多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì)

1、9.1.1 9.1.1 二重積分的概念二重積分的概念1.1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積9.19.1多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì)多元數(shù)量值積分的概念與性質(zhì) 頂柱體頂柱體做曲做曲上連續(xù)這樣的立體叫上連續(xù)這樣的立體叫在在且且，這里，這里面面軸的柱面，它的頂是曲軸的柱面，它的頂是曲平行于平行于線線的邊界曲線為準(zhǔn)線而母的邊界曲線為準(zhǔn)線而母是以是以，它的側(cè)面，它的側(cè)面面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域設(shè)有一立體，它的底是設(shè)有一立體，它的底是dyxfyxfzxddxoy0),(),( 定義定義xzo),(yxfz yd體積體積= =平頂柱體的體積計算平頂柱體的體積計算底面積底面積高高曲邊梯形面積的求法曲邊梯形面積的求

2、法“分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限”的思想方法的思想方法曲頂柱體的體積計算曲頂柱體的體積計算以直線代曲線以直線代曲線以平面代曲面以平面代曲面 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似求分割、近似求和、取極限和、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割

3、、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示（2 2）近近似似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ，用用以以) , (iif 為為高高， i 為為底底的的平平頂頂柱柱體體的的體體積積iiif ) ,

4、 (近近似似代代替替?zhèn)€第i 小小曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積，即即 iiiifv ) , () , 2, , 1(ni 。 （1 1）分分割割。 將將d 區(qū)區(qū)域域任任意意分分成成個 n子子域域：1 ，2，n 。 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示個個第第i子子域域的的面面積積。然然后后以以每每個個 子子域域的的邊邊界界曲曲線線為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線，作作母母線線平平行行于于軸軸 z的的柱柱面面，這這些些 柱柱面面就就把把原原來來的的曲曲頂頂柱柱體體分分成成 n 個個小小的的曲曲頂頂柱柱體體。 iiiifv ) , (xzyodi ),(ii （4 4）取極限）取極限 設(shè)設(shè)max1的直徑的直

5、徑inid ，當(dāng)，當(dāng)0d時上面和式的時上面和式的 極限就是曲頂柱體的體積，即極限就是曲頂柱體的體積，即 iniiidfv 10) ,(lim。 （3 3）求和）求和 將這將這 n 個小平頂柱體的體積相加，得到原曲頂柱體個小平頂柱體的體積相加，得到原曲頂柱體 體積的近似值，即體積的近似值，即 iniiiniifvv 11) ,( xzyod),(yxfz i),(ii2 2平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量 設(shè)有一平面薄片在設(shè)有一平面薄片在xoy平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 d，其面密度，其面密度 為為 d 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)) ,(yx ，求該平面薄片的質(zhì)量，求該平面薄片的質(zhì)量 m。 xyod

6、 均勻薄片的質(zhì)量均勻薄片的質(zhì)量 面密度面密度薄片面積薄片面積 （1 1）分分割割 將將薄薄片片( (即即區(qū)區(qū)域域 d) )任任意意分分成成 n 個個子子域域：n ,21， 并并以以i ) , 2, , 1(ni 表表示示第第 i 個個子子域域的的面面積積。 （2 2）近近似似 ) , (iii ) , 2, , 1(ni ， 第第i塊塊薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量的的近近似似值值為為 im) , (ii i 。 xyod) , (ii i （3 3）求和）求和 將這將這 n 個看作質(zhì)量分布均勻的小塊的質(zhì)量相加，得到個看作質(zhì)量分布均勻的小塊的質(zhì)量相加，得到 整個平面薄片質(zhì)量的近似值，即整個平面薄片質(zhì)量的

7、近似值，即 iniiiniimm 11) ,( （4 4）取極限）取極限 設(shè)設(shè) max 1的直徑的直徑inid ，當(dāng)，當(dāng)0d上面和式的極限上面和式的極限 就是所求薄片的質(zhì)量，即就是所求薄片的質(zhì)量，即 iniiidm 10) ,(lim。 3 3二重積分的定義二重積分的定義定義定義 設(shè)設(shè)) ,(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 d 上的有界函數(shù)。將閉上的有界函數(shù)。將閉 區(qū)域區(qū)域 d 任意分成任意分成 n 個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域: :i ) 3, , 2 , 1( i，并，并 以以i 表示表示個個第第i小閉區(qū)域的面積。小閉區(qū)域的面積。 ) , (iii ， 作和式作和式 iniiif 1) ,(。若當(dāng)

