32多元函數(shù)極值及求法

1、第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值二、 多元函數(shù)最大值最小值三、 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法四、 小結(jié) 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義， 對(duì)對(duì)于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的 點(diǎn)點(diǎn)),(yx： 若若 滿滿 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ， 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極大大值值；若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ， 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值； 1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值

2、、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值. . 使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為極極值值點(diǎn)點(diǎn). . 注意：極值是一個(gè)局部概念，極小值注意：極值是一個(gè)局部概念，極小值可能大于極大值?？赡艽笥跇O大值。(1)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù)),( 004322yxz 例例2 2處處無無極極值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(xyz 定定理理 1 1（必必要要條條件件） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零： 000 ),(yxfx， 000 ),(yxfy.

3、. 2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值, , 證證則則一元函數(shù)一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值, , 必必有有000 ),(yxfx; ; 從而從而類類似似地地可可證證 000 ),(yxfy. . 故定理結(jié)論成立。故定理結(jié)論成立。幾何解釋：曲面幾何解釋：曲面 在可導(dǎo)的極在可導(dǎo)的極值點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的切平面平行于值點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的切平面平行于),(yxfz xoy平面。平面。例如例如, ,點(diǎn)點(diǎn)),( 00是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)， 但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). . 定義：使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)

4、為零的點(diǎn)，稱為定義：使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)可導(dǎo)的極值點(diǎn)可導(dǎo)的極值點(diǎn)注意：注意：例例3 求函數(shù)求函數(shù)yxyxyxz 222的極值點(diǎn)。的極值點(diǎn)。解解 求駐點(diǎn)，解方程組求駐點(diǎn)，解方程組 012022xyyzyxxz得得0, 1 yx所以駐點(diǎn)為所以駐點(diǎn)為(1,0).1432)1(22 yyxz,所以所以(1,0)是極小值是極小值.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閱栴}：是否有簡(jiǎn)單方法判斷一個(gè)駐點(diǎn)是問題：是否有簡(jiǎn)單方法判斷一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？否為極值點(diǎn)？定定理理 2 2（充充分分條條件件） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及

5、二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且 000 ),(yxfx, , 000 ),(yxfy，記記 ayxfxx ),(00, ,byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00 02 bac),(yxfz ),(00yxp0 a0 a則則(1)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)在在處取極值處取極值;取極小值取極小值,取極大值取極大值.（2） 時(shí)函數(shù)在時(shí)函數(shù)在 沒有極值；沒有極值；02 bac),(00yxp（3） 時(shí)函數(shù)可能有極值時(shí)函數(shù)可能有極值,也可能沒也可能沒有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論02 bac例例4 求函數(shù)求函數(shù)xyxyxyxf933),(2233 的極值。（書）的極值。（書）解解063

6、),(, 0963),(22 yyyxfxxyxfyx解方程得：解方程得：2, 0; 1, 3 yyxx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2 , 1(),0 , 1(),2 , 3(),0 , 3( 又又66),(, 0, 66),( yyxffxyxfyyxyxx在點(diǎn)在點(diǎn)(-3,0)處處,0722 bac,所以函數(shù)不所以函數(shù)不取極值取極值.在點(diǎn)在點(diǎn)(-3,2)處處,0722 bac且且012 a所以函數(shù)取極大值所以函數(shù)取極大值,31)2 , 3( f在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)處處,0362 bac,函數(shù)取極值函數(shù)取極值.由由06 a知知,函數(shù)取極小值函數(shù)取極小值.5)0 , 1( f類似驗(yàn)證類似驗(yàn)證,函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)(

7、1,2)處不取極值處不取極值.例例 5 5 求由方程求由方程yxzyx22222 014 z確確定的函數(shù)定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值 將將方方程程兩兩邊邊分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由函數(shù)取極值的必要條件知由函數(shù)取極值的必要條件知, , 駐點(diǎn)為駐點(diǎn)為)1, 1( p, , 將將上上述述方方程程組組再再分分別別對(duì)對(duì)yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 解解,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 )2(0)2(122 zzbac, 函數(shù)在函數(shù)在p有極值有極值. . 將將),(11 p代入原方程代入原方程, , 72 z 當(dāng)當(dāng)

