有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算知識(shí)講解

1、有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解有理數(shù)乘方的定義；2. 掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則，并能熟練進(jìn)行乘方運(yùn)算；3. 進(jìn)一步掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算 .【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的乘方定義： 求 n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪( power)即有：a ga g 1 4 2ga 4 3an .在an 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù).n個(gè)要點(diǎn)詮釋：（ 1）乘方與冪不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果（ 2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來（3）一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方例如，5 就是 51 ，指數(shù) 1 通常省略不寫

2、要點(diǎn)二、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則（ 1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（ 3）0 的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個(gè)數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)，即要點(diǎn)詮釋：( 1) 有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值( 2) 任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù)【高清課堂：有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算356849有理數(shù)的混合運(yùn)算】要點(diǎn)三、有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：( 1) 先乘方， 再乘除， 最后加減； ( 2) 同級(jí)運(yùn)算， 從左到右進(jìn)行；( 3) 如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行要點(diǎn)詮釋：( 1) 有理數(shù)

3、運(yùn)算分三級(jí)，并且從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算，級(jí)運(yùn)算，乘方和開方( 以后學(xué)習(xí) ) 是第三級(jí)運(yùn)算；（ 2）在含有多重括號(hào)的混合運(yùn)算中，有時(shí)根據(jù)式子特點(diǎn)也可按大括號(hào)、中括號(hào)、順序進(jìn)行( 3) 在運(yùn)算過程中注意運(yùn)算律的運(yùn)用乘除法是第二小括號(hào)的【典型例題】類型一、有理數(shù)的乘方1. 計(jì)算：（1） 34 ；4434；（-3）； （-3）3223（2） 233( 2)；（ ）；（- ）；3333【答案與解析】由乘方的定義可得：( 1)3 43× 3× 3× 3 81；-3 4 - （3× 3× 3× 3） -81 ；(3)4(3)(3)

4、(3)(3)81 ；( 3)4(3)(3)(3)(3)81(2) 23222 8；(2)3(2) (2) (2)8；333333327(2)3(2 ) (2) (2)8；333327(2)3(2)( 2)(2)883333【總結(jié)升華】注意 (n與 an的意義的區(qū)別 ( a)2n2n2 n 1a2n 1a)a （ n 為正整數(shù)），( a)（ n 為正整數(shù)）舉一反三：【變式 1】比較 (- 5) 3 與 - 53 的異同【答案】 相同點(diǎn)：它們的結(jié)果相同，指數(shù)相同；不同點(diǎn)： (- 5) 3 表示 - 5 的 3 次方，即 (- 5) ×(- 5) ×(- 5) - 125，而 -

5、 53表示 5 的 3 次方的相反數(shù)，即 - 53 -( 5× 5×5) 因此，它們的底數(shù)不同，表示的意義不同【變式 2】（ 2015?杭州模擬）若n 為正整數(shù)，（ 1） 2n=（）A 1B1C 2nD不確定【答案】 A 因?yàn)?n 為正整數(shù)，2n 一定是偶數(shù)，所以（1）2n=1.類型二、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則2不做運(yùn)算，判斷下列各運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)55(- 2) 7， (- 3)24，(- 1.0009) 2009， -(- 2) 20103【答案與解析】 根據(jù)乘方的符號(hào)法則判斷可得：5(- 2) 7 運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)； (- 3) 24運(yùn)算的結(jié)果為正； (- 1. 0009) 20

6、09 運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)；53運(yùn)算的結(jié)果是正；-(- 2) 2010 運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)【總結(jié)升華】 “一看底數(shù)，二看指數(shù)” ，當(dāng)?shù)讛?shù)是正數(shù)時(shí)，結(jié)果為正；當(dāng)?shù)讛?shù)是0，指數(shù)不為時(shí)， 結(jié)果是 0；當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，再看指數(shù)， 若指數(shù)為偶數(shù)， 結(jié)果為正； 若指數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果為負(fù)舉一反三：【變式】當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 1nnnn 111144【答案】 0類型三、有理數(shù)的混合運(yùn)算3.計(jì)算：（ 1） -(- 3) 2+(- 2) 3÷ (- 3)-(-5)（ 2） 73- 6× (- 7) 2-(- 1) 10 ÷(- 214- 24+214)3（ 3）11222 ；2233（4） 12

