第2章水靜力學

1、 水靜力學是液體在靜止或相對靜止狀態(tài)下的力學規(guī)水靜力學是液體在靜止或相對靜止狀態(tài)下的力學規(guī)律及其應(yīng)用的科學。律及其應(yīng)用的科學。 由流動性知，靜止狀態(tài)下，作用在液體上的表面力由流動性知，靜止狀態(tài)下，作用在液體上的表面力只有壓強。只有壓強。2-1 靜止液體中壓強的特性一、靜水壓強靜水壓力p：液體對邊壁的作用力靜水壓強p：單位面積上的靜水壓力)(平均壓強app)(lim0點壓強appa單位：壓力單位：壓力p： (n或可或可kn) 壓強壓強p：n/m2（pa帕斯卡）或帕斯卡）或kn/m2（kpa千帕）千帕）二、二、 靜止液體中壓強的特性靜止液體中壓強的特性特性一：特性一：靜壓強的方向與作用面的內(nèi)法線方

2、向一致，或靜壓靜壓強的方向與作用面的內(nèi)法線方向一致，或靜壓強的方向垂直并指向作用面。強的方向垂直并指向作用面。特性二：特性二：靜止液體中任意點壓強的大小與作用面的方向無關(guān)。靜止液體中任意點壓強的大小與作用面的方向無關(guān)。例例2-1 畫出畫出ab面上和面上和bc面上面上b點壓強的方向。點壓強的方向。b點：點：ab面上一點其方向面上一點其方向p1b點：點：bc面上一點其方向面上一點其方向p2b點：拐點點：拐點說明：水中任意一點說明：水中任意一點b，各方向的壓強，各方向的壓強p1、p2 是相等的，與受壓面的方位無關(guān)。是相等的，與受壓面的方位無關(guān)。 90p290p12.2 液體平衡微分方程液體平衡微分方

3、程2.2.1 液體平衡微分方程液體平衡微分方程x靜止液體內(nèi)取邊長分別為靜止液體內(nèi)取邊長分別為 dx, dy, dz 的微元六面體，的微元六面體，由于六面體為靜止，故作用在六面體上各個方向力滿由于六面體為靜止，故作用在六面體上各個方向力滿yozodxdydzxayzbcddabcpmpn中心點中心點 o(x,y,z) 壓強壓強 p(x,y,z)。足力平衡方程。以足力平衡方程。以 x 方向為例：方向為例：mn表面力：除表面力：除 abcd 與與 abcd 兩面外，其余面上作用的力在兩面外，其余面上作用的力在x軸軸 上投影均為上投影均為0。此兩面中心點壓強可用泰勒。此兩面中心點壓強可用泰勒 (g.t

4、aylor) 級數(shù)展開，取前兩項：級數(shù)展開，取前兩項：兩個面上的總壓力則為：兩個面上的總壓力則為：質(zhì)量力：質(zhì)量力：x 方向單位質(zhì)量力與六面體總質(zhì)量的乘積，即方向單位質(zhì)量力與六面體總質(zhì)量的乘積，即xxpppd21mxxpppd21nzyxxpppddd21mzyxxpppddd21nzyxxfdddbx列列 x 方向力平衡方程得方向力平衡方程得：化簡后得化簡后得: : 上式即液體平衡微分方上式即液體平衡微分方程，由瑞士學者歐拉程，由瑞士學者歐拉（l.euler)l.euler)于于1755導導出，又稱歐拉平衡微出，又稱歐拉平衡微分方程。分方程。0dddddd21ddd21zyxxzyxxppzy

5、xxpp01xpx同理同理: :01ypy01zpz 1707年年4月月15日日出生于瑞士的巴塞爾出生于瑞士的巴塞爾城城 ，1783 年年9月月18日日去逝于俄羅斯的彼得去逝于俄羅斯的彼得堡，享年堡，享年76歲。歲。 13歲時入讀巴塞爾大學，歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢歲大學畢業(yè)，業(yè)，16歲獲碩士學位。歲獲碩士學位。1727年任彼得堡科年任彼得堡科學院數(shù)學教授。學院數(shù)學教授。1741年應(yīng)普魯士彼德烈大年應(yīng)普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數(shù)學所帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數(shù)學所所長。直到所長。直到1766年，在沙皇喀德林二世的年，在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡。誠懇敦聘

6、下重回彼得堡。 他從他從19歲開始發(fā)表論文，直到歲開始發(fā)表論文，直到76歲，歲，共寫下了共寫下了886本書籍和論文，涉及到數(shù)學本書籍和論文，涉及到數(shù)學分析、代數(shù)、數(shù)論、幾何、物理和力學、分析、代數(shù)、數(shù)論、幾何、物理和力學、天文學、彈道學、航海學、建筑學等。他天文學、彈道學、航海學、建筑學等。他的許多著作都是在的許多著作都是在1766年失明后完成的。年失明后完成的。歐歐 拉拉 leonhardleonhard euler euler 用用dx，dy，dz 分別依次乘以歐拉平衡微分方程的各式，分別依次乘以歐拉平衡微分方程的各式，然后相加，得然后相加，得其中的壓強全微分為：其中的壓強全微分為：0dd

