高等數(shù)學(xué)81多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、1推廣推廣第八章第八章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類(lèi)比善于類(lèi)比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 2第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 3一、一、 區(qū)域區(qū)域1. 鄰域鄰域點(diǎn)集點(diǎn)集, ) ,(0ppu稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn) p0 的的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxpu( (圓鄰域圓鄰域) )0pp)()(2020yyxx0p 4 )(0oppu00

2、pp說(shuō)明：說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成. )(0pu點(diǎn)點(diǎn) p0 的的去心鄰域去心鄰域記為記為在空間中在空間中, , ),(),(0zyxpu( (球鄰域球鄰域) )()()(202020zzyyxx5在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)?),() ,u(0yxp。0p因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. .,0 xx0 yy62. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 e 及一點(diǎn)及一點(diǎn) p : 若若存在存在點(diǎn)點(diǎn) p 的的某鄰域某鄰域

3、u(p) e , 若若存在存在點(diǎn)點(diǎn) p 的的某鄰域某鄰域 u(p) e = , 若對(duì)點(diǎn)若對(duì)點(diǎn) p 的的任一鄰域任一鄰域 u(p) 既既含含 e中的內(nèi)點(diǎn)中的內(nèi)點(diǎn)也也 含含 e的外點(diǎn)的外點(diǎn) ,e則稱(chēng)則稱(chēng) p 為為 e 的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱(chēng)則稱(chēng) p 為為 e 的的外點(diǎn)外點(diǎn) ;則稱(chēng)則稱(chēng) p 為為 e 的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) .顯然顯然, e 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 e , e 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 e , e 的邊界點(diǎn)可能屬于的邊界點(diǎn)可能屬于 e, 也可能不屬于也可能不屬于 e . 7(2) 聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)若對(duì)任意任意給定的給定的 , , 點(diǎn)點(diǎn)p 的的去心去心) ,(pue鄰域鄰域內(nèi)內(nèi)總有總有e 中的

4、點(diǎn)中的點(diǎn) , 則則稱(chēng)稱(chēng) p 是是 e 的的聚點(diǎn)聚點(diǎn).3.聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于 e , 也可以不屬于也可以不屬于 e ( (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 e e 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) ) )1.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；2.邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；810| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)9d(3) 開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 e 的點(diǎn)都是

5、的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)，則稱(chēng) e 為為開(kāi)集開(kāi)集； 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 e e , 則稱(chēng)則稱(chēng) e 為為閉集閉集； 若集若集 d 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 d 的折的折線(xiàn)相連線(xiàn)相連 ,則稱(chēng)則稱(chēng) d 是是連通連通的的 ; 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域閉區(qū)域. . 連通的開(kāi)集稱(chēng)為連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域區(qū)域 ;。 。 e 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 e 的的邊界邊界, 記作記作 e ;10例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xy

6、o21xyoxyoxyo2111 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集，是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxy120| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否為有界點(diǎn)集，否成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng)對(duì)一切對(duì)一切即即，不超過(guò)不超過(guò)間的距離間的距離與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)，使一切點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyx133. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx

7、),(21nxxx的全體稱(chēng)為的全體稱(chēng)為 n 維空間維空間,rnn 維空間中的每一個(gè)元素維空間中的每一個(gè)元素稱(chēng)為空間中稱(chēng)為空間中kx數(shù)稱(chēng)為該點(diǎn)的第稱(chēng)為該點(diǎn)的第 k 個(gè)個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo) .記作記作即即rrrrnnkxxxxkn,2, 1,r),(21的一個(gè)的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，0kx稱(chēng)該元素為稱(chēng)該元素為 nr中的零元中的零元,記作記作 o .14的距離距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中點(diǎn)中點(diǎn) a 的的 鄰域鄰域?yàn)闉?,(21nyyyy與點(diǎn)),(,r),(axxxaun),(r21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為規(guī)定為 ),(r21nnxxxx中的點(diǎn)與

8、零元 o 的距離為22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常記作時(shí)當(dāng)0raxaxn滿(mǎn)足與定元中的變?cè)? ax 記作nr15二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrv)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappshr16 設(shè)設(shè)d是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)dyxp ),(，變量，變量z按照一定的法則總有確定的按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)z是變量是變量yx,的二元函數(shù)，記為的