8、721 z時(shí)，時(shí)，0 a, , 所以所以7211 ),(fz為極小值；為極小值； 當(dāng)當(dāng)722 z時(shí)，時(shí)，0 a, , 所所以以7211 ),(fz為為極極大大值值. . 求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟： 第一步第一步 求求駐點(diǎn)駐點(diǎn)和和不不可導(dǎo)可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)。 第二步第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)),(00yx， 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值a a、b b、c c. . 第三步第三步 定出定出2bac 的符號(hào)，再判定是的符號(hào)，再判定是否否 是極值是極值. . 第四步第四步 對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),用定義判斷用定義判斷.例如，例如，yxz 在在(0,0

9、)取極小值取極小值,但在但在(0,0)偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)不存在.二、多元函數(shù)的最值二、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法求最值的一般方法：在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常使用：在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常使用：dyxf在在),()1(有最值且在區(qū)域內(nèi)部取得；有最值且在區(qū)域內(nèi)部取得；(2),(yxf在在d內(nèi)內(nèi) 只有一個(gè)駐點(diǎn)只有一個(gè)駐點(diǎn) ，則函數(shù)，則函數(shù)0p),(yxf在在0p處一定取最值。處一定取最值。（1 1）求函數(shù)在求函數(shù)在d d內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處 的函數(shù)值；的函數(shù)值；（2 2）求函數(shù)在）求函數(shù)在d d的邊界上的最大值和最小值；的邊界上的最大值和最小值；（3 3）相互比較它們的大小

10、，其中最大者即為）相互比較它們的大小，其中最大者即為 最大值，最小者即為最小值最大值，最小者即為最小值. .例例6 （書）（書） 做一個(gè)體積為做一個(gè)體積為2立方米的有蓋立方米的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多長(zhǎng)方體水箱，問水箱的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)用料最??？少時(shí)用料最??？解解 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬分別為設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬分別為yx,，根據(jù)題意，根據(jù)題意知，知，高高=0, 0,2 yxxy，用料為，用料為s，則，則xyxys442 求駐點(diǎn)：求駐點(diǎn)：042, 04222 yxsxysyx解方程得解方程得332, 2 yx由實(shí)際問題知，由實(shí)際問題知，s的最小值一定在區(qū)域內(nèi)部的最小值一定在區(qū)域內(nèi)部取得，

11、且在區(qū)域內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，所以取得，且在區(qū)域內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)，所以當(dāng)當(dāng)3332, 2, 2 高高yx時(shí)，時(shí)，s最小。最小。 即即水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為323232、時(shí)時(shí)用料最省。用料最省。容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證s在在332, 2 yx處取極小值處取極小值.無條件極值無條件極值：對(duì)自變量只限制在定義域內(nèi)，對(duì)自變量只限制在定義域內(nèi)，并無其他條件并無其他條件.上述例題還可以換一種說法：上述例題還可以換一種說法：設(shè)長(zhǎng)、寬設(shè)長(zhǎng)、寬z，則，則)(2yzxzxys 且且zyx,滿足滿足2 xyz。即求函數(shù)即求函數(shù))(2yzxzxys 在在條件條件2 xyz下的最值問題。下的最值問題。高分別為

12、高分別為, yx三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法（1）條件極值）條件極值定義定義：求函數(shù)：求函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的極值問題，稱為條件極值。下的極值問題，稱為條件極值。設(shè)設(shè)0 y 則則0),( yx 確定函數(shù)確定函數(shù))(xyy 且且yxdxdy 將將)(xyy 代入代入),(yxfz 得單元函數(shù)，得單元函數(shù)，)(,(xyxfz 由一元函數(shù)求極值的方法由一元函數(shù)求極值的方法0 yyxxyxffdxdyffdxdz 令令yyf ，于是有，于是有 00yyxxff 并且并且yx,滿足滿足0),( yx ，即，即 0),(00yxffyyxx 求解方

13、程組得可能的極值點(diǎn)。將上述過程總求解方程組得可能的極值點(diǎn)。將上述過程總結(jié)出來即是我們要討論的結(jié)出來即是我們要討論的拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)：要找函數(shù)),(yxfz 在在附加條件附加條件0),( yx 下的可能極值點(diǎn)，可以下的可能極值點(diǎn)，可以構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxf 其中其中為某一常數(shù)。為某一常數(shù)。（2）拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 求解方程組求解方程組即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)。即得可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）條件極值的幾何意義）條件極值的幾何意義就是求曲線就

