第一節(jié)導數(shù)及其運算

1、返回目錄返回目錄 1.導數(shù)的概念若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在在x0處的增量處的增量y與自變量的增量與自變量的增量x的比的比值值,當當x0時的極限時的極限lim = 存在存在,則稱則稱f(x)在在x0處可導處可導,并稱此極限值為函數(shù)并稱此極限值為函數(shù)f(x)在在x0處的處的導數(shù)導數(shù),記為記為 或或 .x0 x xy y y|x=x0 x x) )f f( (x x- -x x) )f f( (x xl li im m0 00 00 0 x x f(x0) 返回目錄返回目錄 2.導函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導內每一點都可導,就就 說說 f(x)在區(qū)間在區(qū)間

2、(a,b)內可導內可導,其導數(shù)也是開區(qū)間其導數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內的函內的函數(shù)數(shù),又稱作又稱作f(x)的導函數(shù)的導函數(shù),記作記作 或或 .3.函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)函數(shù)函數(shù)f(x)的導函數(shù)的導函數(shù)f(x)在在x=x0處的函數(shù)值處的函數(shù)值 即為即為函數(shù)函數(shù)f(x)在在x0處的導數(shù)處的導數(shù).4.導數(shù)的幾何意義(1)設函數(shù)設函數(shù)f(x)在在x0處可導處可導,則它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所則它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應點表示的曲線在相應點m(x0,y0)處的處的 .(2)設設s=s(t)是位移函數(shù)是位移函數(shù),則則s(t0)表示物體在表示物體在t=t0時刻時刻的的 .f(x) y f(x0

3、) 切線的斜率切線的斜率 瞬時速度瞬時速度 返回目錄返回目錄 (3)設設v=v(t)是速度函數(shù)是速度函數(shù),則則v(t0)表示物體在表示物體在t=t0時刻時刻的的 .5.常用的導數(shù)公式c= (c為常數(shù)為常數(shù));(xm)= (mq);(sinx)= ;(cosx)= ;(ex)= ;(ax)= ;(lnx)= ;(logax)= .6.導數(shù)的運算法則f(x)g(x)=f(x)g(x),cf(x)=cf(x)(c為常數(shù)為常數(shù)),加速度加速度0 mxm-1 cos x -sinx exaxlnax x 1 1logae x x 1 1f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.復合函數(shù)求

4、導的運算法則一般地一般地,設函數(shù)設函數(shù)u=(x)在點在點x處有導數(shù)處有導數(shù)ux=(x),函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在u處有導數(shù)處有導數(shù)yu=f(u),則復合函數(shù)則復合函數(shù)y=f(x)在點在點x處也有導數(shù)處也有導數(shù),且且yx= = .返回目錄返回目錄 0).0).(g(x)(g(x)(x)(x)g g(x)(x)g gf(x)f(x)- -(x)g(x)(x)g(x)f fg(x)g(x)f(x)f(x)2 2x xu uu u y y( (x x) )( (u u) )f f 返回目錄返回目錄 用導數(shù)定義求函數(shù)用導數(shù)定義求函數(shù)y=f(x)= 在在x=1處的導數(shù)處的導數(shù). 【分析分析】利用導數(shù)定義求

5、函數(shù)的導數(shù)應分三利用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)應分三步：求函數(shù)增量步：求函數(shù)增量y;求平均變化率求平均變化率 ;求求極限極限lim .x1x xy y x0 x xy y 返回目錄返回目錄 本題的關鍵是對本題的關鍵是對 的變形的變形.y=f(1+x)-f(1)21)1(1limlim)1(1)1(1100 x x1 1x x1 1x xy yx x1 1x x1 1x xy yx x1 1x x1 1x xx x1 1x x1 11 11 1- -x x1 1 xxx xy y 利用導數(shù)定義求導利用導數(shù)定義求導:（1）y=x2在在x=2處的導數(shù)值處的導數(shù)值;（2） y= 在在x=1處的導數(shù)值處的導數(shù)

6、值.返回目錄返回目錄 x4 4. .x x) )( (4 4l li im mx xx xx x4 4l li im mx x2 2- -x x) )( (2 2l li im mx xl li im m0 02 20 0 x x2 22 20 0 x x0 0 xxy)1(返回目錄返回目錄 . .2 21 1l li im ml li im ml li im my yl li im m0 00 00 0 x x0 0111)11(11)2(xxxxxxxxxx 返回目錄返回目錄 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y= -3x3-7x2+1;(2)y=ln|x|;(3)y= ;(4)y=

