微分方程基本概念

1、返回常微分方程方法與應(yīng)用常微分方程方法與應(yīng)用基本知識數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 張齊鵬張齊鵬電話：電話箱：信箱：返回微分方程微分方程: :凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程. .第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念返回一、問題的提出一、問題的提出返回一、問題的提出一、問題的提出返回例例 1 1 一一曲曲線線通通過過點(diǎn)點(diǎn)(1,2),且且在在該該曲曲線線上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yxm處處的的切切線線的的斜斜率率為為x2,求求這這曲曲線線的的方方程程.解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為xdxdy2 xdx

2、y22,1 yx時時其中其中,2cxy 即即, 1 c求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為一、問題的提出一、問題的提出返回微分方程微分方程: :凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)某些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .二、微分方程的定義二、微分方程的定義返回分類分類1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .未知函數(shù)

3、是一元函數(shù)的微分方程稱為未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程常微分方程.例如例如:;22xxydxdy(2x+y)dx + xdy = 0;222xydxdydxydx都是常微分方程都是常微分方程.本章只討論本章只討論常微分方程常微分方程. . , yxxz 微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之. .偏微分方程偏微分方程返回, 0),( yyxf一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxf).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:

4、2:ydxdy2 例例1 中的方程中的方程 是一階微分方程；是一階微分方程；例例2 中的方程中的方程 4 . 022 dtsd是二階微分方程是二階微分方程.返回微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . 三、主要問題三、主要問題-求方程的解求方程的解例如例如: 對于微分方程對于微分方程022 ydxyd考慮函數(shù)考慮函數(shù) y = sinx因?yàn)橐驗(yàn)?(sinx) + sinx = sinx + sinx = 0所以所以 y = sinx 是方程是方程 的解的解.022 ydxyd返回(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任

5、意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .解解條條件件確確定定特特解解的的條條件件稱稱為為定定.條條件件在在這這里里我我們們僅僅討討論論初初始始：的初始條件為的初始條件為一般地，一階微分方程一般地，一階微分方程00yyxx ：件為件為二階微分方程的初始條二階微分方程的初始條 0000yyyyxxxx返回：

6、為為階微分方程的初始條件階微分方程的初始條件n )1(0)1(00000nxxnxxxxyyyyyy求微分方程滿足求微分方程滿足初始條件初始條件的特解的問題稱為的特解的問題稱為初值問題初值問題.如例如例1 是一個是一個初值問題初值問題.120 xyydxdy，是方程的通解；是方程的通解；xecy2 .2件的特解件的特解是方程滿足所給初始條是方程滿足所給初始條xey 返回.2004 . 00022 ttdtdssdtsd，且且，例例2 也是一個也是一個初值問題初值問題.是方程的通解；是方程的通解；2122 . 0ctcts .202 . 02件的特解件的特解是方程滿足所給初始條是方程滿足所給初始

7、條tty 微分方程解的圖形稱為微分方程的微分方程解的圖形稱為微分方程的積分曲線積分曲線. . 通解的圖形是通解的圖形是積分曲線族積分曲線族, ,特解的圖形是特解的圖形是積分曲線族積分曲線族中的一條中的一條積分曲線積分曲線. .返回例: 已知一條曲線通過(1, 2). 且在該曲線上任意點(diǎn)m(x,y)處的切線斜率為2x, 求這條曲線.x0 xy(1, 2)解: 設(shè)所求的曲線為 y =y (x), 則y=x2 + c,y = 2x其中c是任意常數(shù).又曲線過定點(diǎn)(1, 2). 即,2=1+c , 得 c = 1故所求曲線方程為y=x2 +1注: 微分方程解的圖形稱為微分方程的積分曲線.返回補(bǔ)充補(bǔ)充:

8、:微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等積分法初等積分法. .求解微分方程求解微分方程求積分求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)返回微分方程在實(shí)際工作中有著廣泛的應(yīng)用微分方程在實(shí)際工作中有著廣泛的應(yīng)用. .我們研究微分方程的主要問題是：我們研究微分方程的主要問題是：1.1.根據(jù)實(shí)際問題的要求和條件，建立反映變量根據(jù)實(shí)際問題的要求和條件，建立反映變量間內(nèi)在聯(lián)系的微分方程，并列出初始條件；間內(nèi)在聯(lián)系的微分方程，并列出初始條件；2.2.求出微分方程通解及滿足初始條件的特解；求出微分方程通解及滿足初始條件的特解；3.3.研究解的性質(zhì)或物理意義研究解的性質(zhì)或物

9、理意義. .在這里我們主要討論上述第二個問題在這里我們主要討論上述第二個問題. .從微分方程作為解決實(shí)際問題的重要工具這一從微分方程作為解決實(shí)際問題的重要工具這一要求來說，要求來說，返回微分方程；微分方程；微分方程的階；微分方程的階；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始條件；初始條件；特解；特解；初值問題；初值問題； 積分曲線積分曲線四、小結(jié)四、小結(jié)本節(jié)基本概念：本節(jié)基本概念：返回思考題思考題 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?返回思考題解答思考題解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.返回三三、設(shè)設(shè)曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn)),(yxp處處的的法法線線與與x軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為q, ,且且線線段段pq被被y軸軸平平分分, ,試試寫寫出出該該曲曲線線所所滿滿足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空題填空題: : 1 1、022 yxyyx是是_階微分方程；階微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_階微分方程；階微分方程；3 3、 2sin dd是是_階