二次函數(shù)-因動點產(chǎn)生的面積問題典型例題

1、中考壓軸題精選典型例題講解二次函數(shù)-因動點產(chǎn)生的面積問題例1、如圖1，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(1,0)（1）b_，點B的橫坐標為_（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結(jié)BC，過點A作直線AE/BC，與拋物線交于點E點D是x軸上一點，坐標為(2,0)，當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連結(jié)PB、PC設(shè)PBC的面積為S求S的取值范圍；若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有_個圖1 思路點撥1用c表示b以后，把拋物線的一般式改

2、寫為兩點式，會發(fā)現(xiàn)OB2OC2當C、D、E三點共線時，EHACOB，EHDCOD3求PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算，P在BC上方或下方4求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運動到B的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個數(shù)注意排除點A、C、B三個時刻的值滿分解答（1）b，點B的橫坐標為2c（2）由，設(shè)E過點E作EHx軸于H由于OB2OC，當AE/BC時，AH2EH所以因此所以當C、D、E三點在同一直線上時，所以整理，得2c23c20解得c2或（舍去）所以拋物線的解析式為（3）當P在BC下方時，過點P作x軸的垂線交BC于F直線BC的解析式為設(shè)，那么，所以SPBCSPBFSPCF因此當P在

3、BC下方時，PBC的最大值為4當P在BC上方時，因為SABC5，所以SPBC5綜上所述，0S5若PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的PBC共有11個考點伸展點P沿拋物線從A經(jīng)過C到達B的過程中，PBC的面積為整數(shù)，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）當P在BC下方，S4時，點P在BC的中點的正下方，F(xiàn)是BC的中點例 2、如圖1，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形ABO（1）一拋物線經(jīng)過點A、B、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點P是第一象限內(nèi)拋物線上

4、的一個動點，是否存在點P，使四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PBAB是哪種形狀的四邊形？并寫出它的兩條性質(zhì)圖1思路點撥1四邊形PBAB的面積是ABO面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PBOB的面積是ABO面積的3倍2聯(lián)結(jié)PO，四邊形PBOB可以分割為兩個三角形3過點向x軸作垂線，四邊形PBOB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形滿分解答（1）AOB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、B的坐標分別為(1, 0) 、(0, 2)因為拋物線與x軸交于A(1, 0)、B(2, 0)，設(shè)解析式為ya(x1)

5、(x2)，代入B(0, 2)，得a1所以該拋物線的解析式為y(x1)(x2) x2x2（2）SABO1如果S四邊形PBAB4 SABO4，那么S四邊形PBOB3 SABO3如圖2，作PDOB，垂足為D設(shè)點P的坐標為 (x，x2x2)所以解方程x22x23，得x1x21所以點P的坐標為(1，2)圖2 圖3 圖4（3）如圖3，四邊形PBAB是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對角線相等；等腰梯形同以底上的兩個內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過兩底中點的直線考點伸展第（2）題求四邊形PBOB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單所以甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對稱性直接得到

6、點P：作AOB關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的BOE，那么點E的坐標為(1，2)而矩形EBOD與AOB、BOP是等底等高的，所以四邊形EBAB的面積是ABO面積的4倍因此點E就是要探求的點P例 3、如圖1，在平面直角坐標系中，直線與拋物線yax2bx3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PDAB于點D（1）求a、b及sinACP的值；（2）設(shè)點P的橫坐標為m用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；連結(jié)PB，線段PC把PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積

7、比為910？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（1）題由于CP/y軸，把ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角2第（2）題中，PDPCsinACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊3PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比4兩個三角形的面積比為910，要分兩種情況討論滿分解答（1）設(shè)直線與y軸交于點E，那么A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在RtAEO中，OA2，OE1，所以所以因為PC/EO，所以ACPAEO因此將A(2,0)、B(4,3)分別代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以PD的最大值為（3）當SPCDSPCB910時，；當SPCDSP

8、CB109時，圖2考點伸展第（3）題的思路是：PCD與PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應(yīng)高DN與BM的比而，BM4m當SPCDSPCB910時，解得當SPCDSPCB109時，解得例 4、如圖1，直線l經(jīng)過點A(1，0)，且與雙曲線(x0)交于點B(2，1)過點(p1)作x軸的平行線分別交曲線(x0)和(x0)于M、N兩點（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點P在直線y2上，求證：PMBPNA；（3）是否存在實數(shù)p，使得SAMN4SAMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由圖1思路點撥1第（2）題準確畫圖，點的位置關(guān)系盡在圖形中2第（3）題把SAMN4SA

9、MP轉(zhuǎn)化為MN4MP，按照點M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論滿分解答（1）因為點B(2，1)在雙曲線上，所以m2設(shè)直線l的解析式為，代入點A(1，0)和點B(2，1)，得 解得 所以直線l的解析式為（2）由點(p1)的坐標可知，點P在直線上x軸的上方如圖2，當y2時，點P的坐標為(3，2)此時點M的坐標為(1，2)，點N的坐標為(1，2)由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點的位置關(guān)系，可知PMB為等腰直角三角形由P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三點的位置關(guān)系，可知PNA為等腰直角三角形所以PMBPNA圖2 圖3 圖4（3）AMN和AMP是兩個同高的三角形，底邊MN和MP在

