32多元函數(shù)極值及求法

1、第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、 多元函數(shù)最大值最小值三、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法四、 小結(jié) 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義， 對對于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的 點點),(yx： 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ， 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極大大值值；若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ， 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值； 1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值

2、、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值. . 使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點. . 注意：極值是一個局部概念，極小值注意：極值是一個局部概念，極小值可能大于極大值。可能大于極大值。(1)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù)),( 004322yxz 例例2 2處處無無極極值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(xyz 定定理理 1 1（必必要要條條件件） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點點),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零： 000 ),(yxfx， 000 ),(yxfy.

3、. 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值, , 證證則則一元函數(shù)一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值, , 必必有有000 ),(yxfx; ; 從而從而類類似似地地可可證證 000 ),(yxfy. . 故定理結(jié)論成立。故定理結(jié)論成立。幾何解釋：曲面幾何解釋：曲面 在可導(dǎo)的極在可導(dǎo)的極值點處對應(yīng)的切平面平行于值點處對應(yīng)的切平面平行于),(yxfz xoy平面。平面。例如例如, ,點點),( 00是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點， 但但不不是是極極值值點點. . 定義：使一階偏導(dǎo)數(shù)同時

4、為零的點，稱為定義：使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點函數(shù)的駐點.駐點駐點可導(dǎo)的極值點可導(dǎo)的極值點注意：注意：例例3 求函數(shù)求函數(shù)yxyxyxz 222的極值點。的極值點。解解 求駐點，解方程組求駐點，解方程組 012022xyyzyxxz得得0, 1 yx所以駐點為所以駐點為(1,0).1432)1(22 yyxz,所以所以(1,0)是極小值是極小值.又因為又因為問題：是否有簡單方法判斷一個駐點是問題：是否有簡單方法判斷一個駐點是否為極值點？否為極值點？定定理理 2 2（充充分分條條件件） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及

5、二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且 000 ),(yxfx, , 000 ),(yxfy，記記 ayxfxx ),(00, ,byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00 02 bac),(yxfz ),(00yxp0 a0 a則則(1)當當時時,函數(shù)函數(shù)在在處取極值處取極值;取極小值取極小值,取極大值取極大值.（2） 時函數(shù)在時函數(shù)在 沒有極值；沒有極值；02 bac),(00yxp（3） 時函數(shù)可能有極值時函數(shù)可能有極值,也可能沒也可能沒有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論02 bac例例4 求函數(shù)求函數(shù)xyxyxyxf933),(2233 的極值。（書）的極值。（書）解解063

6、),(, 0963),(22 yyyxfxxyxfyx解方程得：解方程得：2, 0; 1, 3 yyxx得駐點得駐點)2 , 1(),0 , 1(),2 , 3(),0 , 3( 又又66),(, 0, 66),( yyxffxyxfyyxyxx在點在點(-3,0)處處,0722 bac,所以函數(shù)不所以函數(shù)不取極值取極值.在點在點(-3,2)處處,0722 bac且且012 a所以函數(shù)取極大值所以函數(shù)取極大值,31)2 , 3( f在點在點(1,0)處處,0362 bac,函數(shù)取極值函數(shù)取極值.由由06 a知知,函數(shù)取極小值函數(shù)取極小值.5)0 , 1( f類似驗證類似驗證,函數(shù)在點函數(shù)在點(

7、1,2)處不取極值處不取極值.例例 5 5 求由方程求由方程yxzyx22222 014 z確確定的函數(shù)定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值 將將方方程程兩兩邊邊分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由函數(shù)取極值的必要條件知由函數(shù)取極值的必要條件知, , 駐點為駐點為)1, 1( p, , 將將上上述述方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 解解,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 )2(0)2(122 zzbac, 函數(shù)在函數(shù)在p有極值有極值. . 將將),(11 p代入原方程代入原方程, , 72 z 當當