7、d1dddzzpyypxxpzzyyxx最后得液體平衡微分方程的綜合式或液體平衡微分方程最后得液體平衡微分方程的綜合式或液體平衡微分方程zzpyypxxppddddzzyyxxpdddd的全微分式的全微分式2.2.2 等壓面等壓面 等壓面等壓面壓強相等的空間點構(gòu)成的面。壓強相等的空間點構(gòu)成的面。 在等壓面上，在等壓面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式，平衡微分方程的全微分式則可表示為：則可表示為：上式稱等壓面方程。上式稱等壓面方程。根據(jù)等壓面方程，單位質(zhì)量力與等壓面上任意線段的點根據(jù)等壓面方程，單位質(zhì)量力與等壓面上任意線段的點0dddzzyyxxlfzzyyxxdddd等壓面

8、方程中，等壓面方程中，x、y、z 為單位質(zhì)量力在三個坐標軸的為單位質(zhì)量力在三個坐標軸的分力，而分力，而 dx、dy、dz 則是等壓面上任意線段在三個坐標軸則是等壓面上任意線段在三個坐標軸的投影，由矢量代數(shù)得：的投影，由矢量代數(shù)得：乘積等于乘積等于0 0，這說明這兩個向量相互垂直，即質(zhì)量力與等壓，這說明這兩個向量相互垂直，即質(zhì)量力與等壓面相互垂直，如重力與水平面。面相互垂直，如重力與水平面。2.3 重力作用下靜止液體中壓強的分布規(guī)律重力作用下靜止液體中壓強的分布規(guī)律2.3.1 水靜力學基本方程水靜力學基本方程 設(shè)重力作用下的靜止液體，置設(shè)重力作用下的靜止液體，置于直角坐標系于直角坐標系oxyz

9、中，液面的位置中，液面的位置高度為高度為 zo，壓強為，壓強為 po。x(y)若質(zhì)量力只有重力，若質(zhì)量力只有重力，x = y = 0，zgzzyyxxpddddd積分上式，得積分上式，得cgzpzozo popzz = g，則液體中任意點壓強的全，則液體中任意點壓強的全微分可為：微分可為：根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù)根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù)： z = zo，p = po，c = po+gzo代入得代入得：上式稱為水靜力學基本方程式，表示了質(zhì)量力只有重力時上式稱為水靜力學基本方程式，表示了質(zhì)量力只有重力時ghpzzgpp000液體靜壓強的分布規(guī)律。液體靜壓強的分布規(guī)律。式中式中：p 靜止液體中某點的

10、壓強（靜止液體中某點的壓強（pa）；）； po液面壓強（液面壓強（ pa）；）；z 某點在水平坐標面上的高度（某點在水平坐標面上的高度（m）；）；h 該點到液面的距離，又稱淹沒深度（該點到液面的距離，又稱淹沒深度（m）。）。2.3.2 式中式中habab為為 a、b 兩點的水深差。兩點的水深差。若在若在 a 點增加一個壓強值點增加一個壓強值pa， a 點的壓強變?yōu)辄c的壓強變?yōu)閍babghpp于是，于是，b點的壓強則應(yīng)為點的壓強則應(yīng)為上式說明，靜止液體中任意點的壓強增值將等值地傳遞到上式說明，靜止液體中任意點的壓強增值將等值地傳遞到aaapppabaaabppghppghpp對于液體中任意對于液

11、體中任意 a、b 兩點兩點，有有各點。各點。3.3.靜止液體的性質(zhì)靜止液體的性質(zhì)（1 1）靜止液體中的壓強與水深成線性關(guān)系，）靜止液體中的壓強與水深成線性關(guān)系，而與流體體積無直接關(guān)系；而與流體體積無直接關(guān)系；（2 2）靜止液體中任意點壓強的變化，將等值）靜止液體中任意點壓強的變化，將等值地傳遞到其它各點；地傳遞到其它各點；（3 3）靜止液體中任意兩點的壓差僅與它們的）靜止液體中任意兩點的壓差僅與它們的垂直距離有關(guān)。垂直距離有關(guān)。 推論：等壓面概念（均質(zhì)、連通、水平面必為等壓面）連通器原理（作用的力僅有重力）連通器原理（作用的力僅有重力）在均質(zhì)，連通的液體中水平面必為等壓面，(在均質(zhì)、連通的液體

12、中等壓面必為水平面，)等壓面具備的三個條件。均質(zhì): 同一液體連通： 同一液體并相連水平面：處于用一水平位置圖2-14abzh12 348576水銀水銀難點：判別等壓面難點：判別等壓面 12 均、連、水 23 均、連、水 38 不、不、水 45 均、連、水 47 不、不、水 67 均、連、水 2.3.3 壓強的度量壓強的度量壓強與相對壓強間有關(guān)系：壓強與相對壓強間有關(guān)系：aabsppp由于計算基準不同，同一點的壓強可用不同的值來描述。由于計算基準不同，同一點的壓強可用不同的值來描述。絕對壓強與相對壓強絕對壓強與相對壓強絕對壓強（絕對壓強（absolute pressure) 以無氣體分子存在的完