10、同一條直線上當SAMN4SAMP時，MN4MP如圖3，當M在NP上時，xMxN4(xPxM)因此解得或（此時點P在x軸下方，舍去）此時如圖4，當M在NP的延長線上時，xMxN4(xMxP)因此解得或（此時點P在x軸下方，舍去）此時考點伸展在本題情景下，AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，AMN90°，此時點M的坐標為（1，2），點P的坐標為（3，2）情形二，如圖6，MAN90°，此時斜邊MN上的中線等于斜邊的一半不存在ANM90°的情況圖5 圖6例5、如圖1，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(3,0)，(0,1)點D是線段BC上的動點（與端點B、C

11、不重合），過點D作直線交折線OAB于點E（1）記ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請說明理由圖1思路點撥1數(shù)形結(jié)合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長2求ODE的面積，要分兩種情況當E在OA上時，OE邊對應(yīng)的高等于OC；當E在AB邊上時，要利用割補法求ODE的面積3第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形4圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運動中，計算菱形的邊長一般用勾股定理滿分解答(1)如圖2，當E在

12、OA上時，由可知，點E的坐標為(2b,0)，OE2b此時SSODE如圖3，當E在AB上時，把y1代入可知，點D的坐標為(2b2,1)，CD2b2，BD52b把x3代入可知，點E的坐標為，AE，BE此時SS矩形OABCSOAE SBDE SOCD (2)如圖4，因為四邊形O1A1B1C1與矩形OABC關(guān)于直線DE對稱，因此DMDN，那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形作DHOA，垂足為H由于CD2b2，OE2b，所以EH2設(shè)菱形DMEN的邊長為m在RtDEH中，DH1，NH2m，DNm，所以12(2m)2m2解得所以重疊部分菱形DMEN的面積為 圖2 圖3 圖4考點伸展把本

13、題中的矩形OABC繞著它的對稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為，如圖7所示 圖5 圖6 圖7例 6、如圖1，在ABC中，C90°，AC3，BC4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與ABC的直角邊相交于點F，設(shè)AEx，AEF的面積為y（1）求線段AD的長；（2）若EFAB，當點E在斜邊AB上移動時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；當x取何值時，y有最大值？并求出最大值（3）若點F在直角邊AC上（點F與A、C不重合），點E在斜邊AB上移動，試問，是否存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分

14、？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由 圖1 備用圖思路點撥1第（1）題求得的AD的長，就是第（2）題分類討論x的臨界點2第（2）題要按照點F的位置分兩種情況討論3第（3）題的一般策略是：先假定平分周長，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷滿分解答(1) 在RtABC中， AC3，BC4，所以AB5在RtACD中，(2) 如圖2，當F在AC上時，在RtAEF中，所以如圖3，當F在BC上時，在RtBEF中，所以當時，的最大值為；當時，的最大值為因此，當時，y的最大值為 圖2 圖3 圖4(3)ABC的周長等于12，面積等于6先假設(shè)EF平分ABC的周長，那么AEx，AF

15、6x，x的變化范圍為3x5因此解方程，得因為在3x5范圍內(nèi)（如圖4），因此存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分考點伸展如果把第（3）題的條件“點F在直角邊AC上”改為“點F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將ABC的周長和面積同時平分先假設(shè)EF平分ABC的周長，那么AEx，BE5x，BFx1因此解方程整理，得此方程無實數(shù)根例7、如圖1，正方形 ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿ABCD勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸上運動，當P點到D點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（1）當P點在邊AB上運動時

16、，點Q的橫坐標（長度單位）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中當t為何值時，OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標（4）如果點P、Q保持原速度速度不變，當點P沿ABCD勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由 圖1 圖2思路點撥1過點B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會構(gòu)造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子表示這些線段是解題的基礎(chǔ)2求點C的坐標，為求直線BC、CD的解析式作鋪墊，進而為附加題用兩點間的距離公式作準備3不論點P在

17、AB、BC還是CD上，點P所在的直角三角形的三邊比總是345，靈活運用方便解題4根據(jù)二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時，要注意定義域與對稱軸的位置關(guān)系滿分解答（1）(1,0)，點P每秒鐘運動1個單位長度（2）過點B作BEy軸于點E，過點C作x軸的垂線交直線BE于F，交x軸于H在RtABE中，BE8，AE1046，所以AB10由ABEBCF，知BFAE4，CFBE6所以EF8614，CH8412因此點C的坐標為（14，12）（3）過點P作PMy軸于M，PN軸于N因為PM/BE，所以，即因此于是設(shè)OPQ的面積為(平方單位)，那么，定義域為010因為拋物線開口向下，對稱軸為直線，所以當時，OPQ的面積最大此時P的坐標為(，)（4）當或時, OP與PQ相等