1(anan1),由此解得an3an1,即3 (n2)所以數(shù)列an是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,故an3n (nn*)(2)證明由計算可知a1,a2不是數(shù)列bn中的項因為a3274×63,所以d127是數(shù)列bn中的第6項設(shè)ak3k是數(shù)列bn中的第m項,則3k4m3 (k,mn*),因為ak13k13·3k3(4m3)4(3m2)1,所以ak1不是數(shù)列bn中的項而ak23k29·3k9(4m3)4(9m6)3,所以ak2是數(shù)列bn中的項由以上討論可知d1a3,d2a5,d

14、3a7,dna2n1.所以數(shù)列dn的通項公式是dna2n132n1 (nn*)區(qū)突破1求和時項數(shù)不清而致錯例1求12222n的和錯解12222n2n1.點撥錯因在于沒有搞清項數(shù),首項為120,末項為2n,項數(shù)應(yīng)為n1項正解這是一個首項為1,公比為2的等比數(shù)列前n1項的和,所以,12222n2n11.2利用等比數(shù)列求和公式忽視q1的情形而致錯例2已知等比數(shù)列an中,a34,s312,求數(shù)列an的通項公式錯解設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則 解得q.所以ana3qn34·n3n5.點撥上述解法中忽視了等比數(shù)列前n項和公式中q1這一特殊情況正解當(dāng)q1時,a34,a1a2a34,s3a1a2a312

15、,q1符合題意an4.當(dāng)q1時,解得：q,ana3qn3n5.故數(shù)列通項公式為an4或ann5.3忽略題目中的隱含條件而致錯例3已知數(shù)列1,a1,a2,4成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,求的值錯解1,a1,a2,4成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則a2a1d(4)(1)1.1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列b(1)×(4)4,b2±2.當(dāng)b22時,當(dāng)b22時,.±.點撥注意b2的符號已經(jīng)確定,且b2<0,忽視了這一隱含條件,就容易產(chǎn)生上面的錯誤正解1,a1,a2,4成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則a2a1d(4)(1)1,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列

16、,b(1)×(4)4,b2±2.若設(shè)公比為q,則b2(1)q2,b2<0.b22,.題多解例已知數(shù)列cn,其中cn2n3n,且數(shù)列cn1pcn為等比數(shù)列,求常數(shù)p.解方法一因為cn1pcn是等比數(shù)列,所以當(dāng)n2時,有(cn1pcn)2(cn2pcn1)(cnpcn1),將cn2n3n代入上式,得2n13n1p(2n3n)22n23n2p(2n13n1)·2n3np(2n13n1),即(2p)2n(3p)3n2(2p)2n1(3p)3n1(2p)2n1(3p)·3n1,整理得(2p)(3p)·2n·3n0.解得p2或p3.方法二由

17、cn2n3n,得c15,c213,c335,c497.因而數(shù)列cn1pcn的前三項依次為135p,3513p,9735p.由題意得：(3513p)2(135p)(9735p)整理得：p25p60,p2或p3.當(dāng)p2時,cn1pcn(2n13n1)2(2n3n)3n,3.此時cn1pcn是等比數(shù)列同理p3時數(shù)列cn1pcn也是等比數(shù)列,p2或p3.方法三cn1pcn是等比數(shù)列常數(shù)22為使為常數(shù),也就是使2為常數(shù). p20或p30,p2或p3.題賞析1(2011·大綱卷)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn,已知a26,6a1a330,求an和sn.解設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得解得或當(dāng)a13,q2時,an3×2n1,sn3(2n1)；當(dāng)a12,q3時,an2×3n1,sn3n1.2(2009·山東)等比數(shù)列an的前n項和為sn,