14、是求曲線 0),(),(yxyxfz 的極值。的極值。xyz0),( yx ),(yxfz 求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 在條件在條件下的極值問題，下的極值問題，0),( yx 例例7(20060105) 設(shè)設(shè) 與與),(yxf),(yx 均是可均是可微函數(shù)微函數(shù),且且. 0),( yxy 已知已知),(00yx是是),(yxf在在約束條件約束條件0),( yx 下的一個(gè)極值點(diǎn)下的一個(gè)極值點(diǎn),則下列則下列選項(xiàng)選項(xiàng) 正確的是正確的是( )(a) 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy(b) 若若, 0),(00 yxfx則則, 0),(00 yxfy(c) 若若, 0),(00

15、yxfx則則0),(00 yxfy(d) 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù)構(gòu)造拉格朗日乘子函數(shù):),(),(),(yxyxfyxf 0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 因?yàn)橐驗(yàn)? 0),( yxy 所以所以),(),(0000yxyxfyy 代入第一個(gè)方程得代入第一個(gè)方程得),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx 若若, 0),(00 yxfx則則0),(00 yxfy.故選故選(d)例例8 求曲面求曲面xyz 被平面被平面1 yx所截的所截的曲線最高點(diǎn)坐標(biāo)。曲線最高點(diǎn)坐標(biāo)。解解 由題意知

16、，求函數(shù)由題意知，求函數(shù)xyz 在條件在條件1 yx下的極大值點(diǎn)與極大值。下的極大值點(diǎn)與極大值。令令)1( yxxyf 求駐點(diǎn)。解方程組求駐點(diǎn)。解方程組 )3(01)2(0)1(0yxfxfyfyx 又方程又方程(1),(2)得得,yx 代入代入(3)得得21 yx21, .這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn),而我們要求最值一而我們要求最值一定存在定存在,且在內(nèi)部取得且在內(nèi)部取得,所以極大值點(diǎn)為所以極大值點(diǎn)為.41 z極大值為極大值為)21,21(所以最高點(diǎn)坐標(biāo)為所以最高點(diǎn)坐標(biāo)為).41,21,21(例例 9 9 將將正正數(shù)數(shù) 1 12 2 分分成成三三個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使

17、得得zyxu23 為為最最大大. . 解解令令)(),(1223 zyxzyxzyxf, , )4(12)3(0)2(02)1(0323322zyxyxfyzxfzyxfzyx , ,得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(246， .max691224623 u則則故最大值為故最大值為 由方程由方程(1),(2),(3)得得zyzx2,3 代入代入(4)得得2 z4, 6 yx例例 1 10 0 在在 第第 一一 卦卦 限限 內(nèi)內(nèi) 作作 橢橢 球球 面面 1222222 czbyax的的 切切 平平 面面 ， 使使 切切 平平 面面 與與 三三 個(gè)個(gè) 坐坐標(biāo)標(biāo) 面面 所所 圍圍 成成 的的 四四 面面 體

18、體 體體 積積 最最 小小 ， 求求 切切 點(diǎn)點(diǎn) 坐坐標(biāo)標(biāo) . . 解解設(shè)設(shè)),(000zyxp為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn), , 令令 1222222 czbyaxzyxf),(, , 則則 202axfpx |，202byfpy |，202czfpz | 過過),(000zyxp的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0020 )(zzcz, 化化 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 為為 1202020 czzbyyaxx, 該該切切平平面面在在三三個(gè)個(gè)軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz , 所所 圍圍 四四 面面 體體 的的 體體 積積 0002226

19、61zyxcbaxyzv , , 在在 條條 件件1220220220 czbyax下下 求求 v v 的的 最最 小小 值值 , , )1(6),(220220220000222000 czbyaxzyxcbazyxf 構(gòu)造構(gòu)造求駐點(diǎn)求駐點(diǎn):)1(0262000202220 axzyxcbafx )2(0262002002220 byzyxcbafy )3(0262020002220 czzyxcbafz )4(01220220220 czbyaxf 由方程由方程(1),(2),(3)容易推得容易推得:222000222xyzabc代入代入(4)得得30ax , 30by ， 30cz 當(dāng)當(dāng)