7、3xex-2x+e;(5)y= ;(6)y=xcosx-sinx.直接應用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則直接應用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則.1 1x xl ln nx x2 22 2x xx x- -1 1x x31x返回目錄返回目錄 (1) y= (2)當當x0時，時，y=lnx,y= ;當當x0時，時，y=ln(-x),y=( )(-1)= .y= .14x.14x.- -9x9x- -x x3 31 1- -0 0) )7(x7(x- -) )3(x3(x- -) )(x(x) )(1(1) )(7x(7x- -) )(3x(3x- -) )x x1 1( (2 23 34 42 23 33 3

8、1 12 23 33 3x1x1x1x1(3)返回目錄返回目錄 . .) )x xx x- -(1(1x x- -1 1) )x xx x- -(1(12x)2x)1 1- -x(0 x(0- -x xx x- -1 1) )x xx x- -(1(1) )x xx x- -x(1x(1- -) )x xx x- -(1(1x xy y2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2返回目錄返回目錄 (4) y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)+0=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5) y= (6) y=(

9、xcosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. .1)1)x(xx(xlnxlnx2x2x- -1 1x x1)1)(x(x2xlnx2xlnx- -1)1)(x(x1)1)(x(x) )1 1lnx(xlnx(x- -1)1)(x(x) )(lnx(lnx2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2x1熟練運用導數(shù)的運算法則及復合函數(shù)的熟練運用導數(shù)的運算法則及復合函數(shù)的求導法則，并進行簡單的求導數(shù)運算，注意運算中公求導法則，并進行簡單的求導數(shù)運算，注意運算中公式使用的合理性及準確性式使用的合理性及準確性.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 求

10、下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):（1）y=x2sinx;（2）y= （3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+ ).2 2x x1 1; ;s si in nx xx xc co os sx xx x（1）y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.（2）y=返回目錄返回目錄 . .s si in nx x) )( (x xc co os sx x- -x xc co os sx x- -1 1- -x xs si in nx x- -s si in nx xs si in nx x) )( (x xc co os sx x) )c co os sx x) )

11、( (1 1( (x x- -s si in nx x) )s si in nx x) )( (x x- -( (1 1s si in nx x) )( (x x) )s si in nx xc co os sx x) )( (x x( (x x- -s si in nx x) )( (x x) )c co os sx x( (x x2 22 22 2（3）y=-sin(2x2+1)(2x2+1)=-4xsin(2x2+1).（4）y=返回目錄返回目錄 . .x x1 1x xx x1 1x xx x1 1x x1 1) )x x1 1( (x xx x1 1x x1 12 22 22 22

12、22 2)1(求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=sin(2x+ );(2)y=log2(2x2+3x+1). 形如形如f(ax+b)型函數(shù)的導數(shù)型函數(shù)的導數(shù),可用復合函數(shù)的可用復合函數(shù)的求導法則求導法則.返回目錄返回目錄 3 (1)解法一解法一:設設y=sinu,u=2x+ ,則則yx=yuux=cosu2=2cos(2x+ ).解法二解法二:y=cos(2x+ )(2x+ )=2cos(2x+ ).返回目錄返回目錄 3 3 3 3 3 返回目錄返回目錄 (2)解法一解法一:設設y=log2u,u=2x2+3x+1,則則yx=yuux= log2e(4x+3)= (4x+3)= lo

13、g2e.解法二解法二:y=log2(2x2+3x+1)= (2x2+3x+1)= (4x+3)= log2e.u u1 11 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x x3 34 4x x2 21 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x x3 34 4x x2 2求形如求形如f(ax+b)型復合函數(shù)的導數(shù)型復合函數(shù)的導數(shù),一般要利用一般要利用求導法則求導求導法則求導,將問題轉化為基本函數(shù)的導數(shù)解決將問題轉化為基本函數(shù)的導數(shù)解決,具體

14、地具體地: (1)要分清復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復合而成的要分清復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復合而成的,適適當選定中間變量當選定中間變量. (2)分步計算中每一步都要明確是對哪個變量求導分步計算中每一步都要明確是對哪個變量求導,而而其中特別需要注意中間變量的系數(shù)其中特別需要注意中間變量的系數(shù). (3)根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則,求出求出各函數(shù)的導數(shù)各函數(shù)的導數(shù),并把中間變量轉換成自變量的函數(shù)并把中間變量轉換成自變量的函數(shù). (4)對較復雜的函數(shù)對較復雜的函數(shù),要先化簡再求導以簡化運算過程要先化簡再求導以簡化運算過程.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目