8、721 z時，時，0 a, , 所以所以7211 ),(fz為極小值；為極小值； 當當722 z時，時，0 a, , 所所以以7211 ),(fz為為極極大大值值. . 求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟： 第一步第一步 求求駐點駐點和和不不可導(dǎo)可導(dǎo)點點。 第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx， 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值a a、b b、c c. . 第三步第三步 定出定出2bac 的符號，再判定是的符號，再判定是否否 是極值是極值. . 第四步第四步 對函數(shù)的不可導(dǎo)點對函數(shù)的不可導(dǎo)點,用定義判斷用定義判斷.例如，例如，yxz 在在(0,0

9、)取極小值取極小值,但在但在(0,0)偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在.二、多元函數(shù)的最值二、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法求最值的一般方法：在實際問題中，我們經(jīng)常使用：在實際問題中，我們經(jīng)常使用：dyxf在在),()1(有最值且在區(qū)域內(nèi)部取得；有最值且在區(qū)域內(nèi)部取得；(2),(yxf在在d內(nèi)內(nèi) 只有一個駐點只有一個駐點 ，則函數(shù)，則函數(shù)0p),(yxf在在0p處一定取最值。處一定取最值。（1 1）求函數(shù)在求函數(shù)在d d內(nèi)的所有駐點及不可導(dǎo)點處內(nèi)的所有駐點及不可導(dǎo)點處 的函數(shù)值；的函數(shù)值；（2 2）求函數(shù)在）求函數(shù)在d d的邊界上的最大值和最小值；的邊界上的最大值和最小值；（3 3）相互比較它們的大小

10、，其中最大者即為）相互比較它們的大小，其中最大者即為 最大值，最小者即為最小值最大值，最小者即為最小值. .例例6 （書）（書） 做一個體積為做一個體積為2立方米的有蓋立方米的有蓋長方體水箱，問水箱的長、寬、高各為多長方體水箱，問水箱的長、寬、高各為多少時用料最??？少時用料最??？解解 設(shè)水箱的長、寬分別為設(shè)水箱的長、寬分別為yx,，根據(jù)題意，根據(jù)題意知，知，高高=0, 0,2 yxxy，用料為，用料為s，則，則xyxys442 求駐點：求駐點：042, 04222 yxsxysyx解方程得解方程得332, 2 yx由實際問題知，由實際問題知，s的最小值一定在區(qū)域內(nèi)部的最小值一定在區(qū)域內(nèi)部取得，

11、且在區(qū)域內(nèi)部只有一個駐點，所以取得，且在區(qū)域內(nèi)部只有一個駐點，所以當當3332, 2, 2 高高yx時，時，s最小。最小。 即即水箱的長、寬、高分別為水箱的長、寬、高分別為323232、時時用料最省。用料最省。容易驗證容易驗證s在在332, 2 yx處取極小值處取極小值.無條件極值無條件極值：對自變量只限制在定義域內(nèi)，對自變量只限制在定義域內(nèi)，并無其他條件并無其他條件.上述例題還可以換一種說法：上述例題還可以換一種說法：設(shè)長、寬設(shè)長、寬z，則，則)(2yzxzxys 且且zyx,滿足滿足2 xyz。即求函數(shù)即求函數(shù))(2yzxzxys 在在條件條件2 xyz下的最值問題。下的最值問題。高分別為

12、高分別為, yx三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法（1）條件極值）條件極值定義定義：求函數(shù)：求函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的極值問題，稱為條件極值。下的極值問題，稱為條件極值。設(shè)設(shè)0 y 則則0),( yx 確定函數(shù)確定函數(shù))(xyy 且且yxdxdy 將將)(xyy 代入代入),(yxfz 得單元函數(shù)，得單元函數(shù)，)(,(xyxfz 由一元函數(shù)求極值的方法由一元函數(shù)求極值的方法0 yyxxyxffdxdyffdxdz 令令yyf ，于是有，于是有 00yyxxff 并且并且yx,滿足滿足0),( yx ，即，即 0),(00yxffyyxx 求解方

