定積分的概念與性質(zhì)

1、2021-11-141第五章第五章 定積分定積分(definite integrals) 在一切理論成就中，未必再有什么象在一切理論成就中，未必再有什么象1717世紀(jì)下半世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那也就是正是在這里。的功績，那也就是正是在這里。恩格斯恩格斯2021-11-142七七 思考題與判斷題思考題與判斷題二二 定積分的定義定積分的定義一一 問題的提出問題的提出四四 定積分的幾何意義定積分的幾何意義六六 小結(jié)、思想方法小結(jié)

2、、思想方法第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念(concept of definite integrals) 三三 定積分存在的兩個(gè)充分條件定積分存在的兩個(gè)充分條件五五 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 2021-11-143abxyo? a1 1 面積問題面積問題（area problem)曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.一一 問題的提出（問題的提出（introduction)(xfy 我們有兩個(gè)問題要解決，一個(gè)是給出面積的定我們有兩個(gè)問題要解決，一個(gè)是給出面積的定義，一個(gè)是找出計(jì)算面積的方法。微積分的最大功義，

3、一個(gè)是找出計(jì)算面積的方法。微積分的最大功績在于，用干凈利索的方法解決了這一問題，并用績在于，用干凈利索的方法解決了這一問題，并用非常有效的方法解決了相當(dāng)復(fù)雜的圖形的面積的計(jì)非常有效的方法解決了相當(dāng)復(fù)雜的圖形的面積的計(jì)算問題算問題。2021-11-144abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）解決問題的基本思路解決問題的基本思路：變變“曲曲”為為“直直”2021-11-145曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，

4、,1210bxxxxxabann 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfa )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx 2021-11-146iniixfa )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfa )(lim10 時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細(xì)當(dāng)分割無限加細(xì))0(,max,21 nx

5、xx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為2021-11-147例例2 2 路程問題路程問題（distance problem) 設(shè)設(shè)某某質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)作作直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，速速度度)(tvv 是是時(shí)時(shí)間間間間隔隔,21tt上上t的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，求求物物體體在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程. . 把整段時(shí)間分割成若干小時(shí)間段，每小段把整段時(shí)間分割成若干小時(shí)間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值細(xì)分過程求得路程的精確值對(duì)于勻速

6、運(yùn)動(dòng)，我們有公式對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)，我們有公式路程路程= =速度速度x x時(shí)間時(shí)間解決變速運(yùn)動(dòng)的路程的基本思路解決變速運(yùn)動(dòng)的路程的基本思路2021-11-148（1 1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( （3 3）作和）作和iinitvs )(1 （4 4）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值(2) (2) 取點(diǎn)取點(diǎn)iit 2021-11-149設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxx

7、xann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點(diǎn)一點(diǎn)i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i二二 定積分的定義定積分的定義 （definition of definite integral)定義定義并并作作和和， iinixfs )(1 2021-11-1410怎怎樣樣的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間

8、間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和s總趨于總趨于確定的極限確定的極限i，我我們們稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限i為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分， 記為記為積分和積分和積分下限積分下限積分上限積分上限2021-11-1411注：注： baidxxf)(iinixf )(lim10 (1)利用極限的利用極限的“ ”的說法，將定積分的的說法，將定積分的 定義精確表述如下定義精確表述如下： 有有中中怎怎樣樣取取法法，只只要要在在的的任任何何分分法法，不不論論對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間, 0, 0,1 iiixxba ixfiini)(1.,)(上的定

9、積分上的定積分在區(qū)間在區(qū)間是是成立，則稱成立，則稱baxfi2021-11-1412(2) 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）積分值與區(qū)間的分法和）積分值與區(qū)間的分法和 i 的取法是無關(guān)的的取法是無關(guān)的. . （4 4）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時(shí)時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的寫寫法法無無關(guān)關(guān). .稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積. .2021-11-1413（5）曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直

10、直線線ax 、bx 所所圍圍成成. . badxxfabaxfa)( ,)(即即上上的的定定積積分分，在在區(qū)區(qū)間間等等于于函函數(shù)數(shù)其其面面積積 (6) 設(shè)某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度設(shè)某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度)(tvv 是時(shí)是時(shí)間間隔間間隔,21tt上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，物體在這的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程. . 21)(ttdttvs2021-11-1414 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)， 定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. . 且且只只有有有有限限

11、個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則)(xf在在三三 定積分存在的兩個(gè)充分條件定積分存在的兩個(gè)充分條件區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .注意注意 這兩個(gè)定理僅僅是充分條件，不是必要的。這兩個(gè)定理僅僅是充分條件，不是必要的。2021-11-1415, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值四四 定積分的幾何意義定積分的幾何意義abxyooyabx2021-11-1416幾何意義幾何意義 積積取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號(hào)號(hào)；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代

12、直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(1a2a3a321)(aaadxxfba xyo2021-11-1417例例1 1 利用定義計(jì)算定積分利用定義計(jì)算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等等分分，分分點(diǎn)點(diǎn)為為nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，( (ni, 2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx (1) 分割分割（2）取點(diǎn)取點(diǎn)（3）求和求和2021-11-1418nnini121 niin12316)12)(

13、1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 （4）求極限求極限2021-11-1419例例2dxx 1021計(jì)算積分計(jì)算積分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12 xxxxyx1y面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 dxx所以所以2021-11-1420對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定: :（1）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)，0)( aadxxf；(2) abbadxxfdxxf)()(.注意注意 在下面的性質(zhì)中，假定

14、定積分都存在，在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小五五 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 2021-11-1421 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.注意注意：不論不論 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, , 上式總成立上式總成立.cba,性質(zhì)性質(zhì)3 32021-11-1422例例 若若, cba cadxxf

15、)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則2021-11-1423dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，2021-11-1424推論推論1 1證證),()(xgxf ,

16、 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）2021-11-1425dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明：| |)(xf| |在區(qū)間在區(qū)間,ba上的可積性上的可積性可由可由)(xf區(qū)間區(qū)間,ba上的可積性推出上的可積性推出. .推論推

17、論2 2（2）2021-11-1426設(shè)設(shè)m及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba （此性質(zhì)說明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的（此性質(zhì)說明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最值，可用于估計(jì)積分值的大致范圍）最值，可用于估計(jì)積分值的大致范圍）則則 )()()(abmdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 62021-11-1427如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證mdxxfabmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由閉

18、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式2021-11-1428在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以曲線以曲線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的一個(gè)矩形的面積的一個(gè)矩形的面積。平平均均值值在在函函數(shù)數(shù),)(baxf2021-11-1429例例 2 2 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大