15、錄 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y= ;(2)y=sin2(2x+ );(3)y=x .4 43 3x x) )- -( (1 11 13 32 2x x1 1(1)設設u=1-3x,y=u-4.則則yx=yuux=-4u-5(-3)= .(2)設設y=u2,u=sinv,v=2x+ ,則則yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ ).(3)y=(x )=x +x( )= + = .返回目錄返回目錄 5 53 3x x) )- -( (1 11 12 23 3 3 3 3 3 3 3 22 2x x1 12 2x x1 12 2x

16、 x1 12 2x x1 12 22 2x x1 1x x2 22 2x x1 12 2x x1 1返回目錄返回目錄 已知曲線已知曲線y= x3+ .（1）求曲線在）求曲線在x=2處的切線方程；處的切線方程；（2）求曲線過點（）求曲線過點（2，4）的切線方程）的切線方程. (1)可知切點為可知切點為(2,4),則在則在(2,4)處的切線處的切線可求可求. (2)過點過點(2,4)的切線中的切線中,(2,4)可能為切點可能為切點,也可能為也可能為另外一條切線與曲線的交點另外一條切線與曲線的交點.3134 (1)y=x2,在點在點p(2,4)處的切線的斜率處的切線的斜率k=y|x=2=4.曲線在點

17、曲線在點p(2,4)處的切線方程為處的切線方程為y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 (2)設曲線設曲線y= x3+ 與過點與過點p(2,4)的切線相切于點的切線相切于點a(x0, )，則切線的斜率，則切線的斜率 .切線方程為切線方程為y-( )= (x-x0),即即y= x- + .點點p(2,4)在切線上在切線上,4=2 - + ,即即 -3 +4=0, + -4 +4=0, (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得解得x0=-1或或x0=2,故所求的切線方程為故所求的切線方程為4x-y-4=0或或x-y+

18、2=0.31343 34 4x x3 31 13 30 02 20 0 x x20 x0 0 x xx x| |y yk k3 34 4x x3 31 13 30 02 20 0 x x3 32 23 30 0 x x3 34 420 x3 30 0 x x3 32 23 34 43 30 0 x x2 20 0 x x3 30 0 x x2 20 0 x x2 20 0 x x2 20 0 x x返回目錄返回目錄 (1)解決此類問題一定要分清解決此類問題一定要分清“在某點處的在某點處的切線切線”，還是，還是“過某點的切線過某點的切線”的問法的問法. (2)解決解決“過某點的切線過某點的切線”

19、問題，一般是設出切點問題，一般是設出切點坐標為坐標為p(x0,y0)，然后求其切線斜率，然后求其切線斜率k=f(x0)，寫出其切，寫出其切線方程線方程.而而“在某點處的切線在某點處的切線”就是指就是指“某點某點”為切點為切點. (3)曲線與直線相切并不一定只有一個公共點曲線與直線相切并不一定只有一個公共點,當曲當曲線是二次曲線時線是二次曲線時,我們知道直線與曲線相切我們知道直線與曲線相切,有且只有一有且只有一個公共點個公共點,這種觀點對一般曲線不一定正確這種觀點對一般曲線不一定正確.已知曲線已知曲線c：y=x3-3x2+2x，直線，直線l:y=kx,且且l與與c切于切于點點(x0,y0)(x0

20、0),求直線求直線l的方程及切點坐標的方程及切點坐標.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 解解:直線直線l過原點過原點,則則k= (x00).由點由點(x0,y0)在曲線在曲線c上上,得得y0= -3 +2x0, = -3x0+2.y=3x2-6x+2,k=3 -6x0+2.又又k= ,2 -6x0+2= = -3x0+2,整理得整理得2 -3x0=0.x00,x0= ,此時此時y0=- ,k=- ,因此直線因此直線l的方程為的方程為y=- x,切點坐標為切點坐標為( ,- ).0 00 0 x xy y3 30 0 x x2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x2 20 0 x x23 383 341 141 123 383 3返回目錄返回目錄 1.在對導數(shù)的概念進行理解時在對導數(shù)的概念進行理解時,特別要注意特別要注意f(x0)與與(f(x0)是不一樣的是不一樣的,f(x0)代表函數(shù)代表函數(shù)f(x)在在x=x0處的導數(shù)值處的導數(shù)值,不一定為不一