多元函數(shù)微分學(xué)6(5月4日)

1、定理定理3設(shè)設(shè)),(vuyxf),(vuyxg在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且偏導(dǎo)數(shù)，且的函數(shù)行列式的函數(shù)行列式 （或稱雅可比行列式）（或稱雅可比行列式）vuvuggffvugfj),(),(在點(diǎn)在點(diǎn)不等于零，則方程組不等于零，則方程組0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 :的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(00000vuyxp, 0),(),(00000000vuyxgvuyxf偏導(dǎo)數(shù)所組成的偏導(dǎo)數(shù)

2、所組成的),(00000vuyxp),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyvvvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf例例5. 的鄰域內(nèi)在驗(yàn)證方程組) 1 , 2, 1 (006222zyxzyx, 1, 1, 1,2,2,2zgygxgzzfyyfxxf滿足定理3的條件,在 x=1的鄰域內(nèi)存在唯一的有連續(xù)設(shè)則解解:,),(6),(222zyxzyxgzyxzyxf的鄰域內(nèi)連續(xù)，又在) 1 , 2, 1 ( 0) 1 , 2, 1

3、(, 0) 1 , 2, 1 (gf),(21122),(),(zyzyggffzygfjzyzy.ddz,dd),(),(xxyxgzxfy并求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組. 06) 1 , 2, 1 (j故由定理3知在 x=1的鄰域內(nèi)存在唯一的有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)組則)()(xgzxfy.1122)(21),(),(1ddzyxzzxzyzxgfjxy.1122)(21),(),(1ddzyyxxyzyxygfjxz練習(xí)練習(xí). 驗(yàn)證下列方程組在指定點(diǎn)鄰域存在隱函數(shù)組,并求指定偏導(dǎo)數(shù)或全微分yvxvyuxuvuxyuvyx, ) 1 , 1 , 0 , 1 (00 ) 1 (2222求在點(diǎn) zxfyfy0zfz

4、 fx)1 (y例例6. 設(shè))(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxf所確定的函數(shù) , 求.ddxz解解 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得ffxfzyfx xzyfzfyf)0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )(xzdd 1 zyfffxxyfffxffx5 多元函數(shù)的泰勒公式 6 方向?qū)?shù)和梯度 一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式復(fù)習(xí):一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

5、束 記號(hào)記號(hào) (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(c000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 表示表示定理定理1.1.),(),(00yxyxfz在點(diǎn)設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx)

6、,()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn) 10(nr其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項(xiàng)朗日型余項(xiàng) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: : 令),10(),()(00tktyhtxft則 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t ky

7、t hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將上述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn ),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn說(shuō)明說(shuō)明: :(1) 余項(xiàng)估計(jì)式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界 m , ,22kh 令則有1)(! ) 1(nnkhnmr

8、sincoskh11)sincos(! ) 1(nnnm)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnm)(no2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 當(dāng) n = 0 時(shí), 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域d 上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1. 求函數(shù))0 , 0()1ln(),(在點(diǎn)yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1

9、 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(c333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31ryx其中),()(43

10、khfkhryx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí). . zyxzyxzyxfcoscoscos)cos(),(解解: 表示為x, y, z的多項(xiàng)式. 因此,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 都很小時(shí)，將函數(shù)當(dāng)zyx,0)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyxfff0)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zzyyxxfff. 1)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(xzzyyxfff).(),(zxyzxyzyxf.)0 , 0()sin( :22點(diǎn)

11、按泰勒公式展開(kāi)在將練習(xí)yx 二、二、方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 討論函數(shù)z=f(x,y) 在一點(diǎn)p沿某一方向的變化率問(wèn)題 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)p0(x0 y0)的某一鄰域u(p0)內(nèi)有定義 l是xoy平面上以p0(x0 y0)為始點(diǎn)的一條射線 與l同方向的單位向量為el(cos cos) 取p(x0tcos y0tcos)u(p0) 如果極限tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)p0沿方向l的方向?qū)?shù), 記為),(00yxlf ),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 方向

12、導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)f(x y)在點(diǎn)p0(x0 y0)處沿方向l的變化率 思考思考: 函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)p沿x軸正向和負(fù)向, 沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 沿x軸正向時(shí), cos1 cos=0 0000000(,)(,)(,)limtxyf xt yf xyflt00(,)xyfx沿x軸負(fù)向時(shí), cos1 cos=00000(,)(,)xyxyfflx 定理定理 如果函數(shù)zf(x, y)在點(diǎn)p0(x0 y0)可微分, 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l (el(cos cos)的方向?qū)?shù)都存在, 且有cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 證明證明:由于函數(shù)可微，則增量可表