13、以無氣體分子存在的完相對壓強（相對壓強（gage pressure)以當?shù)卮髿鈮簽榛鶞势鹚阋援數(shù)卮髿鈮簽榛鶞势鹚闳婵諡榛鶞势鹚愕膲簭娭担梅柸婵諡榛鶞势鹚愕膲簭娭?，用符號pabs表示。表示。的壓強值，用符號的壓強值，用符號 p 表示。若設(shè)當?shù)卮髿鈮簭姙楸硎?。若設(shè)當?shù)卮髿鈮簭姙閜a，則絕對，則絕對普通工程或設(shè)備都處于大氣壓強作用下，采用相對壓強普通工程或設(shè)備都處于大氣壓強作用下，采用相對壓強往往使計算簡化。如開口容器中液面下某點的壓強計算可簡往往使計算簡化。如開口容器中液面下某點的壓強計算可簡化為化為工程中使用的一種測量壓強的儀器工程中使用的一種測量壓強的儀器 壓力表。由于該壓力表。由于該

14、真空壓強真空壓強ghp或或真空壓強又可表示為相對壓強的負值，故又稱負壓。真空壓強又可表示為相對壓強的負值，故又稱負壓。absavppppppp)(aabsv表以大氣壓作為表以大氣壓作為 0 點，故該表所測的壓強值為相對壓強。點，故該表所測的壓強值為相對壓強。因此，相對壓強又稱表壓強。因此，相對壓強又稱表壓強。真空（真空（vaccum) 絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮旱臓顟B(tài)。絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮旱臓顟B(tài)。真空壓強真空壓強 絕對壓強小于大氣壓強的差值，以符號絕對壓強小于大氣壓強的差值，以符號pv表示。根據(jù)定義有表示。根據(jù)定義有：壓強關(guān)系圖壓強關(guān)系圖完全真空完全真空p大氣壓大氣壓狀態(tài)一狀態(tài)一狀態(tài)二狀態(tài)二pa

15、bs1p1pabs2pvpa 當某點的絕對壓強小于當某點的絕對壓強小于大氣壓，即處于真空狀態(tài)時，大氣壓，即處于真空狀態(tài)時，真空值的大小也可用液柱高真空值的大小也可用液柱高度即真空度表示出來，如圖度即真空度表示出來，如圖所示。所示。 pabshvpa由于密閉水箱內(nèi)為真空，由于密閉水箱內(nèi)為真空，或或hv v稱為真空高度，簡稱真空度。稱為真空高度，簡稱真空度。vabsaghppgpgpphvabsav水槽為開口通大氣，于是水水槽為開口通大氣，于是水槽中的水在玻璃管兩端壓強槽中的水在玻璃管兩端壓強差的作用下上升了差的作用下上升了hv v 的高度。的高度。解：解： 根據(jù)根據(jù)p=p絕-pa p真=pa-p

16、絕=-p得得 pa絕=pa+pa=98+24.5=122.5（kn/m2） pb真=-pb=-(-24.5)=24.5（kn/m2） pb絕=pa-pb真=98-24.5=73.5（kn/m2）見圖中見圖中a、b兩點兩點 例例2- 求水庫水深為求水庫水深為2.5m處的相對壓強、絕對壓強處的相對壓強、絕對壓強。解：解： 方程方程p=p0+h 取相對壓強取相對壓強 p0=pa=0 p=0+9.82.5=24.5（kn/m2） 取絕對壓強取絕對壓強 p0絕=pa=98（kn/m2） p=98+9.82.5=122.5（kn/m2）-24.5kn/m2，例例2- a點相對壓強為點相對壓強為24.5kn

17、/m2，b點相對壓強為點相對壓強為求求pa絕絕、pb絕絕和和pb真，并在上圖中標出真，并在上圖中標出a、b兩點。兩點。 2.3.4 測壓管水頭測壓管水頭 以單位體積液體的重量以單位體積液體的重量g 除以水靜力學基本方程不定除以水靜力學基本方程不定積分式各項，得積分式各項，得式中式中 z 某點在基準面以上的高度，稱位置高度或某點在基準面以上的高度，稱位置高度或測壓管的液面到該點的高度，稱測壓管高測壓管的液面到該點的高度，稱測壓管高cgpzgpgpz壓管水頭（壓管水頭（static head）。）。cgpz靜止液體中，各點的測壓管水頭相同。靜止液體中，各點的測壓管水頭相同。度（度（pressure

