定積分習題課

1、2問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質的性質定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一、主要內容一、主要內容31 1、問題的提出、問題的提出實例實例1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的面積a）iniixfa )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.4實例實例2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程）iniitv

2、s )(lim10 設某物體作直線運動，已知速度設某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時間是時間間隔間隔,21tt上上t的一個連續(xù)函數，且的一個連續(xù)函數，且0)( tv，求，求物體在這段時間內所經過的路程物體在這段時間內所經過的路程 s.方法方法:分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限.52 2、定積分的定義、定積分的定義設函數設函數)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干個分點若干若干個分點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小區(qū)間

3、上任取在各小區(qū)間上任取一點一點i （iix ），），定義定義,12110nnxxxxxx 6怎怎樣樣的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上的的取取法法，只只要要當當0 時時，和和s總總趨趨于于確定的極限確定的極限i，在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分，記為記為記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba我們稱這個極限我們稱這個極限i為函數為函數)(xf作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i點點i 怎怎樣樣并并作作和和iinixfs )(1 ，7可積的兩個可積的兩個條件：條件： 當當函函數數)(x

4、f在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1定理定理2 設函數設函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積.且只有有限個間斷點，則且只有有限個間斷點，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積.3 3、存在定理、存在定理84 4、定積分的性質、定積分的性質 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質性質1 babadxxfkdxxkf)()( (k為常數為常數)性質性質2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設設bca 性質性質39 則則0)( dxxfba )(ba 性質性質5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上

5、上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質性質410如果函數如果函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質性質7 (定積分中值定理定積分中值定理)設設m及及m分別是函數分別是函數 則則 )()()(abmdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質性質6上上的的最最大大值值及及最最小小

6、值值，積分中值公式積分中值公式115 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數上連續(xù)，則積分上限的函數dttfxxa )()(在在,ba上具有導數，且它的導數上具有導數，且它的導數是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函數存在定理）（原函數存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. 12定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xf是連續(xù)函數是連續(xù)函數)(xf在區(qū)

7、間在區(qū)間,ba上的一個原函數，則上的一個原函數，則 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數數在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個個連連續(xù)續(xù)函函數數在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba136 6、定積分的計算法、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv14、廣義積分、廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf

8、)(lim當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當極限不存在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. bdxxf)( baadxxf)(lim15(2)無界函數的廣義積分無界函數的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當極限不存在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim016二、與定積分概念有關的問題的解法二、與定積分概念有關的問

9、題的解法1. 用定積分概念與性質求極限用定積分概念與性質求極限2. 用定積分性質估值用定積分性質估值3. 與變限積分有關的問題與變限積分有關的問題17三、有關定積分計算和證明的方法三、有關定積分計算和證明的方法1. 熟練運用定積分計算的常用公式和方法熟練運用定積分計算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計算注意特殊形式定積分的計算3. 利用各種積分技巧計算定積分利用各種積分技巧計算定積分4. 有關定積分命題的證明方法有關定積分命題的證明方法思考思考: 下列作法是否正確下列作法是否正確?xxx1d1112 112 xxd111132 )(32xt 令令0d23112111 ttt18四、典

10、型例題四、典型例題(1)(1)例例1. 求求.d1lim10 xeexxxnn 例例2. 求求 nnnnnnnnin1sin212sin1sinlim 例例3.d411032xxx 估計下列積分值估計下列積分值例例4. 證明證明.2d222042exeexx 例例5.設設)(xf在在 1 ,0上是單調遞減的連續(xù)函數上是單調遞減的連續(xù)函數， 試證試證 1 ,0 q都有不等式都有不等式明對于任何明對于任何 100d)(d)(xxfqxxfq19例例1. 求求.d1lim10 xeexxxnn 解解: 因為因為1,0 x時時,xxneex 10所以所以xeexxxnd110 0 xxnd10 11

11、n利用夾逼準則得利用夾逼準則得0d1lim10 xeexxxnn,nx 20因為因為 依賴于依賴于且且1) 思考例思考例1下列做法對嗎下列做法對嗎 ?利用積分中值定理利用積分中值定理, eenn 1lim原式原式0 不對不對 ! ,n.10 說明說明: 2) 此類問題放大或縮小時一般應保留含參數的項此類問題放大或縮小時一般應保留含參數的項 . px 11ppxx 11)10( x1 px1 如如, p265 題題421 nnnnnnnnin1sin212sin1sinlim 解：將數列適當放大和縮小，以簡化成積分和：解：將數列適當放大和縮小，以簡化成積分和： nkknnk11sin 已知已知,

12、2dsin1sinlim101 xxnnknkn利用利用夾逼準則夾逼準則可知可知.2 i nknnknn11sin1 nknnk11sin (考研考研98 ) 11lim nnn例例2. 求求22思考思考: : nnnnnnjn1sin212sinlim 提示提示: :由上題由上題1sinlim nnijn 11)1(sin nnnn ? 11)1(sinlim nnnnn 2 2 21sin212sin1sinlim nnnnnnnnin00 故故23練習練習: 1.求極限求極限).21(lim22222nnnnnnnn 解：解：原式原式nn1lim nini12)(11xxd11102 4