7、2 111 12 113 31243424340.2【答案與解析】 （ 1）-(- 3) 2+(- 2) 3÷(-3)-(-5) - 9+(- 8) ÷ (- 3+5) - 9+(- 8) ÷2 - 9+(- 4) - 13（ 2） 73- 6× (- 7) 2 -(- 1) 10 ÷ (- 214- 24+214) ( 7× 72- 6× 72 - 1) ÷ (- 214+214- 24) 72× ( 7- 6)- 1 ÷ (- 24) ( 49- 1) ÷(- 24) - 2（ 3

8、）有絕對(duì)值的先去掉絕對(duì)值，然后再按混合運(yùn)算.原式1122111182(2)324338（ 4）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)化為分?jǐn)?shù)后再進(jìn)行運(yùn)算.212 111 12 113 32413424340.21545755241()(3)116244(3)5125724125165224316056125120 394040【總結(jié)升華】 有理數(shù)的混合運(yùn)算，確定運(yùn)算順序是關(guān)鍵，細(xì)心計(jì)算是運(yùn)算正確的前提舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算356849典型例題1】【變式】計(jì)算： （1） 1-1- 0.5×1× 2 -323（2）-14-1× 2- -336（3）(11+1-

9、 2.75) ×(-24)+(-1)2011-2338（4）13-12+|-2 3- 3|(-0.1)(-0.2)【答案】（ 1）原式157176×-7 =-66或原式 =（ 1-1+ 11 ）（2-9 ） = 1× -7= - 72366（ 2）原式 = -1-1× 2-27= -1-1×29=- 35( 4611)×(-24)-1-66(3)原式+ 1 -8=- 32- 3+66- 9=22=843(4)原式1-1+|-8 - 3|-0.0010.04= -1000-25+11= -10144.計(jì)算：(2) 201122012【答

10、案與解析】 逆用分配律可得：( 2) 201122012220112201222011(12)1 2201122011【總結(jié)升華】 靈活運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.另外有 22n122 n22 n ;2 2 n22 n 122n 1舉一反三：【變式 1】計(jì)算： 220219218217216.2423222【答案】 原式= 219218217216.2423222218217216. 2423222. 222 2【變式 2】計(jì)算： (3)7(4)743【答案】 (3)7(4)7(3)( 4)714343類型四、探索規(guī)律5. （ 2015?滕州市校級(jí)二模） 求 1+2+22+23+ +2 2013 的

11、值，可令 S=1+2+2 2+23 + +22013，則 2S=2+22+23+ +22014，因此 2SS=22014 1仿照以上推理，計(jì)算出2320141+5+5 +5 + +5=【答案】解：設(shè) S=1+5+5232014+5+ +5，則 5S=5+52+53+ +52015，5S S=（5+5 2+5 3+ +5 2015）（ 1+5+52+5 3+ +5 2014） =5 2015 1，所以， S=【總結(jié)升華】 根據(jù)題目信息，設(shè)S=1+5+5232014232015+5+ +5，表示出 5S=5+5+5+ +5，然后相減求出 S 即可舉一反三：【變式】觀察下面三行數(shù)： - 3，9， - 27，81， - 243， 729， 0， 12， - 24，84， - 240， 732， - 1，3， - 9， 27， - 81，243， ( 1) 第行數(shù)按什么規(guī)律排列?( 2) 第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系?( 3) 取每行數(shù)的第10 個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和【答案】( 1) 第行數(shù)的規(guī)律是：- 3， (- 3) 2， (- 3) 3， (-