第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算

1、第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算平面向量有關(guān)概念的理解給出下列命題：若|a|b|，則ab；若a，b，c，d是不共線的四點，則 是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac； ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.cdba分析在正確理解有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，注意特殊情況是解決問題的關(guān)鍵解不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確 ，又a，b，c，d是不共線的四點，四邊形abcd為平行四邊形；反之，若四邊形abcd為平行四邊形，則cdbacdbacdba/,且，且cdbacdba /因此，.cdba正確a ab b，a a，b b的長度相等且方向相同；又b

2、 bc c，b b，c c的長度相等且方向相同，a a，c c的長度相等且方向相同，故a ac.c.不正確當(dāng)abab且方向相反時，即使|a|a|b|b|，也不能得到a ab b，故|a|a|b|b|且abab不是a ab b的充要條件，而是必要不充分條件不正確若b b0，則a a與c c不平行綜上所述，正確命題的序號是.規(guī)律總結(jié)上述五例都是考查向量的基本概念和簡單性質(zhì)向量的基本概念和性質(zhì)是研究和應(yīng)用向量解決問題的基礎(chǔ)，所以要理解并熟悉它們由于向量的相關(guān)概念和性質(zhì)較多，所以復(fù)習(xí)時，要注意構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想，以便于記憶和理解變式訓(xùn)練1 下列各命題

3、中，正確的有 零向量沒有方向向量就是有向線段單位向量都相等兩相等向量若共起點，則終點也相同若 ，則a、b、c為一個三角形的三個頂點0accbba【解析】不正確，零向量方向任意不正確，有向線段是向量的一種表示形式不正確，單位向量的模為1，方向不定正確不正確，a、b、c三點還可以共線【答案】平面向量的線性運算(精選考題蘇州調(diào)研)已知：任意四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點，求證： cdbafe21分析依據(jù)平面向量的加減法則，可以有多種證法方法一，用兩種途徑表示向量 ，再求和得向量的表達(dá)式方法二，作兩條輔助線，用輔助線確定的向量進(jìn)行代換fe證明方法一：如圖所示，e、f分別是ad、bc的中

4、點，由得，aefbbafebaaeeffbcfbfdeae，又0. 0, 0 同理 fccddefe dcabefdcabcfbfedeadcabef212方法二：如圖所示，連接 ,cebe則 ,cddecebaaebe.212121cdbabaaecddebecefe規(guī)律總結(jié) 在證明向量關(guān)系式時，首先根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則，找到相關(guān)向量的一些關(guān)系式，再以欲證式子為目標(biāo)進(jìn)行代換或變形要注意充分利用所給平面圖形中的幾何性質(zhì)設(shè)置向量，并表述相應(yīng)的運算變式訓(xùn)練2 如圖所示，已知正六邊形abcdef，o是它的中心，若 ，試用a，b將向量 表示出來bcbaab,dfdbfbeo,【解

5、析】因為六邊形abcdef是正六邊形，所以它的中心o及頂點a，b，c四點構(gòu)成 abco，所以 ，所以 ，所以 .由于a，b，o，f四點也構(gòu)成 abof，所以同理，在 bcdo中， = b(ab)a2b，oboaabcbabbaobbaobeobaabaabobfoobfb2obcbdccbdb. ababcbdf平面向量的共線問題 (1)求證：起點相同的三個非零向量a，b,3a2b的終點在同一條直線上(2)設(shè)非零向量a、b不共線，ckab，dakb(kr)，若cd，試求k.分析(1)設(shè)出共同起點和三個向量的終點，證明由兩終點決定的向量共線(2)利用cd和平行向量定理，找到非零向量a、b的線性關(guān)

6、系，由不共線得方程組，求k.(1)證明：設(shè)起點為o，oa，ob，o3a2b，則，公共點a，a，b，c三點共線，即向量a，b,3a2b的終點在同一直線上(2)cd，由向量共線的充要條件得：cd(r)，即kab(akb)，(k)a(1k)b0.又a、b不共線，由平面向量的基本定理得k1.bacabacaabaobobabaaococabacobboaao,2,2,23,則共線且有 規(guī)律總結(jié)(1)利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：證明向量平行；說明兩個向量有公共點(2)由向量平行，求相關(guān)系數(shù)的一般方法是：先由平行向量定理找到兩不共線向量的線性關(guān)系，從而得實數(shù)方程，通過解方程求得未知數(shù) 變式訓(xùn)練