18、 head）。）。位置水頭（位置水頭（elevation head）。）。測壓管的液面到基準面的總高度，稱測測壓管的液面到基準面的總高度，稱測三、水頭和單位勢能的概念三、水頭和單位勢能的概念前進pzcxzyp0azz位置水頭，位置水頭，ppz壓強水頭壓強水頭，測壓管水頭測壓管水頭，ap靜止液體內(nèi)各點的測壓管水頭等于常數(shù)。靜止液體內(nèi)各點的測壓管水頭等于常數(shù)。單位位能單位位能單位壓能單位壓能單位勢能單位勢能靜止液體內(nèi)各點的單位勢能相等。靜止液體內(nèi)各點的單位勢能相等。2.3.5 壓壓強的計量單位強的計量單位 應(yīng)力單位應(yīng)力單位 國際單位制：國際單位制： 帕（帕（pa），千帕（），千帕（kpa或或103

19、pa），）， 兆帕（兆帕（mpa或或106pa）；）； 大氣壓的倍數(shù)大氣壓的倍數(shù) 標準大氣壓（標準大氣壓（atm）：）：1 atm 相當于相當于 101325 pa； 工程大氣壓（工程大氣壓（at）：）： 1 at 相當于相當于 98000 pa 或或 1 at 相當于相當于 0.1 mpa； 液柱高液柱高 水柱高：水柱高：1 標準大氣壓可維持標準大氣壓可維持10.33 mh2o高，高， 1 工程大氣壓可維持工程大氣壓可維持10 mh2o高；高； 水銀柱：水銀柱：1 標準大氣壓可維持標準大氣壓可維持760 mmhg高，高， 1 工程大氣壓可維持工程大氣壓可維持736 mmhg高。高。 換算關(guān)系

20、換算關(guān)系n/m2=98kpa=10m水柱高水柱高=736mm汞柱高汞柱高/m2=10.33m水柱高水柱高=760mm汞柱高汞柱高盛水容器盛水容器a和和b的測壓管水面位置如圖（的測壓管水面位置如圖（a）、（）、（b）所示，其底部壓強分別為所示，其底部壓強分別為pa和和pb。若兩容器內(nèi)水。若兩容器內(nèi)水深相等，則深相等，則pa和和pb的關(guān)系為（的關(guān)系為（ ） a. papb b. papb c. pa=pb d.無法確定無法確定質(zhì)量力只有重力時，等壓面與水平面間的關(guān)系，正確的說法是（）a 水平面一定是等壓面 b.等壓面一定是水平面 c. 等壓面可能是曲面 d. 無法判斷 如圖所示，兩形狀不同的盛水容

21、器，其底面面積相等，水深相等，試比較兩容器底部所受靜水總壓力p的相對大小為（ ） ap1p2 bp1p2 cp1p2 d無法確定 公式 中，z表示的是 水頭，是 水頭。 1個工程大氣壓等于（） a 101.3kpa b 10mh2o c 1.033 kgf/m2 d rdzcrpzrpz 相對壓強的起量點為（ ） a 絕對壓強 b 標準大氣壓 c 當?shù)卮髿鈮?d 液面壓強 絕對壓強的起量點為（ ） a 絕對真空 b 標準大氣壓 c 當?shù)卮髿鈮?d 液面壓強 絕對壓強pabs與當?shù)卮髿鈮簆a、相對壓強或真空值(pv)之間的關(guān)系為（） a pabs=p+pa b pabs=p-pa c pabs=

22、 pa -p d pabs= pv+ pa 如圖所示封閉水箱，已知液面的絕對壓強pabs=81.5kpa,水箱內(nèi)水深h=2.8m，水箱右側(cè)壁上的金屬壓力計距水箱底h1=0.8m。試求：（1）水箱內(nèi)相對壓強最小值和真空度最大值；（2）金屬壓力計的讀數(shù)。2.3.6 壓強分布圖壓強分布圖 壓強分布圖壓強分布圖 在受壓面承壓一側(cè)，根據(jù)壓強的特性，在受壓面承壓一側(cè)，根據(jù)壓強的特性，按一定比例的矢量線段表示的壓強大小和方向的圖形。按一定比例的矢量線段表示的壓強大小和方向的圖形。 壓強分布圖是液體靜壓強分布規(guī)律的幾何圖示。壓強分布圖是液體靜壓強分布規(guī)律的幾何圖示。 對于開口容器，壓強通常用相對壓強表示。對于

23、開口容器，壓強通常用相對壓強表示。abghabcghbghcabcg(h左左- h右右)圖解法圖解法作用于矩形平面上的靜水總壓力的計算作用于矩形平面上的靜水總壓力的計算靜水壓強分布圖靜水壓強分布圖把某一受壓面上壓強隨水深變化的函數(shù)關(guān)把某一受壓面上壓強隨水深變化的函數(shù)關(guān)系表示成圖形，稱為靜水壓強分布圖。系表示成圖形，稱為靜水壓強分布圖。的繪制規(guī)則：的繪制規(guī)則：1.按一定比例按一定比例,用線段長度代表該點靜水壓強的大小用線段長度代表該點靜水壓強的大小2.用箭頭表示靜水壓強的方向用箭頭表示靜水壓強的方向,并與作用面垂直并與作用面垂直舉例舉例返回abpapa+gh畫出下列畫出下列abab或或abcab

