第一章導(dǎo)數(shù)與微分第四節(jié)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

1、第1頁(yè)求導(dǎo)運(yùn)算 第四節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程函數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程函數(shù)的求導(dǎo)第2頁(yè)函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則( )( ) uu xvxv xx 如果函數(shù)及，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）在都點(diǎn)處也在點(diǎn)處可導(dǎo)可導(dǎo)， 且()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()uvwu vwuv wuvw()cucu你記住了嗎？21( )0vvvv （）特別特別推廣推廣第3頁(yè)2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0

2、 xx 26103xx23( )424fsin2是 常 數(shù)322537yxxxy求例例1 設(shè)設(shè)解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解第4頁(yè) 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx()uvuv uv2( )0uu vuvvvv （）2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222cossincosxxx21cos x2sec x2(tan )secxx 2(cot )cscxx 33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 設(shè)設(shè)解解tanyxy求例例4sin(tan )cosxyxx解解導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)

3、數(shù)公式第5頁(yè)(1)seccscyxyx和求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2(2)lnc os yxxxln (3) xyx(sec )sec tanxxx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx (csc )csc cotxxx第6頁(yè)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則0000000()()0()()1()()yfxxfxfxxxyyfxyfx如 果 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ，且，在 點(diǎn)的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ，且 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 則 其 反 函 數(shù)在 對(duì) 應(yīng) 的點(diǎn) 可 導(dǎo) ， 且 （ 。推廣：推廣：()()0()()xxyyfxifxfxi

4、xyi如 果 函 數(shù)在 區(qū) 間內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且，在 區(qū) 間內(nèi) 嚴(yán) 格 單 調(diào) ， 則 其反 函 數(shù)在 對(duì) 應(yīng) 的 去 間內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且1)( )yfx（第7頁(yè)例例5 設(shè)設(shè) ，求，求 arccosyxdydx解解 由于由于 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 arccosyxcos ,0, xy y所以所以11arccossincosxyy211x （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?）(0, )y同理，可求得同理，可求得21cot1arcxx21arccos1xx 21arctan1xx即即21(arcsin)1xx 第8頁(yè)1logln.lnxxaxxaaaa 由反函數(shù)求導(dǎo)法則和公式推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?

5、的反函數(shù)是的反函數(shù)是xyalogaxy所以所以11lnln1loglnxxaayaaayya特別特別xxee第9頁(yè)基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 第10頁(yè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則( )( )( ) ( ) ug

6、 xxyf uug xdyyf gdydudxdudxxx如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),而在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 dydydudvdxdudvdx推廣推廣 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 對(duì)于復(fù) 合函數(shù)， 設(shè)均可導(dǎo) 則鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌tchain rule證明關(guān)鍵式子證明關(guān)鍵式子yyuxux第11頁(yè)3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33()xex323xx e也可以不寫出中間變量也可以不寫出中間變量lnsin ,dyyxdx求例例6 設(shè)設(shè)3,xdyyedx求例例7 設(shè)設(shè)解解ln sinyx可 分 解 為

7、ln,yusinux解解 因?yàn)橐驗(yàn)閐 yd yd ud xd ud x所以所以3xye可分解為可分解為d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入第12頁(yè)dydydudvdxdudvdx1( sin )xveu 1( sin)cos()xxxeee tan()xxee 也可以不寫出中間變量也可以不寫出中間變量lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 環(huán)環(huán)環(huán)環(huán)相扣相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 設(shè)設(shè)ln,cos ,xyu uv veln cos()xye可 分

8、解 為解解第13頁(yè)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)123(12) yx2231(1 2) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 第14頁(yè)332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解第15頁(yè)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21(

9、1)(arcsin1)2yxxx22(2)sinsinyxx222112(1)212 1xyxxxx 21x22221cos2(2sincos) sinsin22 sinxxyxxxxxx 22221cossin2sinsin2sinxxxxxxx第16頁(yè)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 22( )d yfxdx或，或，( )( )( )( )yf xyfxxyfxyf xy 一般地，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是 的函數(shù)，我們把的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作 ，y而則稱為一階導(dǎo)數(shù)33( )d yyfxyydx，或，或。 相似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)相似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

10、稱為四階導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，（n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)數(shù)，分別記作，分別記作三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)4(4)(4)(4)4,( ) d yyfxyydx或，或。四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù)( )( )( )(1),( ) nnnnnnd yyfxyydx或，或。n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10981090yxyxyyx 設(shè)， 則， 我們還可以對(duì)繼續(xù)求導(dǎo)，（ ） 引例引例第17頁(yè) ( )sin()2nyxn( )(sin )sin()2nxxn( )(cos )cos()2nxxn cosyxsinyx cosyx (4)sinyx規(guī)律：規(guī)律：每四階導(dǎo)數(shù)每四階