13、程組得可能的極值點。將上述過程總求解方程組得可能的極值點。將上述過程總結(jié)出來即是我們要討論的結(jié)出來即是我們要討論的拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)：要找函數(shù)),(yxfz 在在附加條件附加條件0),( yx 下的可能極值點，可以下的可能極值點，可以構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxf 其中其中為某一常數(shù)。為某一常數(shù)。（2）拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 求解方程組求解方程組即得可能的極值點的坐標。即得可能的極值點的坐標。（3）條件極值的幾何意義）條件極值的幾何意義就是求曲線就

14、是求曲線 0),(),(yxyxfz 的極值。的極值。xyz0),( yx ),(yxfz 求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 在條件在條件下的極值問題，下的極值問題，0),( yx 例例7(20060105) 設(shè)設(shè) 與與),(yxf),(yx 均是可均是可微函數(shù)微函數(shù),且且. 0),( yxy 已知已知),(00yx是是),(yxf在在約束條件約束條件0),( yx 下的一個極值點下的一個極值點,則下列則下列選項選項 正確的是正確的是( )(a) 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy(b) 若若, 0),(00 yxfx則則, 0),(00 yxfy(c) 若若, 0),(00

15、yxfx則則0),(00 yxfy(d) 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù)構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù):),(),(),(yxyxfyxf 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 因為因為. 0),( yxy 所以所以),(),(0000yxyxfyy 代入第一個方程得代入第一個方程得),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy.故選故選(d)例例8 求曲面求曲面xyz 被平面被平面1 yx所截的所截的曲線最高點坐標。曲線最高點坐標。解解 由題意知

16、，求函數(shù)由題意知，求函數(shù)xyz 在條件在條件1 yx下的極大值點與極大值。下的極大值點與極大值。令令)1( yxxyf 求駐點。解方程組求駐點。解方程組 )3(01)2(0)1(0yxfxfyfyx 又方程又方程(1),(2)得得,yx 代入代入(3)得得21 yx21, .這是唯一可能的極值點這是唯一可能的極值點,而我們要求最值一而我們要求最值一定存在定存在,且在內(nèi)部取得且在內(nèi)部取得,所以極大值點為所以極大值點為.41 z極大值為極大值為)21,21(所以最高點坐標為所以最高點坐標為).41,21,21(例例 9 9 將將正正數(shù)數(shù) 1 12 2 分分成成三三個個正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使

17、得得zyxu23 為為最最大大. . 解解令令)(),(1223 zyxzyxzyxf, , )4(12)3(0)2(02)1(0323322zyxyxfyzxfzyxfzyx , ,得得唯唯一一駐駐點點),(246， .max691224623 u則則故最大值為故最大值為 由方程由方程(1),(2),(3)得得zyzx2,3 代入代入(4)得得2 z4, 6 yx例例 1 10 0 在在 第第 一一 卦卦 限限 內(nèi)內(nèi) 作作 橢橢 球球 面面 1222222 czbyax的的 切切 平平 面面 ， 使使 切切 平平 面面 與與 三三 個個 坐坐標標 面面 所所 圍圍 成成 的的 四四 面面 體

18、體 體體 積積 最最 小小 ， 求求 切切 點點 坐坐標標 . . 解解設(shè)設(shè)),(000zyxp為為橢橢球球面面上上一一點點, , 令令 1222222 czbyaxzyxf),(, , 則則 202axfpx |，202byfpy |，202czfpz | 過過),(000zyxp的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0020 )(zzcz, 化化 簡簡 為為 1202020 czzbyyaxx, 該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz , 所所 圍圍 四四 面面 體體 的的 體體 積積 0002226

19、61zyxcbaxyzv , , 在在 條條 件件1220220220 czbyax下下 求求 v v 的的 最最 小小 值值 , , )1(6),(220220220000222000 czbyaxzyxcbazyxf 構(gòu)造構(gòu)造求駐點求駐點:)1(0262000202220 axzyxcbafx )2(0262002002220 byzyxcbafy )3(0262020002220 czzyxcbafz )4(01220220220 czbyaxf 由方程由方程(1),(2),(3)容易推得容易推得:222000222xyzabc代入代入(4)得得30ax , 30by ， 30cz 當當

