第一節(jié)導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算

1、返回目錄返回目錄 1.導(dǎo)數(shù)的概念若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在在x0處的增量處的增量y與自變量的增量與自變量的增量x的比的比值值,當(dāng)當(dāng)x0時(shí)的極限時(shí)的極限lim = 存在存在,則稱則稱f(x)在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù)并稱此極限值為函數(shù)f(x)在在x0處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),記為記為 或或 .x0 x xy y y|x=x0 x x) )f f( (x x- -x x) )f f( (x xl li im m0 00 00 0 x x f(x0) 返回目錄返回目錄 2.導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就就 說說 f(x)在區(qū)間在區(qū)間

2、(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的函內(nèi)的函數(shù)數(shù),又稱作又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),記作記作 或或 .3.函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)在在x=x0處的函數(shù)值處的函數(shù)值 即為即為函數(shù)函數(shù)f(x)在在x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo),則它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所則它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)m(x0,y0)處的處的 .(2)設(shè)設(shè)s=s(t)是位移函數(shù)是位移函數(shù),則則s(t0)表示物體在表示物體在t=t0時(shí)刻時(shí)刻的的 .f(x) y f(x0

3、) 切線的斜率切線的斜率 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 返回目錄返回目錄 (3)設(shè)設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)是速度函數(shù),則則v(t0)表示物體在表示物體在t=t0時(shí)刻時(shí)刻的的 .5.常用的導(dǎo)數(shù)公式c= (c為常數(shù)為常數(shù));(xm)= (mq);(sinx)= ;(cosx)= ;(ex)= ;(ax)= ;(lnx)= ;(logax)= .6.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則f(x)g(x)=f(x)g(x),cf(x)=cf(x)(c為常數(shù)為常數(shù)),加速度加速度0 mxm-1 cos x -sinx exaxlnax x 1 1logae x x 1 1f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.復(fù)合函數(shù)求

4、導(dǎo)的運(yùn)算法則一般地一般地,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù)ux=(x),函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在u處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù)yu=f(u),則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)處也有導(dǎo)數(shù),且且yx= = .返回目錄返回目錄 0).0).(g(x)(g(x)(x)(x)g g(x)(x)g gf(x)f(x)- -(x)g(x)(x)g(x)f fg(x)g(x)f(x)f(x)2 2x xu uu u y y( (x x) )( (u u) )f f 返回目錄返回目錄 用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=f(x)= 在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 【分析分析】利用導(dǎo)數(shù)定義求

5、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)分三利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)分三步：求函數(shù)增量步：求函數(shù)增量y;求平均變化率求平均變化率 ;求求極限極限lim .x1x xy y x0 x xy y 返回目錄返回目錄 本題的關(guān)鍵是對(duì)本題的關(guān)鍵是對(duì) 的變形的變形.y=f(1+x)-f(1)21)1(1limlim)1(1)1(1100 x x1 1x x1 1x xy yx x1 1x x1 1x xy yx x1 1x x1 1x xx x1 1x x1 11 11 1- -x x1 1 xxx xy y 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo):（1）y=x2在在x=2處的導(dǎo)數(shù)值處的導(dǎo)數(shù)值;（2） y= 在在x=1處的導(dǎo)數(shù)值處的導(dǎo)數(shù)

6、值.返回目錄返回目錄 x4 4. .x x) )( (4 4l li im mx xx xx x4 4l li im mx x2 2- -x x) )( (2 2l li im mx xl li im m0 02 20 0 x x2 22 20 0 x x0 0 xxy)1(返回目錄返回目錄 . .2 21 1l li im ml li im ml li im my yl li im m0 00 00 0 x x0 0111)11(11)2(xxxxxxxxxx 返回目錄返回目錄 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y= -3x3-7x2+1;(2)y=ln|x|;(3)y= ;(4)y=

