定積分的應(yīng)用06377

1、回顧回顧曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfa)(ab xyo)(xfy 微元法微元法面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下:（n. iiixfa )( iix （3 3）求和，得）求和，得a的近似值的近似值.)(1iinixfa i1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成個長度為個長度為的小區(qū)間，相的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為應(yīng)的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，第個小窄曲邊梯形，第 個小窄個小窄曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 niiaa1則則,ia ix （4 4） 求極限，得求極限，得a的精確值的精確值 badxxf)(iinixfa )(lim10 y提示提示

2、xdxx ab xo)(xfy .)( badxxfiinixfa )(lim10 da面積元素面積元素微元法微元法的一般步驟：的一般步驟：這個方法通常叫做這個方法通常叫做微元法微元法應(yīng)用定積分的微元法解決問題應(yīng)用定積分的微元法解決問題時，關(guān)鍵在于確定時，關(guān)鍵在于確定微元微元f(x)dx 和積分區(qū)間和積分區(qū)間a ,b。直角坐標(biāo)系下的平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下的平面圖形的面積1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所圍成的平面圖形的面積為所圍成的平面圖形的面積為 )( baaf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所圍平面圖

3、形的面積為所圍平面圖形的面積為( ( )( )( ),)baaf xgf xxgaxdxbxyo)(xfy abxxx xyo( )yg x( )yf xabxx 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 x面積元素面積元素dxxxda)(2 dxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 22xyxy練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dax1610 xeeadx112

4、33 2x xadx323練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。102axx dx32123axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 83763、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x= (y) 所圍平面圖形的面積為所圍平面圖形的面積為 )( dcaycdyd4 如右圖中的陰影部分的面積為如右圖中的陰影部分的面積為 dcafyg ydy例例2 計(jì)算由計(jì)算由 和和 所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 22yx4yx解一解一兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 4

5、22xyxy1228022(2 )2(4)18aaaxxdxxxdx 解二解二xy22 4 xy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyyda 24242daa42224dyyy182 2222202axxdx12221xdx練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。練習(xí)寫出下列給定曲線所圍成的圖形面積的定積分表達(dá)式。222,1yxyxy10()2yaydy或或 22(1)32旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xy

6、xydxxfdv2)( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfvba2)( ,bax xdxx xyo)(xfy aby=f (x)dcx=g (y)旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式1、旋轉(zhuǎn)軸為、旋轉(zhuǎn)軸為 x 軸軸 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22( )bbxaavf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所圍成的曲邊所圍成的曲邊梯形繞梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22

7、( )ddyccvg ydydxy2、旋轉(zhuǎn)軸為、旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸軸a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax dxxavaa33232 .105323a , 0hx yrhpxo解解xhry 直線直線opop的方程為的方程為dxxhrdv2 dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr 例例5 計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線 y=x2 與與 x=y2 所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。一周而成的立體的體積。解解 如圖所示如圖所示v2v112yvvv11221200 x dyx dy11400ydyy dy31021 226,21xyxyy2222011yvydyydy練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 32練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式 31,1,0yxxy160 xvx dx11600 xvdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周 1767