9、二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為（或記為)(pfz ）. .二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)17定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,rnd dppfu, )(或點(diǎn)集 d 稱(chēng)為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集dp,pfuu)(稱(chēng)為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2r),(),(dyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3r),(),(dzyxzyx

10、fu映射r:df稱(chēng)為定義在 d 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu18二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz （如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）19二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.20 xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:21例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxd

11、 22例例2 2 求求 的定義域的定義域22( , )ln()1xyf x yyxxy解：要使函數(shù)有意義，必須解：要使函數(shù)有意義，必須220010yxxyxy 即即2201yxxyxy定義域定義域22( , ),0,1dx y yx xyxy23定義定義2. 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù),r),(ndppf, ) ,(0pudp,-)(apf則稱(chēng)則稱(chēng) a 為函數(shù)為函數(shù)(也稱(chēng)為也稱(chēng)為 n 重極限重極限)當(dāng)當(dāng) n =2 時(shí)時(shí), 記記20200)()(yyxxppayxf),(lim0apfpp)(lim0p0 是是 d 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)若存在常數(shù)若存在常數(shù) a ,使得使得:記作記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(pppf

12、ayxfyyxx),(lim00都有都有三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限0,0, 00pp24說(shuō)明：說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似25僅知其中一個(gè)存在僅知其中一個(gè)存在, 推不出其它二者存在推不出其它二者存在.(4)二重極限二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在如果它們都存在, 則三者相等則三者相等.例如例如,),(22y

13、xyxyxf顯然顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0由后由后例例6 知它在知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在點(diǎn)二重極限不存在 .26例例3 3 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立27例例4 4 求極限求極限 22200limxyxyxy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，( , )(0,0)x y 22220,2xyxyxy且22

14、, )(0,0)xyx yxy因此是（時(shí)的有界變量，( , )(0,0)yx y 而 是時(shí)的無(wú)窮小量，所以所以22200lim0 xyxyxy22222xyxyyxyxy解解28例例5 5 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 0222 yxyx29趨于不同值或有的極限不存在趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè)設(shè) p

15、(x , y) 沿直線(xiàn)沿直線(xiàn) y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn)在點(diǎn) (0, 0) 沒(méi)有極限沒(méi)有極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)則可以斷定函數(shù)則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 . 若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn)),(yxp以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)yxp極限不存在極限不存在 .例6. 證明函數(shù)證明函數(shù)函數(shù)函數(shù)30例例7 7 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 62633

16、03limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在,ykx426224200limlim0 xxy kxy kxx kx kxx kxk31（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxp，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp處極限不存在處極限不存在確定極限確定極限不存在不存在的方法：的方法：32四、多

17、元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 . 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù))(pf定義在定義在 d 上上,)()(lim00pfpfpp0)(ppf在點(diǎn)如果函數(shù)在如果函數(shù)在 d 上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱(chēng)此函數(shù)則稱(chēng)此函數(shù)在在 d 上上連續(xù)連續(xù).,0dp 聚點(diǎn)如果存在如果存在否則稱(chēng)為否則稱(chēng)為不連續(xù)不連續(xù),0p此時(shí)此時(shí)稱(chēng)為稱(chēng)為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .則稱(chēng)則稱(chēng) n 元函數(shù)元函數(shù)連續(xù)連續(xù), 33例如例如, 函數(shù)函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷.122 yx 故故 ( 0, 0

18、)為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周34例例9 9 討論函數(shù)討論函數(shù)2222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解：解： 由前面的討論可知由前面的討論可知，22200lim0 xyxyxy(0,0)f所以該函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)。所以該函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)。35多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域是指包含在定義域

19、內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).36.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例11.求求111lim00yxyx37定理定理：若若 f (p) 在有界閉域在有界閉域 d 上連續(xù)上連續(xù), 則則,0) 1 ( k)()2(pf, ,mm;,)(dpkpf使在在 d 上至少可取得最大值上至少可取得最大值 m 及最小值及最小值 m 一次一次;(3) 對(duì)任意對(duì)任意，dq;)(qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 閉域閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類(lèi)似的如下性質(zhì)上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類(lèi)似的如下性質(zhì):(證明略) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d d上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在d d上上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它