7、3xex-2x+e;(5)y= ;(6)y=xcosx-sinx.直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.1 1x xl ln nx x2 22 2x xx x- -1 1x x31x返回目錄返回目錄 (1) y= (2)當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，y=lnx,y= ;當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，y=ln(-x),y=( )(-1)= .y= .14x.14x.- -9x9x- -x x3 31 1- -0 0) )7(x7(x- -) )3(x3(x- -) )(x(x) )(1(1) )(7x(7x- -) )(3x(3x- -) )x x1 1( (2 23 34 42 23 33 3

8、1 12 23 33 3x1x1x1x1(3)返回目錄返回目錄 . .) )x xx x- -(1(1x x- -1 1) )x xx x- -(1(12x)2x)1 1- -x(0 x(0- -x xx x- -1 1) )x xx x- -(1(1) )x xx x- -x(1x(1- -) )x xx x- -(1(1x xy y2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2返回目錄返回目錄 (4) y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)+0=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5) y= (6) y=(

9、xcosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. .1)1)x(xx(xlnxlnx2x2x- -1 1x x1)1)(x(x2xlnx2xlnx- -1)1)(x(x1)1)(x(x) )1 1lnx(xlnx(x- -1)1)(x(x) )(lnx(lnx2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2x1熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，注意運(yùn)算中公求導(dǎo)法則，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，注意運(yùn)算中公式使用的合理性及準(zhǔn)確性式使用的合理性及準(zhǔn)確性.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 求

10、下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）y=x2sinx;（2）y= （3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+ ).2 2x x1 1; ;s si in nx xx xc co os sx xx x（1）y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.（2）y=返回目錄返回目錄 . .s si in nx x) )( (x xc co os sx x- -x xc co os sx x- -1 1- -x xs si in nx x- -s si in nx xs si in nx x) )( (x xc co os sx x) )c co os sx x) )

11、( (1 1( (x x- -s si in nx x) )s si in nx x) )( (x x- -( (1 1s si in nx x) )( (x x) )s si in nx xc co os sx x) )( (x x( (x x- -s si in nx x) )( (x x) )c co os sx x( (x x2 22 22 2（3）y=-sin(2x2+1)(2x2+1)=-4xsin(2x2+1).（4）y=返回目錄返回目錄 . .x x1 1x xx x1 1x xx x1 1x x1 1) )x x1 1( (x xx x1 1x x1 12 22 22 22

12、22 2)1(求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=sin(2x+ );(2)y=log2(2x2+3x+1). 形如形如f(ax+b)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可用復(fù)合函數(shù)的可用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則.返回目錄返回目錄 3 (1)解法一解法一:設(shè)設(shè)y=sinu,u=2x+ ,則則yx=yuux=cosu2=2cos(2x+ ).解法二解法二:y=cos(2x+ )(2x+ )=2cos(2x+ ).返回目錄返回目錄 3 3 3 3 3 返回目錄返回目錄 (2)解法一解法一:設(shè)設(shè)y=log2u,u=2x2+3x+1,則則yx=yuux= log2e(4x+3)= (4x+3)= lo

13、g2e.解法二解法二:y=log2(2x2+3x+1)= (2x2+3x+1)= (4x+3)= log2e.u u1 11 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x x3 34 4x x2 21 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x xe el lo og g2 22 21 13 3x x2 2x x3 34 4x x2 2求形如求形如f(ax+b)型復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般要利用一般要利用求導(dǎo)法則求導(dǎo)求導(dǎo)法則求導(dǎo),將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決,具體

14、地具體地: (1)要分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的要分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的,適適當(dāng)選定中間變量當(dāng)選定中間變量. (2)分步計(jì)算中每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)分步計(jì)算中每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),而而其中特別需要注意中間變量的系數(shù)其中特別需要注意中間變量的系數(shù). (3)根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù). (4)對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)對(duì)較復(fù)雜的函數(shù),要先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程要先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目

15、錄 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y= ;(2)y=sin2(2x+ );(3)y=x .4 43 3x x) )- -( (1 11 13 32 2x x1 1(1)設(shè)設(shè)u=1-3x,y=u-4.則則yx=yuux=-4u-5(-3)= .(2)設(shè)設(shè)y=u2,u=sinv,v=2x+ ,則則yx=yuuvvx=2ucosv2=4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ ).(3)y=(x )=x +x( )= + = .返回目錄返回目錄 5 53 3x x) )- -( (1 11 12 23 3 3 3 3 3 3 3 22 2x x1 12 2x x1 12 2x