13、 2. 求極限求極限).2212(lim12121nnnnnnnnn 提示提示：原式原式nn1lim nini121lim nnn nini12n1 xxd210 2ln1 11lim nn nini12左邊左邊= 右邊右邊24例例3.d411032xxx 估計下列積分值估計下列積分值解解: 因為因為1 ,0 x3241xx 41,412x xxxd411032 xd2110 xxd41102 即即xxxd411032 216 25例例4. 證明證明證證: 令令,)(2xxexf 則則xxexxf 2)12()(令令,0)( xf得得,21 x,1)0( f,41)21(ef 2)2(ef ,

14、1)(min42,0exf 22,0)(maxexf 故故22042d22exeexx .2d222042exeexx 26例例5.設設)(xf在在 1 ,0上是單調遞減的連續(xù)函數上是單調遞減的連續(xù)函數， 試證試證 1 ,0 q都有不等式都有不等式證明證明：顯然顯然1,0 qq時結論成立時結論成立.(用積分中值定理用積分中值定理) qxxf0d)( 10d)(xxfq qxxfq0d)()1( 1d)(qxxfq)1(q )(1 fq q )()1(2 fq , 01q 1 ,2q 10 q當當時時,)()()1(21 ffqq 故所給不等式成立故所給不等式成立 .明明:對于任何對于任何 10

15、0d)(d)(xxfqxxfq0 27四、典型例題四、典型例題(2)(2)例例6 6.2sin120 dxx求求例例7 7.cossinsin20 dxxxx求求例例8 8.12ln02 dxex求求例例9 9.2sinln40 xdx求求例例1010. )1(ln1sin212128 dxxxx求求例例11. 選擇一個常數選擇一個常數 c , 使使例例1212.,1min222 dxxx求求例例1313.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求設設0d)(cos)(99 xcxcxba28例例6 6解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 244

16、0)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 2 yox4 xsinxcos29例例7 7解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxi由由,cossincos20 dxxxxj設設,220 dxji則則 20cossincossindxxxxxji 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 i故得故得.4 i即即30例例8 8解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626

17、sinsintdttdt.23)32ln( 31例例9 9解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdxi 402sinlnxdxi 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxi22ln4 . 2ln4 iux 2 令令32例例1010122182sinln (1).1xx dxx 求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 33tttcbcadcos99 例

18、例11. 選擇一個常數選擇一個常數 c , 使使0d)(cos)(99 xcxcxba解解: 令令,cxt 則則xcxcxbad)(cos)(99 因為被積函數為奇函數因為被積函數為奇函數 , 故選擇故選擇 c 使使)(cbca 即即2bac 可使原式為可使原式為 0 .34例例1212.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函數是偶函數,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 35例例13. 設設,d)(022yexfxyy 解解: .d)()1(102xxfx 求求xxfxd)()1(102 013)()1(3

19、1xfx xxfxd)()1(31103 xexxxd)1(3110232 2101)1(2)1d()1(612 xexx)1(2 xu令令 10d6ueueu01)1(6ueue )2(61 e36四、典型例題四、典型例題(3)(3)例例1414例例1515.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設設例例1616.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設設.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列廣義積分求下列廣義積分37例例1

20、414.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf證明證明上連續(xù)上連續(xù)在在設設證證, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左邊左邊,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 38例例1515.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設設證證作輔助函數作輔助函數,)()()()(2axtfdtdttfxfxaxa )(

21、2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxfxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf390)2)()()()()( dtxftftfxfxfxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調增加單調增加xf, 0)( af又又, 0)()( afbf.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即40例例1616.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列廣義積分求下列廣義積分解解 (1) 02029494xxdxxxdx原式原式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052a

22、rctan51lim52arctan51lim .5 41(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕點的瑕點為為xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 42四、典型例題四、典型例題(4)(4),3)1(,0)( fxxf處連續(xù)處連續(xù)在在已知已知且由方程且由方程 xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(確定確定 y 是是 x 的函數的函數 , 求求. )(xf例例17. .例例18. .ttttfxfxdcos2sin)()(02 求可微函數求可微函數

23、f (x) 使?jié)M足使?jié)M足例例19. . 求多項式求多項式 f (x) 使它滿足方程使它滿足方程 10302d)1(d)(xxttfttxfx例例20. . 證明恒等式證明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx43例例17.解解：,3)1(,0)( fxxf處連續(xù)處連續(xù)在在已知已知且由方程且由方程 xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(確定確定 y 是是 x 的函數的函數 , 求求. )(xf方程兩端對方程兩端對 x 求導求導, 得得)(yxf yttf1d)(yyfx )( xttfy1d)()(xfy )(yxy 令令 x = 1,

24、得得)1(d)()(1fyttfyyfy 再對再對 y 求導求導, 得得)1(1)(fyyf y3 cyyf ln3)(,3,1 cy得得令令3ln3)( xxf故故44例例18.ttttfxfxdcos2sin)()(02 求可微函數求可微函數 f (x) 使?jié)M足使?jié)M足解解: 等式兩邊對等式兩邊對 x 求導求導, 得得)()(2xfxf xxxfcos2sin)( 不妨設不妨設 f (x)0,則則xxxfcos2sin21)( xxfxfd)()( xxxdcos2sin21cx )cos2ln(2145注意注意 f (0) = 0, , 得得3ln21 c3ln21)cos2ln(21)(