20、 切切 點(diǎn)點(diǎn) 坐坐 標(biāo)標(biāo) 為為 ( (3a，3b，3c) )時(shí)時(shí) , , 四四 面面 體體 的的 體體 積積 最最 小小abcv23 min. . 注：目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為注：目標(biāo)函數(shù)可設(shè)為000 x y z例例 11 拋物面拋物面22yxz 被平面被平面1 zyx截截成一橢圓成一橢圓,求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)、最短求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)、最短距離。距離。解解 設(shè)原點(diǎn)到橢圓設(shè)原點(diǎn)到橢圓 122zyxyxz的距離為的距離為d，則，則2222zyxd ，點(diǎn)，點(diǎn)),(zyx在橢圓上。在橢圓上。由題意知由題意知,求出求出2d在條件在條件 122zyxyxz下的最值下的最值.令令)1()(22222 zyxyxzz

21、yxf 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn):)1(022 xxfx)2(022 yyfy)3(02 zfz)4(022 yxzf )5(01 zyxf 由方程由方程(1)(2)(4)得得:, yx 22xz .代入代入(5)得得01222 xx解方程得解方程得,231yx 3592 d從而從而由實(shí)際問題知由實(shí)際問題知,最大值、最小值一定存在，最大值、最小值一定存在，故最大距離為故最大距離為3591 d最短距離為最短距離為3592 d。32 z例例12 求內(nèi)接半徑為求內(nèi)接半徑為a的球且有最大體積的球且有最大體積的長(zhǎng)方體。的長(zhǎng)方體。解解 由球的對(duì)稱性，不妨設(shè)由球的對(duì)稱性，不妨設(shè)),(zyx是該球面是該球面在第一卦限的任

22、意一點(diǎn)，則約束條件為在第一卦限的任意一點(diǎn)，則約束條件為2222azyx 。內(nèi)接長(zhǎng)方體三相鄰邊長(zhǎng)為。內(nèi)接長(zhǎng)方體三相鄰邊長(zhǎng)為,2x)0, 0, 0(2 ,2 zyxzy,長(zhǎng)方體的體積為長(zhǎng)方體的體積為xyzv8 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):)(82222azyxxyzf 則問題就是求則問題就是求xyzv8 在條件在條件2222azyx 下下的最值的最值.求駐點(diǎn)求駐點(diǎn):)1(028 xyzfx )3(028 zyxfz )2(028 yxzfy )4(02222 azyxf 由方程由方程(1),(2),(3)得得:zyx ,代入方程代入方程(4)得得3azyx 于是得唯一駐點(diǎn)于是得唯一駐點(diǎn)),3

23、,3,3(aaa由實(shí)際問題由實(shí)際問題知知,內(nèi)接于球的最大長(zhǎng)方體存在內(nèi)接于球的最大長(zhǎng)方體存在,所以當(dāng)長(zhǎng)所以當(dāng)長(zhǎng)方體為邊長(zhǎng)均為方體為邊長(zhǎng)均為32a的正方體時(shí)的正方體時(shí),體積最大體積最大.例例13 求平面求平面0 zyx 與柱面與柱面12222 byax相交所成橢圓的面積相交所成橢圓的面積.解解 因?yàn)橐驗(yàn)? zyx 過原點(diǎn)過原點(diǎn),所以橢圓的中所以橢圓的中心在原點(diǎn)心在原點(diǎn).只需求出橢圓的長(zhǎng)、短半軸，即只需求出橢圓的長(zhǎng)、短半軸，即求原點(diǎn)到曲線求原點(diǎn)到曲線 012222zyxbyax 取取)(2)1(2222222zyxbyaxzyxf 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) 距離的最大、最小值。距離的最大、最小值。 ),

24、(zyx令令2222zyxd d表示距離，則表示距離，則)0, 0( ba求駐點(diǎn)：求駐點(diǎn)：)1(02222 axxfx利用利用(4)式式,將方程將方程(1)、(2)、(3)分別乘以分別乘以 相加相加,在利用方程在利用方程(1)、(2)式消去式消去 得：得： 、 、yx0)()(222222222222222 babaab(6)方程方程(1)、(2)、(3)分別乘以分別乘以zyx、相加得：相加得：222zyx （7）)2(02222 byyfy)3(022 zfz)4(12222 byaxf )5(0 zyxf (7)式表明式表明2d的極值等于的極值等于 ,滿足方程滿足方程(6),設(shè)方程設(shè)方程(6)的兩個(gè)根為的兩個(gè)根為2121, 、則則、應(yīng)為應(yīng)為所求橢圓的兩個(gè)半軸的平方所求橢圓的兩個(gè)半軸的平方,根據(jù)根與系根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得所求面積為數(shù)的關(guān)系得所求面積為22221 abs多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值四