24、c面上的靜水壓強分布圖面上的靜水壓強分布圖0ppgh相對相對壓強分布圖abghbabcabab前進畫出下列容器左側(cè)壁面上的壓強分布圖返回2.4 液柱式測壓計液柱式測壓計2.4.1 連通器內(nèi)的等壓面連通器內(nèi)的等壓面m1n1mndh1h21mmdghpp1mndghpp因為因為nmpp再由再由2mm1ghpp2mnn1ghpp所以所以m11nmpp由以上分析得等壓面的條件：連通的相同液體的水平面。由以上分析得等壓面的條件：連通的相同液體的水平面。在連通器內(nèi)做兩條水平線在連通器內(nèi)做兩條水平線 mn 與與m1n1，最低點為，最低點為 d。由水靜力學基本方程：由水靜力學基本方程：mm得得因為因為2.4.

25、2 液柱式測壓計液柱式測壓計 1. 測壓管（測壓管（piezometer） 測壓管測壓管 指一端接測點，另指一端接測點，另一端開口通大氣的豎直玻璃管。一端開口通大氣的豎直玻璃管。hpghp由于測壓管高度有限，不由于測壓管高度有限，不宜量測壓強較大的點。為避免宜量測壓強較大的點。為避免誤差，玻璃管不宜過細。誤差，玻璃管不宜過細。根據(jù)水靜力學基本方程，根據(jù)水靜力學基本方程，通過量測的測壓管高度，可直通過量測的測壓管高度，可直接求出測點的相對壓強，即接求出測點的相對壓強，即2. u形管測壓計形管測壓計（u-tube manometer） 使用水銀作為測壓介質(zhì)，使用水銀作為測壓介質(zhì)，u形形p0 mh

26、hm m n 由于由于mn 為等壓面，求得水箱液面壓強為等壓面，求得水箱液面壓強ghpp0mmmnghpghghpmm0管測壓計可測量較大的壓強。管測壓計可測量較大的壓強。過過m、n 兩點取水平等壓面兩點取水平等壓面，根據(jù)水靜力學基本方程，得根據(jù)水靜力學基本方程，得3.壓差計（壓差計（differential manometer）壓差計用于測量兩點的壓強差或測壓管水頭差。壓差計用于測量兩點的壓強差或測壓管水頭差。a bxmz hmmn mamhxgppmmbnghxzgpp由于等壓面，由于等壓面， pm= pn，ab點的壓強差點的壓強差zgghppmmba若令若令z = zb za，測壓介質(zhì)分

27、別為水和，測壓介質(zhì)分別為水和mmmbbaa6 .121hhgpzgpz由水靜力學基本方程由水靜力學基本方程水銀，并以水銀，并以g遍除之，得測壓管水頭差遍除之，得測壓管水頭差2.5 液體的相對平衡液體的相對平衡相對平衡指液體相對于地球運動而相對于容器靜止的相對平衡指液體相對于地球運動而相對于容器靜止的 根據(jù)達朗伯（根據(jù)達朗伯（dalembert）原理，在質(zhì)量力中計入慣性）原理，在質(zhì)量力中計入慣性2.5.1 等加速直線運動容器中的液體平衡等加速直線運動容器中的液體平衡盛水容器（小車），靜止盛水容器（小車），靜止hazyo力，液體的運動問題就轉(zhuǎn)化成相對靜止問題。力，液體的運動問題就轉(zhuǎn)化成相對靜止問題

28、。時其內(nèi)水深時其內(nèi)水深h，該容器以加速，該容器以加速度度a做直線運動，液面形成傾做直線運動，液面形成傾斜平面。將坐標取在容器上斜平面。將坐標取在容器上，容器內(nèi)水相對于坐標靜止。容器內(nèi)水相對于坐標靜止。狀態(tài)。狀態(tài)。 1. 壓強壓強分布規(guī)律分布規(guī)律根據(jù)歐拉平衡方程綜合式根據(jù)歐拉平衡方程綜合式 質(zhì)量力除重力外，計入慣性力。慣性力的方向與加速質(zhì)量力除重力外，計入慣性力。慣性力的方向與加速zzyyxxpdddd0xaygz于是上式可簡化成于是上式可簡化成積分后得積分后得zgyapdddczygagp由于液面傾斜前后液體體積不變，故在中間由于液面傾斜前后液體體積不變，故在中間 y = 0 處，處，則則 g

29、hpygazhgpp00z = h，p = p0，于是積分常數(shù)為：，于是積分常數(shù)為：c = p0+ gh度相反，即度相反，即2. 等壓面等壓面令令 p = c，得等壓面方程為，得等壓面方程為可見等壓面是以可見等壓面是以cygazga而質(zhì)量力合力作用線的斜率為而質(zhì)量力合力作用線的斜率為 。gaf兩條直線斜率的乘積等于兩條直線斜率的乘積等于 1 ，說明，說明令令 p = p0，得自由液面方程，得自由液面方程ssygahz為斜率的傾斜平面。為斜率的傾斜平面。這兩條直線相互垂直，即質(zhì)量力與等壓面這兩條直線相互垂直，即質(zhì)量力與等壓面相互垂直。相互垂直。ag3. 測壓管水頭測壓管水頭可見，只有在同一個橫斷