25、 xxfxcos23ln21 ttttfxfxdcos2sin)()(02 cxxf )cos2ln(21)(46例例19. 求多項式求多項式 f (x) 使它滿足方程使它滿足方程解解: 令令, txu 10302d)1(d)(xxttfttxfx則則 10d)(ttxf xuufx0d)(1代入代入原方程得原方程得 xuuf0d)( xttfx0d)1(242xx 兩邊求導兩邊求導:)(xf xttf0d)1()1( xfxxx443 )(xf )1(2 xf)1( xfx4122 x可見可見 f (x) 應為二次多項式應為二次多項式 , 設設cbxaxxf 2)(代入代入 式比較同次冪系數

26、式比較同次冪系數 , 得得. 1,4,3 cba故故143)(2 xxxf再求導再求導:47例例20. 證明恒等式證明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx證證: 令令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0 則則 )(xfxxxcossin2xxxcossin2 因此因此, )0()(2 xcxf又又 )4( fttttdarccosdarcsin212100 tttdarccosarcsin210 dt2210 4 故所證等式成立故所證等式成立 .0 48例例21.,0)(,)(, )( xgbaxgxf且且上連續(xù)上連續(xù)

27、在在設設試證試證, ),(ba 使使 baxxfd)( baxxgd)()()( gf 分析分析: 要證要證0d)()(d)()( babaxxgfxxfg 即即 xaxxgd)( baxxfd)( xaxxfd)( baxxgd)( x0 故作輔助函數故作輔助函數 baxabaxaxxgxxfxxfxxgxfd)(d)(d)(d)()(至少存在一點至少存在一點49證明證明: 令令 baxabaxaxxgxxfxxfxxgxfd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因因在在,ba上連續(xù)上連續(xù),)(上連續(xù)上連續(xù)在在故故baxf在在,),(內可導內可導ba, 0)()( bfaf且且至少至

28、少, ),(ba 使使,0)( f即即0d)()(d)()( babaxxgfxxfg 因在因在,ba上上)(xg連續(xù)且不為連續(xù)且不為0 ,0d)( baxxg從而不變號從而不變號,因此因此故所證等式成立故所證等式成立 .故由羅爾定理知故由羅爾定理知 ,存在一點存在一點50思考思考: 本題能否用柯西中值定理證明本題能否用柯西中值定理證明 ? ?如果能如果能, 怎樣設輔助函數怎樣設輔助函數?),(ba baxxfd)( baxxgd)(,)()( gf 要證要證: xattfxfd)()( xattgxgd)()(提示提示: 設輔助函數設輔助函數 51例例22. .設函數設函數 f (x) 在在

29、a, b 上連續(xù)上連續(xù),在在(a, b) 內可導內可導, 且且 . 0)( xf:,)2(lim證明證明存在存在若若axaxfax (1) 在在(a, b) 內內 f (x) 0 ; (2) 在在(a, b) 內存在點內存在點 , 使使 )(2d)(22 fxxfabba (3) 在在(a, b) 內存在與內存在與 相異的點相異的點 , 使使 baxxfaabfd)(2)(22 (03考研考研) 52證證: (1) ,)2(lim存在存在axaxfax ,0)2(lim axfax由由 f (x)在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 知知 f (a) = 0. ，又又0)( xf所以所以f (x) 在在

30、(a, b)內單調增內單調增, 因此因此 ),(, 0)()(baxafxf (2) 設設)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxfxa , 0)()( xfxg則則)(),(xgxf故故滿足柯西中值定理條件滿足柯西中值定理條件, 于是存在于是存在 使使),(ba aabattfttfabagbgafbfd)(d)()()()()(22 xxattfxd)()(253即即 )(2d)(22 fttfabba (3) 因因 0)()( ff)()(aff 在在a, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理),(),( )( aaf 代入代入(2)中結論得中結論得)(2d)(22afttfabb

31、a 因此得因此得 baxxfaabfd)(2)(22 5423.(0123.(01，)設設)(xf在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 可導，可導，1,0)1,0(且滿足且滿足dxxfefx)(3)1(21310 證明：存在證明：存在 ，使得，使得)1,0( )(2)( ff 24.(0124.(01，) 設設dxxxannnnn 123110則極限則極限 nnanlim1)1(231 e25.(0425.(04，)設設,tan401dxxxi ,tan402dxxxi 則則1)(21 iia211)(iib 1)(12 iic121)(iid 5526.設函數設函數 在區(qū)間上在區(qū)間上 的圖形為的圖形為： yf x1,3( )f xx1-2023-1o則函數 0 xf xf t dt的圖形為（ ） a( )f xx0231-2-11 b( )f xx0231-2-11 c( )f xx0231-11 d( )f xx0231-2-11. 56( )yf x 3, 2 , 2,3 2,0 , 0,20( )( ) ,xf xf t dt. a(3)f3( 2)4f .b(3)f5(2)4f.c(