13、示為 2200000000(,)( ,)( ,)( ,)( ()() )xyf xx yyf x yf x yxf x yy oxy 但點(diǎn)00(,)xx yy在以(x0 y0)為始點(diǎn)的射線l上,故有22cos ,cos,()()xtytxyt ,所以),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 0000( ,)cos( ,)cos .xyf x yf x y 例例2 求函數(shù)zxe2y在點(diǎn)p(1, 0)處沿從點(diǎn)p到點(diǎn)q(2, 1)的方向的方向?qū)?shù). 解 所以所求方向?qū)?shù)為 函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)p0沿方向l (el(cos cos)的方向?qū)?shù) cos),(co

14、s),(0000),(00yxfyxflfyxyx 解 ) 1 , 1 (pq 與 l 同向的單位向量為因?yàn)楹瘮?shù)可微分 且 1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz22)21(2211) 0 , 1 (lz) 1 , 1 (pq 與 l 同向的單位向量為)21 ,21(le 1) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yexz1)0 , 1 (2)0 , 1 (yexz 1) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yexz 22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22)0 , 1 (2)0 , 1 (yxeyz22) 0 , 1 (2) 0 , 1 (yxeyz 22)21(2211) 0

15、 , 1 (lz22)21(2211) 0 , 1 (lz 定義定義: 若函數(shù)的某鄰域有定義，在nnrxxxxf),()(0010存在極限)()(lim00xfxf.0出發(fā)的一條射線為由xl 對(duì)于n元函數(shù)f(x), 類似的有時(shí)，趨向沿射線如果點(diǎn)0xlx),(0xx 其中,)(0的方向?qū)?shù)沿在則稱該極限值為lxxf記作記作 )(0xlf, 1coscos),cos,(cos2121nnl取)(0xlftxftlxft)()(lim000txxftxtxfnnnt),()cos,cos(lim00101010注注: 若函數(shù)數(shù)軸正向和負(fù)向的方向?qū)а卦趇xxxf0)(顯然顯然 ).(),(00xxfx

16、xfii存在的充要條件是)(0xxfi).()()()(0000xxfxxfxxfxxfiiii都存在且和,)(221nxxxxf函數(shù)例例3:沿任意方向 l, 1)()(lim)(0toftlfolft則.)1coscos),cos,(cos(2121nnl其中1.)(的方向?qū)?shù)均為點(diǎn)沿任意方向在即loxf.)(不存在但oxfi, 00, 0)(2222222121yxyxyxyxxf函數(shù)例例4:,121lim)0 , 0()22,22(lim00ttfttftt由于但取),22,22(l.)0 , 0(不存在從而lf. 0)00()00(，顯然，yfxf,),()(0010處可微在點(diǎn)若函數(shù)n

17、xxxxf定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 , 且有iniixxfxlfcos)()(010. 1coscos),cos,(cos2121nnl其中軸的正方向軸，出發(fā)的與，是由點(diǎn)函數(shù)yxlyxz) 11 (,2例例5:, 2) 11 (2) 11 (，xyxz).1 , 1 (3,6lz的一條射線，求所成夾角分別為解解:, 1) 11 () 11 (2，xyz3cos16cos2) 1 , 1 (lz213注注: 本題沿不同方向本題沿不同方向,方向?qū)?shù)不同方向?qū)?shù)不同三、三、梯度梯度 設(shè)函數(shù)zf(x, y)在平面區(qū)域d內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對(duì)于每一點(diǎn)p0(x0

18、 y0)d, 都可確定一個(gè)向量fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 這向量稱為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)p0(x0 y0)的梯度, 記作gradf(x0 y0),即gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 如果函數(shù)f(x y)在點(diǎn)p0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是與方向l同方向的單位向量, 則),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx gradf(x0 y0)el|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0)el) |gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el) 可以看出方向?qū)?shù)就是梯度在射線l上的投影, 當(dāng)方向l與梯度的方向一致時(shí), 方向?qū)?shù)取得最大值. 所以沿梯度方向是函數(shù)f(x, y)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向. 如果函數(shù)f(x y)在點(diǎn)p0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是與方向l同方向的單位向量, 則),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)