30、面上（可見，只有在同一個橫斷面上（y 為一定值時），各點為一定值時），各點的測壓管水頭才相等。否則，測壓管水頭不再是一個常數(shù)。的測壓管水頭才相等。否則，測壓管水頭不再是一個常數(shù)。ygacgpz2.5.2 等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡一盛有液體深度為一盛有液體深度為 h 的圓柱形容器，繞容器立軸以等的圓柱形容器，繞容器立軸以等角速度角速度旋轉(zhuǎn)。由于液體的黏滯作用，經(jīng)一段時間后，容器旋轉(zhuǎn)。由于液體的黏滯作用，經(jīng)一段時間后，容器內(nèi)的所有液體質(zhì)點以相同的角速度繞該軸旋轉(zhuǎn)。此時內(nèi)的所有液體質(zhì)點以相同的角速度繞該軸旋轉(zhuǎn)。此時，液體液體與容器之間、液體中質(zhì)點之間再無相對運

31、動，在容器中形成與容器之間、液體中質(zhì)點之間再無相對運動，在容器中形成了具有拋物面液面的、相對于容器靜止的液體。了具有拋物面液面的、相對于容器靜止的液體。1. 壓強分布規(guī)律壓強分布規(guī)律根據(jù)歐拉平衡方程綜合式根據(jù)歐拉平衡方程綜合式zzyyxxpddddzyxoyhr質(zhì)量力除重力外，計入慣性力，質(zhì)量力除重力外，計入慣性力，慣性力方向與向心加速度方向相慣性力方向與向心加速度方向相反，為離心方向，即反，為離心方向，即xx2yy2gzzgyyxxpdddd22czgyxgp2222積分得積分得因為因為所以上式又可表示為所以上式又可表示為222ryxczgrgp222根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件 r = 0 ，

32、z = z0 ，p = p0 確定積分常數(shù)，得確定積分常數(shù)，得00gzpc于是于是grzzgpp222002. 等壓面等壓面令令 p = c ，得等壓面方程，得等壓面方程cgrz222令令 p = p0 ，得自由液面方程，得自由液面方程grzz2220s將自由液面方程將自由液面方程0s222zzgr代入壓強分布公式，得代入壓強分布公式，得 ghpzzgpzzzzgpp0s00s00上式表明，鉛垂方向壓強分布規(guī)律與靜止液體相同。上式表明，鉛垂方向壓強分布規(guī)律與靜止液體相同。3. 測壓管水頭測壓管水頭測壓管水頭才為常數(shù)。測壓管水頭才為常數(shù)。grcgpz222上式表明，只有上式表明，只有 r 一定時

33、，即在同一個同心圓柱面上，一定時，即在同一個同心圓柱面上， 流體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運動時，其測壓管水頭z+p/r=( ) a c(x,y) b c(y,z) c c(z) d c(0)2.6 液體作用在平面壁上的總壓力液體作用在平面壁上的總壓力對于氣體，平面總壓力可由壓強與作用面面積的乘積對于氣體，平面總壓力可由壓強與作用面面積的乘積直接求得。直接求得。 對于液體，由于空間各點壓強不等，無法直接求出總對于液體，由于空間各點壓強不等，無法直接求出總壓力的大小，必須考慮靜壓強的分布規(guī)律。壓力的大小，必須考慮靜壓強的分布規(guī)律。 求解方法有解析法和圖算法。求解方法有解析法和圖算法。 2.6.1 解析

34、法解析法 總壓力的大小總壓力的大小 設(shè)開口水池中面積為設(shè)開口水池中面積為 a 的任的任意形狀平面與水面夾角為意形狀平面與水面夾角為。取。取坐標系坐標系 oxy，并將平面，并將平面 oxy 繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 90o。oyx受壓面上，任取一微元面積受壓面上，任取一微元面積 da，水深，水深 h，坐標，坐標 y。agyaghfdsinddp對總面積積分，得對總面積積分，得aappdsindaygff式中式中ayaycad所以得所以得：apaghaygfcccpsin上式表明，任意形狀平面總壓力等于受壓面積與其形心上式表明，任意形狀平面總壓力等于受壓面積與其形心dayhychcpcc壓強的乘積，與

35、受壓面的傾角和形狀無關(guān)。壓強的乘積，與受壓面的傾角和形狀無關(guān)。yo微元面微元面 da上作用的靜水總壓力上作用的靜水總壓力可表示為可表示為總壓力作用點總壓力作用點設(shè)總壓力作用點（壓力中心）設(shè)總壓力作用點（壓力中心）d點到點到ox軸距離為軸距離為 yd，根據(jù)合力矩定理有：根據(jù)合力矩定理有：a2apdpdsindaygfyyf積分積分a2day為受壓面為受壓面 a 對對 ox 軸的慣性矩，令軸的慣性矩，令xa2diay則則xdpsin igyf將將aygfcpsin代入并化簡，得代入并化簡，得ayiycxd由慣性矩平行移軸定理，將由慣性矩平行移軸定理，將ayii2ccx代入上式，得代入上式，得總壓力