16、 x1 12 2x x1 12 22 2x x1 1x x2 22 2x x1 12 2x x1 1返回目錄返回目錄 已知曲線已知曲線y= x3+ .（1）求曲線在）求曲線在x=2處的切線方程；處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)（）求曲線過點(diǎn)（2，4）的切線方程）的切線方程. (1)可知切點(diǎn)為可知切點(diǎn)為(2,4),則在則在(2,4)處的切線處的切線可求可求. (2)過點(diǎn)過點(diǎn)(2,4)的切線中的切線中,(2,4)可能為切點(diǎn)可能為切點(diǎn),也可能為也可能為另外一條切線與曲線的交點(diǎn)另外一條切線與曲線的交點(diǎn).3134 (1)y=x2,在點(diǎn)在點(diǎn)p(2,4)處的切線的斜率處的切線的斜率k=y|x=2=4.曲線在點(diǎn)

17、曲線在點(diǎn)p(2,4)處的切線方程為處的切線方程為y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 (2)設(shè)曲線設(shè)曲線y= x3+ 與過點(diǎn)與過點(diǎn)p(2,4)的切線相切于點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)a(x0, )，則切線的斜率，則切線的斜率 .切線方程為切線方程為y-( )= (x-x0),即即y= x- + .點(diǎn)點(diǎn)p(2,4)在切線上在切線上,4=2 - + ,即即 -3 +4=0, + -4 +4=0, (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得解得x0=-1或或x0=2,故所求的切線方程為故所求的切線方程為4x-y-4=0或或x-y+

18、2=0.31343 34 4x x3 31 13 30 02 20 0 x x20 x0 0 x xx x| |y yk k3 34 4x x3 31 13 30 02 20 0 x x3 32 23 30 0 x x3 34 420 x3 30 0 x x3 32 23 34 43 30 0 x x2 20 0 x x3 30 0 x x2 20 0 x x2 20 0 x x2 20 0 x x返回目錄返回目錄 (1)解決此類問題一定要分清解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的在某點(diǎn)處的切線切線”，還是，還是“過某點(diǎn)的切線過某點(diǎn)的切線”的問法的問法. (2)解決解決“過某點(diǎn)的切線過某點(diǎn)的切線”

19、問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為p(x0,y0)，然后求其切線斜率，然后求其切線斜率k=f(x0)，寫出其切，寫出其切線方程線方程.而而“在某點(diǎn)處的切線在某點(diǎn)處的切線”就是指就是指“某點(diǎn)某點(diǎn)”為切點(diǎn)為切點(diǎn). (3)曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)曲當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)線是二次曲線時(shí),我們知道直線與曲線相切我們知道直線與曲線相切,有且只有一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)個(gè)公共點(diǎn),這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確.已知曲線已知曲線c：y=x3-3x2+2x，直線，直線l:y=kx,且且l與與c切于切于點(diǎn)點(diǎn)(x0,y0)(x0

20、0),求直線求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 解解:直線直線l過原點(diǎn)過原點(diǎn),則則k= (x00).由點(diǎn)由點(diǎn)(x0,y0)在曲線在曲線c上上,得得y0= -3 +2x0, = -3x0+2.y=3x2-6x+2,k=3 -6x0+2.又又k= ,2 -6x0+2= = -3x0+2,整理得整理得2 -3x0=0.x00,x0= ,此時(shí)此時(shí)y0=- ,k=- ,因此直線因此直線l的方程為的方程為y=- x,切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為( ,- ).0 00 0 x xy y3 30 0 x x2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x0 00 0 x xy y2 20 0 x x2 20 0 x x23 383 341 141 123 383 3返回目錄返回目錄 1.在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí),特別要注意特別要注意f(x0)與與(f(x0)是不一樣的是不一樣的,f(x0)代表函數(shù)代表函數(shù)f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值處的導(dǎo)數(shù)值,不一定為不一