[教育學]高數(shù)試題

1、；一、填空（每小題3分，共15分，將答案填在題中橫線上，不填解題過程）1.過兩點和且與平面垂直的平面方程是 .2.函數(shù)在點處的方向?qū)?shù)的最大值為 .3.曲面在點（）處的法線方程是 .4.交換二次積分的積分次序： .5.通解為（）為任意常數(shù)）的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為 .二、選擇題（每小題3分，共15分。每小題有四種選擇，有且僅有一個是正確的，將你認為正確的代號填入括號內(nèi)）1.函數(shù)在點（）處偏導數(shù) 存在是函數(shù)z在點（）存在全微分的（ ）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充分必要條件； D.既非充分又非必要條件.2.設(shè)在（）處取得極大值，則函數(shù)在處和在處（ ）A.都取得極大值； B

2、.至少有一個取極大值；C.恰有一個取得極大值； D.可能都不取極大值.3.設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為（ ）A. B. C. D. 4.設(shè) ，則等于（ ） A. B. C. D. 5.設(shè)是由方程所定義隱的隱函數(shù)，其中是變量的可微函數(shù)，a、b為常數(shù)，則必有（ ）A. ; B. ;C. ; D. .三、求解以下各題（每小題5分，共25分）1.一直線過點與直線：相交，且平行于平面：，求此直線的方程.2.設(shè)函數(shù)，其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，均可微，求 .3.求其中， .4.求微分方程的滿足的特解.5.求，是球體在第一卦限的部分.四、（8分）在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標平面所圍的四面體

3、體積最小，求此最小體積.五、（8分）設(shè)半徑為的球，其球心在半徑為（為常數(shù)）的定球面上，問為多少時，前者夾在定球內(nèi)部的表面積最大.六（8分）計算，L為正向圓周 .七、（8分）計算，其中為球面的下半部分的上側(cè).八、（8分）求級數(shù)的收斂域，并求和函數(shù).九、（5分）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明方程存在有唯一的以為周期的待解，并求其特解.一、填空（每小題3分，共9分，將答案填在題中橫線上，不填解題過程）1.過點（1，2，-1）且垂直于平面的直線方程是 .2.函數(shù)在點P（1，1）處的梯度grad ；矢量場在點Q（1，1，0）處散度 = . 3.設(shè)為某一階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為： .二、選擇題

4、（每小題3分，共9分，每小題給出四種選擇，有且僅有一個是正確的，將你認為正確的代號填入括號內(nèi)）1.函數(shù)在點（）處偏導數(shù)，存在是它在該點存在全微分的（ ）.A.充要條件； B.充分但非必要條件；C.必要但非充分條件； D.既非充分又非必要條件2.設(shè)空間區(qū)域，z0；，x0，y0，z0.則（ ）.A. ; B. C. ; D. 3.設(shè)為的以為周期的傅立葉正弦級數(shù)的和函數(shù)，則等于（ ）.A.1+ ； B.1； C. ； D.-1.三、求解下列各題（每題6分，共36分）1.求平行于平面，且與三坐標面所成四面體體積為1的平面方程.2.設(shè)函數(shù)，其中二階可導，具有二階連續(xù)導數(shù)，求， .3.計算二重積分4.計算

5、曲面積分，為錐面，外側(cè)在0z1的部分.5.將展成x冪級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.6.求微分方程滿足的特解.四、求內(nèi)接于半徑為R的半球且有最大體積的長方體.（8分）五、設(shè)連續(xù)，而，求及 .（8分）六、求由球面與錐面所圍均勻物體（體密度為）對z軸的轉(zhuǎn)動慣量.（8分）七、計算曲線積分，式中L是由，及在第一象限所圍區(qū)域D的正向邊界.（8分）八、設(shè)的全微分其中有二階連續(xù)導數(shù)，并且，試求 .（8分）九、設(shè)級數(shù)，其中0，若存在正數(shù)b，使得（n=1,2,）.試證明級數(shù)收斂.（6分）一、填空（每小題3分，共9分，將答案填在題中橫線上，不填解題過程）1.設(shè)z=1n（1+xy），則 dz= .2.極限 = .3.設(shè)f（x

6、）是以4周期的周期函數(shù)，它在定義為f（x）= 則傅里葉級數(shù)在x=2處收斂于 ，在x=1處收斂于 .二、選擇題（每小題3分，共9分，每小題給出四種選擇，其中有且僅有一個是正確的，將你認為正確的代號填入括號內(nèi)）1.設(shè)L是一光滑曲線，為了使曲線積分 (x，y)dx+xF(x，y)dy與積分路徑無關(guān)，則可微函數(shù)F(x，y）應(yīng)滿足條件（ ）.A. ； B. ;C. ; D. .2.微分方程的特解形式是( ).A.; B.; C.; D. .3.如果冪級數(shù)在處條件收斂，那么該級數(shù)的收斂半徑（ ）.A一定為2； B.一定大于2; C.一定小于2; D.不能確定.三、求解下列各題（每題6分，共24分）1 設(shè)函

7、數(shù)z=z（x，y）由方程所決定.求 .2 求經(jīng)過兩相交直線及的平面方程 .3 將二重積分化為二次積分，其中區(qū)域D為 所圍成的第一象限的部分.4 設(shè)函數(shù),點（1，2，3）點A(1,2,-1),點B（2，4，1，），方向，求函數(shù)f在點P處的梯度；求函數(shù)f在點P處沿的方向?qū)?shù).四、 設(shè)z= 求 . （8分）五、 求其中為平面在第一卦限中的部分. （8分）六、 計算其中曲面為z1）的下側(cè).（8分）七、 求，其中為在第一卦限部分的三角形邊界，從y軸正方向看去，方向順時針.（8分）八、 求冪級數(shù)的收斂半徑，并求和函數(shù).（8分）九、 設(shè)正項數(shù)列an單調(diào)減少，且發(fā)散，證明級數(shù)收斂。（8分）十、 現(xiàn)有每公升含0.3千克食鹽的水溶液，以每分鐘2公升的速度將其連續(xù)注入盛有10公升純水的容器里。溶液到容器里經(jīng)過稀釋后又以同樣的速度自容器中流出，用表示t時刻容器中的含鹽量. (滿分5分)(1) 列出在這段時間內(nèi)含鹽量改變量的關(guān)系式；(2) 求.(