18極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限

1、1.8 極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限1.8.1 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則(1)( )( )( );g xf xh x定理定理1.8.1(夾逼定理夾逼定理) 若函數(shù)若函數(shù)( ), ( ), ( )f x g x h x滿足：滿足：(2) lim ( )lim ( ).g xh xalim ( ).f xa則則單單增增有有上上界數(shù)列必收斂界數(shù)列必收斂. 單單減減有有下下界數(shù)列必收斂界數(shù)列必收斂. 定理定理1.8.2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.2lim.!nnn例例1 利用夾逼定理求利用夾逼定理求222 .2!1 2 .nnn 221 n解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)? 4

2、lim0,lim00,nnn由由夾夾逼逼定定理理知知：22222111lim0.12nnnnn4n而而2lim0.!nnn練習(xí)：證明練習(xí)：證明2222211112nnnn22nnn21nn例例2 設(shè)設(shè)a0,11,2,3,nnxa xaxn證明證明xn極限存在極限存在,并求極限并求極限.證：證：再證數(shù)列有界再證數(shù)列有界11,xaa用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法:假設(shè)假設(shè)11,kxa則則1kkxax1aa先證該數(shù)列單調(diào)先證該數(shù)列單調(diào) 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法:21,xaaax設(shè)設(shè),1kkxx則則kkxx2112kxkx證得數(shù)列證得數(shù)列nx單調(diào)有界單調(diào)有界,故極限存在故極限存在.設(shè)設(shè)limnnxb由由1n

3、nxax兩邊取極限得：兩邊取極限得：bab解得解得114,2ab01nxanx211aaa 即即xn有界有界.114.2ab（舍舍去去）為什么？為什么？0sin lim1xxx1.8.2 1.8.2 兩個重要極限兩個重要極限1.,b cbocx如如圖圖：在在單單位位圓圓周周上上,oc obacoc bdoc是是半半徑徑 且且,bdbdobxtan0 ,x.20 x可設(shè)可設(shè)xsin21xtan21x21即即,tansin xxx即即證證:, 0 x先設(shè)先設(shè)xsin,acacocaoc的的面面積積boc扇扇形形的的面面積積boc的的面面積積sin cos1, xxx0sin lim1xxxd由夾逼

4、定理得：由夾逼定理得：0sin lim1,( ).uuuxu其中xxxtanlim0例例1 求求0tan limxxx解解: :0sin1limcosxxxx00sin1limlimcosxxxxx= 1例例2 求求0sin3limxxx解：解：3ux令0sin3limuuu= 300sin3sin3lim3lim3xxxxxx練習(xí)：練習(xí)：00sin2sin2(1)lim(2)lim3sin3xxxxxx0sinlim(0)sinxxx一般的，有一般的，有201coslimxxx解解: :20cos1limxxx例例4 求求2202sin2limxxx220sin12lim22xxx20sin

5、12lim22xxx122limsinnnn解解: :2limsin .nnn例例3 求求2sinlim1nnn2sin2lim2nnn= 2.arctan,xu解：令解：令則則002arctan2limlim33tanxxxuxu例例5 求求02arctanlim3xxx2300arcsinarctanlim1;lim1.xxxxxx1lim 1xxex2. 10lim(1)ttte用于解決冪指函數(shù)的極限問題，其特點(diǎn)是：用于解決冪指函數(shù)的極限問題，其特點(diǎn)是：1lim 1nnen(1)無窮大無窮小， 且無窮小 無窮大=1其經(jīng)濟(jì)背景是連續(xù)復(fù)利的計(jì)算問題，見教材其經(jīng)濟(jì)背景是連續(xù)復(fù)利的計(jì)算問題，見教

6、材59-60頁頁.()()1lim1()e例例6 求求xxx31lim333lim 1xxx333lim 1xxx3e 1lim 1xxx例例7 求求()( 1)1 lim 1 ()xxx 11lim 1 ()xxx e1 ()()1lim1()e120lim(1)xxx例例8 求求110lim(1) (1) xxxxxee 111100lim(1)lim(1)xxxxxx2lim1xxxx解解: :2lim1xxxx例例9 求求2(1)lim1(1)xxxxx2lim(1)1lim(1)xxxxxx231.eee1lim1xxxx例例10 求求e11lim.lim11xxxxxxx11lim 1xxx解：原式解：原式=例例11 求求0ln(12 )limsin 3xxx解：解： 0ln(1 2 )limsin3xxx1200limln(12 )2sin33