11、導(dǎo)數(shù)重復(fù)一次；重復(fù)一次；正弦、余弦正弦、余弦交替出現(xiàn)。交替出現(xiàn)。( )sin ,nyxy求例例11解解sin()2xsin()sin(2)2xx 3sin()sin(3)22xx sin(2 )sin(4)2xx 所以所以即即同理可得同理可得第18頁(yè)常用的高階導(dǎo)函數(shù)常用的高階導(dǎo)函數(shù) (1) nxxee (2) !nnxn (3) lnnnxxaaa 11 !(4) ln(1)11nnnnxx 11!(5) 111nnnnxx 第19頁(yè)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( , )0( )f x yxyyy x 由方程確定的變量與變 量之間的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù)。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx

12、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)。求導(dǎo)。0( )ydyexyeyy xdx求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。例例12將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：解解ydyydxxe (0)yxe所以所以注意：注意：y是是x的函數(shù)，的函數(shù)，則則y的函數(shù)的函數(shù)f(y)視為視為x的復(fù)合函數(shù)。的復(fù)合函數(shù)。()yyddyeedxdx第20頁(yè)57=230( ).xdyyyxxyy xdx 0求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dyxdxy

13、因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) x = 0時(shí)，從原方程可以解得時(shí)，從原方程可以解得 y = 0012xdydx所以所以第21頁(yè)解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy將上式兩邊再對(duì)將上式兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)得：求導(dǎo)得：2222sin(2cos )dyyd ydxdxy34sin(2cos )yy注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)221sin0.2d yxyyydx 求由方程所確定的隱函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)例例13 第22頁(yè)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得lnsinlnyxx將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)（求

14、導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxxxx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx轉(zhuǎn)化為初等轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接函數(shù)，直接求導(dǎo)法求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對(duì)數(shù)求數(shù)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)法sin0,1xyxxxy求的導(dǎo)數(shù)例例14第23頁(yè)一般地，冪指函數(shù)一般地，冪指函數(shù) 的求導(dǎo)，可有兩種方法，的求導(dǎo)，可有兩種方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )( )v xyu x( )( )(

15、 ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè) 33333 ,.xxyxxy求 3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答第24頁(yè)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)（求導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開方運(yùn)算對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函

16、數(shù)和以乘、除、乘方、開方運(yùn)算為主的函數(shù)的求導(dǎo)。為主的函數(shù)的求導(dǎo)。3(1)(2),3xxyyx設(shè)求例例15解解第25頁(yè)tan xyxy ( 1 ) 求的 導(dǎo) 數(shù)tantan ln()()xxxyxesin1xyxxey ( 2 ) 求的 導(dǎo) 數(shù)11lnlnln sinln(1)22xyxxe11 1cos12sin2 1xxxeyyxxe111sin1cot22 1xxxeyxxexxe 解解解解tan2tan(secln)xxxxxx所以所以第26頁(yè)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (以下內(nèi)容不講以下內(nèi)容不講)( )( )xtdyytdx由 參 數(shù) 方 程確 定 的 函

17、 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdxdydydtdxdtdxdydydtdxdxdt()ddydtdxdxdt注意一階導(dǎo)注意一階導(dǎo)數(shù)也是數(shù)也是 t t 的函數(shù)的函數(shù)11( )( )( )( )xttxytx y是是x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)t是中間變量是中間變量第27頁(yè)求由擺線的參數(shù)方程求由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。(sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t22()ddyd ydt ddtxxdxd(cot)2txt21cs

18、c2 2(1 cos )att21(1cos )at 解解例例16是是t的函數(shù)，的函數(shù)，是是x的復(fù)合的復(fù)合函數(shù)函數(shù)第28頁(yè)23331 , xtd ydxytt 設(shè)求解解 21 332221ttydyxtttdxt 221322ttd ytdxx3331344td yttdxx4233442ttt23131322424tttt 311344tttx253 18tt 第29頁(yè)22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) （設(shè)存在且不為零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解第30頁(yè)相關(guān)變化率相關(guān)變化率( )( )xx tyy txydxdydtdt 設(shè)及都 可 導(dǎo) ，而 變 量與存 在 某 種 關(guān) 系 ， 從而 變 化 率與間 也 存 在 一 定 關(guān)系 ， 這 兩 個(gè) 相 互 依 賴 的 變 化 率 稱 為相 關(guān) 變 化 率 。第31頁(yè)例例1 1 一個(gè)飛機(jī)觀察員觀察到一架飛機(jī)正在一個(gè)飛機(jī)觀察員觀察到一架飛機(jī)正在的的1143米的高度米的高度向他飛來，仰角為向他飛來，仰角為 ，并以，并以