8、各小閉區(qū)域的最大直徑。若當(dāng)各小閉區(qū)域的最大直徑 0d時，和式的極限存在，則稱此極限為時，和式的極限存在，則稱此極限為) ,(yxf在閉在閉 區(qū)域區(qū)域 d 上的二重積分，記作上的二重積分，記作 ddyxf),(，即，即 iniiiddfdyxf 10) ,(lim),( 由二重積分的定義，曲頂柱體的體積就是柱體的由二重積分的定義，曲頂柱體的體積就是柱體的 高高0) ,( yxf在底面區(qū)域在底面區(qū)域 d 上的二重積分，即上的二重積分，即 ddyxfv),(。 非均勻分布的平面薄片的質(zhì)量，就是它的面密度非均勻分布的平面薄片的質(zhì)量，就是它的面密度 ) ,(yx 在薄片所占有的區(qū)域在薄片所占有的區(qū)域 d

9、 上的二重積分，即上的二重積分，即 ddyxm),(。 積分和積分和被積表達(dá)式被積表達(dá)式面積元素面積元素.),( lim ),( 10iniiiddfdyxf 積積分分區(qū)區(qū)域域被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量 （1 1）當(dāng)）當(dāng)0) ,( yxf時，曲頂柱體的體積時，曲頂柱體的體積 ddyxfv),(。 xzo),(yxfz yd4.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（2 2）當(dāng)）當(dāng)0) ,( yxf時，曲頂柱體在時，曲頂柱體在xoy平面的下方，平面的下方， 曲柱體的體積曲柱體的體積 ddyxfv),(，或，或 ddyxfv),(。 （3 3）當(dāng)）當(dāng)) ,(yxf在在上d有正有負(fù)時，若規(guī)定在有

10、正有負(fù)時，若規(guī)定在xoy平面上平面上 方的柱體體積取正號，在方的柱體體積取正號，在xoy平面下方的柱體體積取負(fù)號，平面下方的柱體體積取負(fù)號， 則則 ddyxf),(的值就是這些上下方柱體體積的代數(shù)和。的值就是這些上下方柱體體積的代數(shù)和。 性性質(zhì)質(zhì) 1 1 dddyxfkdyxkf),(),(（k 為為常常數(shù)數(shù)） 。 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 ddddyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(。 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 若在若在d上上1) ,( yxf， 的面積為的面積為且且 d， 則則 dd。 .對對積積分分區(qū)區(qū)域域具具有有可可加加性性這這一一性性質(zhì)質(zhì)表表明明二二重重積積分分9.1.29.1.2

11、二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 若若ddd 21， 21dd ，則，則 21),(),(),(ddddyxfdyxfdyxf。 推論推論： dddyxfdyxf),(),(。 性質(zhì)性質(zhì) 5 5 若在若在d上上) ,() ,(yxgyxf ，則，則 dddyxgdyxf),(),(。 性性質(zhì)質(zhì) 6 6若若 m 和和 m 分分別別為為) ,(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的最最大大值值和和 最最小小值值， 為為d的的面面積積，則則 mdyxfmd),(。 ) ,() ,() ,(yxfyxfyxf 設(shè)設(shè)) ,(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 d 上連續(xù)，記上連續(xù)，記的面積的面積為為 d ，則在，則在 d上至少存在一點上至少存在一點) ,( ，使得，使得 ),(),(fdyxfd。 證明：顯然證明：顯然0 ，由性質(zhì)，由性質(zhì) 6 6 中不等式中不等式 mdyxfmd),(， 得得mdyxfmd ),(1， 根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在d上至少存在一點上至少存在一點 ) ,( ，使得，使得),(),(1 fdyxfd， 從而從而 ),(),(fdyxfd。 通常稱通常稱 ddyxf),(1為為) , (yxf在區(qū)域在區(qū)域 d 上的上的平均值平均值。 性質(zhì)性質(zhì)7（二重積分中值定理二重積分中值定理） d： 4222yxx