7、3 設(shè)e1，e2是不共線的向量，已知向量 ，若a，b，d三點共線，求k的值2121212,3,2eedceebckeeba【解析】a、b、d三點共線，設(shè) 又 ，2e1ke2(e14e2)，得2，k4，k8.,dbba214eebcdcdb平面向量性質(zhì)的應(yīng)用 (12分)已知點g為abc的重心，過點g作直線與ab、ac兩邊分別交于m、n兩點，且 的值yxcyanabxama11,求分析根據(jù)重心的性質(zhì)，同時用向量 表示 .由 共線，得的線性關(guān)系，從中得到x，y的關(guān)系，最后求 的值caba ,nggm和nggm和caba ,yx11解根據(jù)題意g為三角形的重心， ， ，2分 4分由于m與g共線，根據(jù)共線

8、向量基本定理知，存在實數(shù)，使得 ，,31cabaga,313131cabaxbxacabamagagmbacaycabacyagacyaganang313131nggm即 bacaycabax313131317分即 31313131xy9分 因此 31313131yx，即xy3xy0，11分兩邊同除以xy整理得 . 12 分311yx規(guī)律總結(jié)通過向量的線性關(guān)系，求未知數(shù)的值，首先要充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)，找到向量的線性關(guān)系，這個關(guān)系，往往通過向量共線或平行得到；再利用共線向量定理得未知數(shù)的關(guān)系，從而求值變式訓(xùn)練4 已知a、b是兩個不共線的向量，若它們起點相同，a，b/2，t(ab)三向量的

9、終點在一條直線上，求實數(shù)t的值如圖所示，a，b，t(ab)三向量的終點在一條直線上，存在實數(shù)使 ，得又a、b不共線， 解得t1/3.【解析】babbat2121btat2121002121tt1關(guān)于向量的基本概念和性質(zhì)(1)相等向量與平行向量的區(qū)別：向量平行是向量相等的必要條件(2)向量平行(共線)與直線平行(共線)有區(qū)別：直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線(重合)的情況(3)對于兩個向量平行的充要條件：abab，只有b0才是正確的而當(dāng)b0時，ab是ab的必要不充分條件2向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點

10、與已知向量的始點重合的那條對角線表示的向量，而差向量是另一條對角線表示的向量，方向從減向量指向被減向量(2)三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點(3)當(dāng)兩個向量的起點重合時，用平行四邊形法則；當(dāng)兩個向量首尾相接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： 但這時必須“首尾相連”,rarqqpdccbba3關(guān)于向量的模(1)當(dāng)a，b方向相同時，|ab|a|b|；(2)當(dāng)a，b方向相反時，|ab|a|b|(或|b|a|)；(3)當(dāng)a，b不共線時，|ab|a|b|.下列命題正確的是

11、()a向量a與b共線，向量b與c共線，則向量a與c共線b向量a與b不共線，向量b與c不共線，則向量a與c不共線c向量 是共線向量，則a、b、c、d四點一定共線d向量a與b不共線，則a與b都是非零向量dc與ba錯解一因為向量a與b共線，所以a1b，又因為向量b與c共線，所以b2c，則a12c，向量a與c共線，故選a.錯解二因為向量a與b不共線，向量b與c不共線，根據(jù)傳遞性，向量a與c不共線，故選b.錯解三因為向量a與c是共線向量，所以a、b、c、d四點共線，所以應(yīng)選c.錯解分析錯解一的錯因是對零向量的特殊性認(rèn)識不到位，忽視了零向量與任意向量共線；錯解二的錯因是非零向量共線傳遞的負(fù)遷移；錯解三的錯因是把向量共線等同于點共線，解此類題需緊扣定義、條件進(jìn)行排除，關(guān)鍵是理解和牢固