635函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)

1、6.3.4 6.3.4 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的定義一、冪級(jí)數(shù)的定義 稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，其其中中 , , , ,10naaa 稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)。 nnnnnxxaxxaaxxa)()() (001000 二二、冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑和和收收斂斂區(qū)區(qū)間間 三三、冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì) 1 1冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)設(shè) 00 nnnnnnxbxa與與的收斂半徑為的收斂半徑為)0,( 2121 rrrr 與與， 和函數(shù)為和函數(shù)為)()(21xsxs與與，),min(21rrr ，則當(dāng)則當(dāng)) ,(rrx 時(shí)，可作如下運(yùn)算：時(shí)，可作如下運(yùn)算： （2 2）乘法）

2、乘法 0021)()(nnnnnnxbxaxsxs 2211211)()(xbababaxbababa nnnnxbababa)(11 （1 1）加加法法和和減減法法 00021)()()(nnnnnnnnnnxbaxbxaxsxs， 2 2冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的分分析析性性質(zhì)質(zhì)定理定理 9（內(nèi)閉一致收斂性）（內(nèi)閉一致收斂性） 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的收斂半徑的收斂半徑0 r，則，則冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)在 任意閉區(qū)間任意閉區(qū)間) ,( ,rrrr 上都一致收斂。上都一致收斂。 定定理理 10 若若 0nnnxa的的收收斂斂半半徑徑為為則則和和函函數(shù)數(shù)為為 ),( ),0(xsrr （2 2）),(

3、 )(rrxs 在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且 1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs， 逐項(xiàng)求導(dǎo)所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的逐項(xiàng)求導(dǎo)所得的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的r 收斂半徑收斂半徑。 反反復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)用用此此結(jié)結(jié)論論得得: :),( )(rrxs 在在內(nèi)內(nèi)具具有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 （1 1）),( )(rrcxs ，若若冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在) ( rxrx 或或處處 也收斂，則也收斂，則) , )( ,( )(rrcxsrrcxs 或或。 （3 3）),( )(rrxs 在在內(nèi)內(nèi)可可積積，且且 100 0 0 0 0 1 )( nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs，

4、 逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分所所得得的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)有有相相同同的的r 收收斂斂半半徑徑。 12)1()(1211 nnnxnxs),1 , 1( ,11)()1(22020 xxxxnnnnn)1(211)1( nnnx 1 , 1x 1 , 1x 011)(nnnxxxs， xxnxxxsnnnn 11)1( )(001， xxdttxxs 0 )1ln(11)(， 故故 0. , 1 10 ),1ln(1)(xxxxxs 10 )(s又 )()()1()1()(1111111 nnnnnnnnxxxxxnnxxnnxs).1 , 1( ,)1(2)1(32 xxxxxx.)1()1

5、n(n11的和函數(shù)的和函數(shù)及及求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nnnnnnxx 例例3.3.（2） 1)1(nnnnx 解：收斂域?yàn)榻猓菏諗坑驗(yàn)? , 1 ，設(shè)和函數(shù)為，設(shè)和函數(shù)為.1 , 1 ,)1()(1 xnnxxsnn 11111)111()1()(nnnnnnnnnxnxxnnnnxxs 11111nnnnnxxnx1)1ln(1)1ln( xxx . 1 , 1, 0 , 0),1 , 0()0 , 1 , 1)1ln(1)(xxxxxxxs ).1 , 0()0 , 1, 1)1ln(1 xxxx0)0( s，1)1(1)1(1 nnns， 例例4求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 2)12(1nn的和。的

6、和。 1n若將所給數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可看作是冪級(jí)數(shù)若將所給數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可看作是冪級(jí)數(shù)1212nnnx在在21x時(shí)所得的級(jí)數(shù)，其和函數(shù)就容易求了。時(shí)所得的級(jí)數(shù)，其和函數(shù)就容易求了。解：設(shè)解：設(shè))1 , 1( ,12)(12 xnxxsnn， 則則.2)12(1)21(1 nnns xnnnnnndxnxxnxxnxxs011211212)12(1212)().1 , 1( ,11ln211)(020122 xxxxdxxxdxxxxxnn).21ln(21211211ln2212)12(1)21(1 nnns 一一、泰泰勒勒)(taylor級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 前面討論了冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的性質(zhì)，前面討論了冪級(jí)數(shù)的

7、收斂域及其和函數(shù)的性質(zhì)， 下面討論相反的問題，即給定下面討論相反的問題，即給定)( xf函數(shù)函數(shù)，是否能，是否能 找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其 和函數(shù)恰好和函數(shù)恰好)( xf就是就是，若能找到這樣的冪級(jí)數(shù)，若能找到這樣的冪級(jí)數(shù)， 則稱則稱)( xf函數(shù)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)。在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)。 6 63 35 5 函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)1泰勒泰勒)(taylor公式公式 設(shè)設(shè))( )(xnxf在在內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )1( n， 則則在在)(xn內(nèi)內(nèi)有有 2)(! 2)()()()(xxxfxxxfx

8、fxf )()(! )()(xrxxnxfnnn 其其中中1)1()(! )1()()( nnnxxnfxr（之之間間與與在在 xx ） 。 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)2 2. .麥麥克克勞勞林林( (maclaurin) )公公式式 在上式中令在上式中令0 x，得：，得： 2! 2)0()0()0()(xfxffxf )(! )0()(xrxnfnnn ， 1)1(! )1()()( nnnxnfxr（x與與在在0 之間） 。之間） 。 定義定義 設(shè)設(shè))( )(xnxf在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱 nnnxxnxf)(! )()(0 為為xxf )(點(diǎn)點(diǎn)在在處的處的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)， 記