20、 切切 點點 坐坐 標標 為為 ( (3a，3b，3c) )時時 , , 四四 面面 體體 的的 體體 積積 最最 小小abcv23 min. . 注：目標函數(shù)可設(shè)為注：目標函數(shù)可設(shè)為000 x y z例例 11 拋物面拋物面22yxz 被平面被平面1 zyx截截成一橢圓成一橢圓,求原點到這橢圓的最長、最短求原點到這橢圓的最長、最短距離。距離。解解 設(shè)原點到橢圓設(shè)原點到橢圓 122zyxyxz的距離為的距離為d，則，則2222zyxd ，點，點),(zyx在橢圓上。在橢圓上。由題意知由題意知,求出求出2d在條件在條件 122zyxyxz下的最值下的最值.令令)1()(22222 zyxyxzz

21、yxf 求駐點求駐點:)1(022 xxfx)2(022 yyfy)3(02 zfz)4(022 yxzf )5(01 zyxf 由方程由方程(1)(2)(4)得得:, yx 22xz .代入代入(5)得得01222 xx解方程得解方程得,231yx 3592 d從而從而由實際問題知由實際問題知,最大值、最小值一定存在，最大值、最小值一定存在，故最大距離為故最大距離為3591 d最短距離為最短距離為3592 d。32 z例例12 求內(nèi)接半徑為求內(nèi)接半徑為a的球且有最大體積的球且有最大體積的長方體。的長方體。解解 由球的對稱性，不妨設(shè)由球的對稱性，不妨設(shè)),(zyx是該球面是該球面在第一卦限的任

22、意一點，則約束條件為在第一卦限的任意一點，則約束條件為2222azyx 。內(nèi)接長方體三相鄰邊長為。內(nèi)接長方體三相鄰邊長為,2x)0, 0, 0(2 ,2 zyxzy,長方體的體積為長方體的體積為xyzv8 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):)(82222azyxxyzf 則問題就是求則問題就是求xyzv8 在條件在條件2222azyx 下下的最值的最值.求駐點求駐點:)1(028 xyzfx )3(028 zyxfz )2(028 yxzfy )4(02222 azyxf 由方程由方程(1),(2),(3)得得:zyx ,代入方程代入方程(4)得得3azyx 于是得唯一駐點于是得唯一駐點),3

23、,3,3(aaa由實際問題由實際問題知知,內(nèi)接于球的最大長方體存在內(nèi)接于球的最大長方體存在,所以當長所以當長方體為邊長均為方體為邊長均為32a的正方體時的正方體時,體積最大體積最大.例例13 求平面求平面0 zyx 與柱面與柱面12222 byax相交所成橢圓的面積相交所成橢圓的面積.解解 因為因為0 zyx 過原點過原點,所以橢圓的中所以橢圓的中心在原點心在原點.只需求出橢圓的長、短半軸，即只需求出橢圓的長、短半軸，即求原點到曲線求原點到曲線 012222zyxbyax 取取)(2)1(2222222zyxbyaxzyxf 上任意一點上任意一點 距離的最大、最小值。距離的最大、最小值。 ),

24、(zyx令令2222zyxd d表示距離，則表示距離，則)0, 0( ba求駐點：求駐點：)1(02222 axxfx利用利用(4)式式,將方程將方程(1)、(2)、(3)分別乘以分別乘以 相加相加,在利用方程在利用方程(1)、(2)式消去式消去 得：得： 、 、yx0)()(222222222222222 babaab(6)方程方程(1)、(2)、(3)分別乘以分別乘以zyx、相加得：相加得：222zyx （7）)2(02222 byyfy)3(022 zfz)4(12222 byaxf )5(0 zyxf (7)式表明式表明2d的極值等于的極值等于 ,滿足方程滿足方程(6),設(shè)方程設(shè)方程(6)的兩個根為的兩個根為2121, 、則則、應(yīng)為應(yīng)為所求橢圓的兩個半軸的平方所求橢圓的兩個半軸的平方,根據(jù)根與系根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得所求面積為數(shù)的關(guān)系得所求面積為22221 abs多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四