36、作用點計算公式：總壓力作用點計算公式：ayiyycccd式中式中 yd 總壓力作用點到總壓力作用點到 ox 軸距離（軸距離（m）；）；yc 作用面形心點到作用面形心點到 ox 軸距離（軸距離（m）；）；a 作用面面積（作用面面積（m2）；）；ic 受壓面對通過自身形心軸的慣性矩：受壓面對通過自身形心軸的慣性矩：矩形矩形3c121bhi 圓圓4c641di 由于由于ayicc0，故故 yd yc 。公式適用條件：只適用于受壓平面一公式適用條件：只適用于受壓平面一側(cè)有同種液體，并且液面相對壓強為側(cè)有同種液體，并且液面相對壓強為零（即自由液面）的情況零（即自由液面）的情況 當是同種液體，液面相對壓強

37、不為零，如用上述公式當是同種液體，液面相對壓強不為零，如用上述公式計算靜水總壓力及其作用點，則應(yīng)以相對壓強為零的計算靜水總壓力及其作用點，則應(yīng)以相對壓強為零的液面（即測壓管液面）為準來進行計算液面（即測壓管液面）為準來進行計算 式中式中hc應(yīng)取受壓平面形心點應(yīng)取受壓平面形心點c在測壓管液面下的淹沒在測壓管液面下的淹沒深度深度 yc和和yd，則應(yīng)取受壓平面的形心點，則應(yīng)取受壓平面的形心點c和靜水總壓力的和靜水總壓力的作用點作用點d沿受壓平面的方向到測壓管液面的距離沿受壓平面的方向到測壓管液面的距離2.6.2 圖算法圖算法 對于底邊平行于液面的矩形平面，還可采用圖算法對于底邊平行于液面的矩形平面，

38、還可采用圖算法求解作用在平面上的靜水總壓力大小與作用點。求解作用在平面上的靜水總壓力大小與作用點。 設(shè)一底邊平行于液面的矩形設(shè)一底邊平行于液面的矩形ab，與水面夾角，與水面夾角，寬，寬度度b，上、下底邊的淹深分別為，上、下底邊的淹深分別為h1、h2。abh1h2根據(jù)解析法根據(jù)解析法bhhhhhgapfsin212121cpbabhhghghp1221sin21式中式中ap為壓強分布圖的面積。為壓強分布圖的面積?？倝毫ψ饔镁€通過壓強分布圖的形心?？倝毫ψ饔镁€通過壓強分布圖的形心。如圖所示，某擋水矩形閘門，門如圖所示，某擋水矩形閘門，門寬寬b=2m，一側(cè)水深，一側(cè)水深h1=4m，另，另一側(cè)水深一側(cè)

39、水深h2=2m，試用圖解法求，試用圖解法求該閘門上所受到的靜水總壓力。該閘門上所受到的靜水總壓力。h1h2解法一：解法一：首先分別求出兩側(cè)的水壓力，然后求合力。首先分別求出兩側(cè)的水壓力，然后求合力。1 1111000 9.8 4 4 2156800156.822pbghhbnkn 左左22111000 9.8 2 2 23920039.222pbgh h bnkn 右右h1/3h2/3156.839.2117.6pppkn左右方向向右方向向右e依力矩定理：依力矩定理：1233hhp epp 左右可解得：可解得：e=1.56m答答:該閘門上所受的靜水總壓力大小為該閘門上所受的靜水總壓力大小為11

40、7.6kn，方向向右，方向向右，作用點距門底作用點距門底1.56m處。處。前進合力對任一軸的力矩等于各分力對合力對任一軸的力矩等于各分力對該軸力矩的代數(shù)和。該軸力矩的代數(shù)和。h1h2解法二：首先將兩側(cè)的壓強解法二：首先將兩側(cè)的壓強分布圖疊加，直接求總壓力分布圖疊加，直接求總壓力2112() ()117.62hhghghpbbkn 方向向右方向向右依力矩定理：依力矩定理：e122122()32hhhp ephp 可解得：可解得：e=1.56m1112121() ()39.22pbr hhhhbkn 22122()78.4pbr hhh bkn 返回答：略答：略返回 一垂直放置的圓形平板閘門如一垂

41、直放置的圓形平板閘門如圖所示，已知閘門半徑圖所示，已知閘門半徑r=1m，形心，形心在水下的淹沒深度在水下的淹沒深度hc=8m，試用解析，試用解析法計算作用于閘門上的靜水總壓力。法計算作用于閘門上的靜水總壓力。hchdfp解：解：2246ccpparhrkn448.03cdccccriyyymyayalo答：該閘門上所受靜水總壓力的大小為答：該閘門上所受靜水總壓力的大小為246kn，方向向右，方向向右，在水面下在水面下8.03m處。處。返回 圖示左邊為水箱，其上壓力表圖示左邊為水箱，其上壓力表讀數(shù)為讀數(shù)為-0.147-0.147* *10105 5papa，右邊為油箱，右邊為油箱，油的油的r=7