9、為記為)(xfnnnxxnxf)(! )()(0 。 0 )( xxf點(diǎn)點(diǎn)在在處的泰勒級(jí)數(shù)，稱為處的泰勒級(jí)數(shù)，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)， 記為記為)(xfnnnxnf! )0()(0 。 證明證明: :設(shè)設(shè))( )(xnxf在在內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)，即內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)，即 0)()(!)()(nnnxxnxfxf， )(xnx nnnxxnxfxxxfxfxs)(! )()()()()(1 。 當(dāng)當(dāng))( )(xnxf在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，xxf )(點(diǎn)點(diǎn)在在 處的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，是否一定以處的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？若收斂，是否一定以)(xf為為 和函數(shù)？對(duì)此，有

10、如下定理：和函數(shù)？對(duì)此，有如下定理： 定理定理 1111 設(shè)設(shè))( )(xnxf在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，)(xf則則 )( xn在在內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件)( xf是是 x 點(diǎn)點(diǎn)在在的泰勒公式的余項(xiàng)的泰勒公式的余項(xiàng))(xrn滿足滿足 0)(lim xrnn，)(xnx 。 )(xf在在x處的泰勒公式為處的泰勒公式為 )()(!)()()()()(xrxxnxfxxxfxfxfnnn 則則)()()(1xrxsxfnn , , ).(xnx )(xf在在x處的泰勒級(jí)數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)在)(xnx 內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于)(xf )()(lim1x

11、fxsnn 0)()(lim)(lim1 xsxfxrnnnn. . 定理成立。定理成立。 定理定理 1212 如果如果)( )(xnxf在在內(nèi)能展開成內(nèi)能展開成的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) xx nnnxxa) (0 ，則必有，則必有!)()(nxfann （ , 2 , 1 , 0 n） 。） 。 此此定定理理表表明明：)( xf若若能能展展開開成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，則則其其展展開開式式 是是唯唯一一的的，它它就就是是xxf )(點(diǎn)點(diǎn)在在處處的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 ).(,)(!)()(0 xnxxxnxfxfnnn 稱為稱為)(xf在在x處的處的泰勒展開式泰勒展開式。 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，得時(shí)，得)(xf的的

12、麥克勞林展開式麥克勞林展開式： ).0( !)0()(0)(nx,xnfxfnnn 二二、函函數(shù)數(shù)展展開開為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 1直接展開法直接展開法把把)(xf展展開開成成 x 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，其其步步驟驟如如下下： （1 1）求出）求出)0()(nf， , 2 , 1 , 0 n （2 2）寫出）寫出)(xf nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2， 并求出并求出br 和收斂域和收斂域收斂半徑收斂半徑； （3 3）求出求出1)1(! )1()()( nnnxnfxrbxx ), 0 (之間之間與與在在； （4 4）若若0)(lim xrnn， 則則bxxnfxfxff

13、xfnn ,!)0(! 2)0()0()0()()(2。 （2 2）xe ! 3! 2132nxxxxn, ) ,( x. . （3 3）1)!1()( nnxnexr，) 0 (之之間間與與在在x 。 )!1()!1()(11 nxexnexrnxnn， 例例 2 2將將函函數(shù)數(shù)xexf )(展展開開成成的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) x。 解解： （1 1）) , 2 , 1 , 0( )()( nexfxn ， ) , 2 , 1 , 0( , 1)0(0)( nefn， 是是一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)相相對(duì)對(duì) nex， 又又級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11)!1(nnnx收收斂斂， 0)!1(lim1 nxnn， 0)(lim

14、 xrnn， 從而從而0)(lim xrnn，) ,( x. . （4 4） ! 3! 2132nxxxxenx ，) ,( x. . 解解： （1 1）), 2 , 1( , )2sin()()( nnxxfn， , 0)0( , 1)0( , 0)0( fff , 0)0( , 1)0()4( ff （2 2）xsin ! )12()1(! 7! 5! 3121753nxxxxxnn ， ) ,( x. . 例例 3 3. .將將函函數(shù)數(shù)xxfsin)( 展展開開成成的的 x冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 （4 4） ! )12()1(!7!5! 3sin121753nxxxxxxnn ) ,( x. （

15、3 3）122)!12(2)12(sin)( nnxnnxr) 0 (之之間間與與在在x 。 )!12()(122 nxxrnn， 而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 012)!12(nnnx收收斂斂，0)!12(lim12 nxnn， 0)(lim2 xrnn，從而，從而0)(lim2 xrnn，) ,( x. . 2 2間接展開法間接展開法 利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算 （如（如四則運(yùn)算、變量代換，逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分四則運(yùn)算、變量代換，逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等） ，等） ， 求出所給函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求出所給函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的方法稱為的方法稱為間接展開法。間

16、接展開法。 ! )12()1(! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn， ) ,( x. 逐項(xiàng)求導(dǎo)得：逐項(xiàng)求導(dǎo)得： ! )2()1(! 6! 4! 21cos2642nxxxxxnn， ) ,( x. 1132)1(111nnxxxxx，)11( x. . nxxxxxxnn 1432)1(432)1ln( )11( x. 將上式從將上式從x 0到到逐項(xiàng)積分，得逐項(xiàng)積分，得 xx 換上式中的換上式中的以以 ，得，得 nxxxxxxn432)1ln(432，)11( x。 211)(arctanxx 221642)1(1nnxxxx， ) 1 , 1( x. . dttxx 0 2110arcta