42、350n/mr=7350n/m2 2，用寬，用寬1.2m1.2m的閘門隔的閘門隔開，閘門在點鉸接，為使處于開，閘門在點鉸接，為使處于平衡，求必須在點施加多大的水平平衡，求必須在點施加多大的水平力。力。解解:1解析法解析法21.81.8 1.2142882ccppar harn3222211.21.81.8121.21.821.21.82cdcciyymya（）求右側(cè)油箱對板作用力（）求左側(cè)水箱對板作用力1.5phmr 111.8(2.2) 1.8 2656212ccppar harn5.5m1.5m1.8m2.2moab水油3111111.81.21.812(2.2)3.21.82(2.2)

43、1.8 1.22cdcciyymyap1的作用點距點為3.2-2.2=1m設(shè)作用力方向向左，則由于力的作用點不在同一軸線上取對點力矩平衡p1的作用點距點為3.2-2.2=1m1211.21.8ppf f=26931n5.5m1.8mb1.5m2.2moa水油p1p22圖解法圖解法11 (2.24 ) 1.81.8 1.8) 1.2 51332.422pbrrrn 111(2.24 ) 1.8 1.265620.82pbrrn 2211.8 1.8 1.2 14288.42pbrn 10.99dym21.2dym120.991.2dpppy0.93dym1.8dpyfm26460fn5.5m1.

44、5m1.8m2.2moab水油圖示平板圖示平板abab，寬，寬1m1m，傾角，傾角45450 0，左，左側(cè)水深側(cè)水深3m3m，右側(cè)水深，右側(cè)水深2m2m，試求靜水總，試求靜水總壓力及其作用點的位置壓力及其作用點的位置 解：解：先考慮左邊水體：先考慮左邊水體：mayjyyknahappcccdcc828. 21232123)23(11212123(367.622315 . 18 . 9311111垂直于平板）再考慮右邊水體：再考慮右邊水體：mayjyypknahappcccdcc885. 11222122)22(11212122(719.2722118 . 93222212相反）垂直于平板，方向

45、與點）距離利用合力矩定理：相同）方向與故合力：amyypyppypknpdddd(45. 2)2(65.34719.27367.62221112.7 液體作用在曲面壁上的總壓力液體作用在曲面壁上的總壓力工程中存在著大量的曲面壁，如圓管管壁、球形容器工程中存在著大量的曲面壁，如圓管管壁、球形容器等。與平面相比，作用在曲面上的壓強不僅大小隨位置而等。與平面相比，作用在曲面上的壓強不僅大小隨位置而變，方向也因位置的不同而不同。變，方向也因位置的不同而不同。 2.7.1 曲面上的總壓力曲面上的總壓力 設(shè)開口水池中一面積為設(shè)開口水池中一面積為a的柱面的柱面ab ，一側(cè)承壓。選坐，一側(cè)承壓。選坐標系，令標

46、系，令xoy平面與自由液面重合，平面與自由液面重合，z 軸鉛垂向下。軸鉛垂向下。ab曲面上沿母線方向任取水深為曲面上沿母線方向任取水深為 h 的條形微元面的條形微元面 ef，面積為面積為da，其上作用壓力其上作用壓力dfp。由于。由于各微元面上的壓力各微元面上的壓力 dfp 方向不同，不方向不同，不能能直接積分求解直接積分求解 ab 面上的總壓力，面上的總壓力，需首先將其分解為需首先將其分解為 dfpx與與dfpz各自各自積分后再進行合成。積分后再進行合成。efdfphzox分解后分解后efdfpdfpzdfpxxppxdcosdcosddaghaghffzppzdsindsinddaghag

47、hffdadaxdaz總壓力的水平積分總壓力的水平積分xxpxpxddaahgff式中式中，代入上式，得，代入上式，得xcxxdahahaxcxcpxapaghf式中式中 fpx 總壓力的水平分力；總壓力的水平分力；ax 曲面的鉛垂投影面；曲面的鉛垂投影面；hc 投影面形心點深度；投影面形心點深度；pc 投影面形心點壓強。投影面形心點壓強?？倝毫Φ你U垂分力總壓力的鉛垂分力式中式中g(shù)vvgahgffvadddzzpzpzvahzdd為微元曲面到自由液面的柱體體積；為微元曲面到自由液面的柱體體積；而而vvahvaddzz則是整個曲面到自由液面的柱體體積；則是整個曲面到自由液面的柱體體積；稱之為壓立體。稱之為壓立體?？倝毫Φ暮狭倝毫Φ暮狭?pz2pxpfff總壓力的方向總壓力的方向pxpztanff2.7.2 壓立體壓立體壓立體壓立體 受壓曲面與自由液面（或其延伸面）之間的受壓曲面與自由液面（或其延伸面）之間的柱體。由于