252向量在物理中的應(yīng)用舉例

1、 永嘉二中 劉先德e-mail:一、向量與物理學(xué)的聯(lián)系一、向量與物理學(xué)的聯(lián)系 向量是從物理學(xué)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，在物理中，通常被向量是從物理學(xué)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，在物理中，通常被稱為矢量！在物理學(xué)，工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，因此，我們稱為矢量！在物理學(xué)，工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，因此，我們要明確掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)！要明確掌握用向量研究物理問題的相關(guān)知識(shí)！1、向量既是有大小又有方向的量，物理學(xué)中，力、速度、向量既是有大小又有方向的量，物理學(xué)中，力、速度、加速度、位移等都是向量！加速度、位移等都是向量！2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加減、力、加速度、位移等的合成和分解就

2、是向量的加減法，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成！法，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成！3、功的定義即是、功的定義即是f與所產(chǎn)生位移與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量值的數(shù)量值例題例題例例1：同一平面內(nèi)，互成：同一平面內(nèi)，互成120 ? 的三個(gè)大小相等的共的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力為零。點(diǎn)力的合力為零。bo120abcd ca證：證：如圖，用如圖，用a，b，c表示這表示這3個(gè)共點(diǎn)力，個(gè)共點(diǎn)力，且且a，b，c互成互成120，模相等，按照向，模相等，按照向量的加法運(yùn)算法則，有：量的加法運(yùn)算法則，有： a +b +c = a +（b +c）=a +od 又由三角形的知識(shí)知：三角形又由三角形的知識(shí)知：三角形obd為等邊三角形

3、，故為等邊三角形，故 a與與od共線且模相等共線且模相等 所以：所以：od = -a ，即有：，即有： a+ b+ c =0 例例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？分析：分析：上述的問題跟上述的問題跟如圖所示如圖所示的是同個(gè)問題，抽象為數(shù)學(xué)模的是同個(gè)問題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：型如下： f2f1fg用向量用向量f1，f2，表示兩個(gè)提力，表示

4、兩個(gè)提力，它們的合向量為它們的合向量為f，物體的重力，物體的重力用向量用向量g來表示，來表示， f1，f2的夾的夾角為角為，如右圖所示，只要分清，如右圖所示，只要分清f，g和和三者的關(guān)系，就得到三者的關(guān)系，就得到了問題得數(shù)學(xué)解釋！了問題得數(shù)學(xué)解釋！f1fg f2cos2探究：探究：（1）為何值時(shí)，為何值時(shí)， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？ f1（2） 能等于能等于 嗎？為什么？嗎？為什么？ f1 g f1解：不妨設(shè)解：不妨設(shè) = ，由向量的由向量的 平行四平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道：可以知道： = （*） 通過上面的

5、式子，有：當(dāng)通過上面的式子，有：當(dāng)由由0到到180逐漸變逐漸變大時(shí)，大時(shí)， 由由0到到90逐漸變大，逐漸變大， 的值由大逐的值由大逐漸變小，因此漸變小，因此 ： 由小逐漸變大，即由小逐漸變大，即f1 ，f2之間之間 的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！ f2 f1 gcos22cos22 f1答：在（答：在（*）式中，當(dāng)）式中，當(dāng) =0時(shí)，時(shí)， 最大，最大， 最小且等于最小且等于cos2 f1 g2答：在（答：在（*）中，當(dāng)）中，當(dāng) = 即即=120時(shí)，時(shí)， = cos212 f1 gf2小結(jié)：小結(jié)： （1）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問題，我們要先把這一物）、為了能

6、用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如上題目，只考慮繩子和物體的理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！受力平衡，畫出相關(guān)圖形?。?）、由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中的向量問題，）、由物理中的矢量問題化成數(shù)學(xué)中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題！用向量的有關(guān)法則解決問題！（3）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。例例4：如圖如圖，一條河流的兩岸平行，河的寬度，一條河流的兩岸平行，河的寬度d = 500m，一，一艘船從艘船從a處出發(fā)到河對(duì)岸。已知船的速度處出發(fā)到河對(duì)岸。已知船的速

7、度 =10km/h，水流，水流的速度的速度 = 2km/h。 問：問：（1）行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少？行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少？ （2）行駛時(shí)間最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少？）行駛時(shí)間最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少？ v1 v2分析：分析：（1）因?yàn)閮善叫芯€之間的最短距離是它們的公垂線段。所）因?yàn)閮善叫芯€之間的最短距離是它們的公垂線段。所以只有當(dāng)小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向（即合運(yùn)動(dòng)方向）是垂直于河岸的以只有當(dāng)小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向（即合運(yùn)動(dòng)方向）是垂直于河岸的方向時(shí)，小船的航程最小。方向時(shí)，小船的航程最小。 （2）小船過河的問題有一個(gè)特點(diǎn)，就是小船在垂直于河）小船過河的問題有一個(gè)特點(diǎn)，就是小船在垂直

8、于河岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船過河所用的時(shí)間就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船過河所用的時(shí)間就最短，河水的速度是沿河岸方向的，這個(gè)分速度和垂直于河岸的方向沒有關(guān)系，所以使小船方向的，這個(gè)分速度和垂直于河岸的方向沒有關(guān)系，所以使小船垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對(duì)岸），小垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對(duì)岸），小船過河所用時(shí)間才最短。船過河所用時(shí)間才最短。500ma把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：解（解（1） = = 所以所以 t =

9、 = 60 答：行駛的航程最短時(shí)，所用的時(shí)間答：行駛的航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行駛的時(shí)間最短時(shí)，所用的時(shí)間是答：行駛的時(shí)間最短時(shí)，所用的時(shí)間是3mind v10.510（1）abv1v2v（2）v2v1v練習(xí)；練習(xí)； （1）如圖所示，用兩條成）如圖所示，用兩條成120的等長的繩子懸掛一的等長的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重量為個(gè)燈具，已知燈具的重量為10n，則每根繩子的拉力是，則每根繩子的拉力是。12010n如圖，今有一艘小船位于如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河

10、邊寬的河邊p處，從這里起，在下游處，從這里起，在下游 =80m處河流有一處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小為了使小船能安全過河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)船能安全過河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？劃速最小時(shí)，劃速方向如何？lpq瀑布瀑布lq，60mpq瀑布瀑布lv船船v水水v合合的方向的方向pq從圖上看，哪個(gè)速度（向量的模）最??？從圖上看，哪個(gè)速度（向量的模）最小？分析：用向量來分別表示河流的水流速度、船速分析：用向量來分別表示河流的水流速度、船速和它們的

11、合速度為和它們的合速度為 、 和和 ，由題意，由題意，船的實(shí)際速度為向量船的實(shí)際速度為向量其方向?yàn)榕R界方向其方向?yàn)榕R界方向 ，船只要朝著這個(gè)方向行，船只要朝著這個(gè)方向行駛，它就不會(huì)掉下瀑布，如（右）圖所示：駛，它就不會(huì)掉下瀑布，如（右）圖所示：pq v船船v水水v合合=+v船船v水水v合合解：由題意知：解：由題意知： 其方向?yàn)榕R界方向其方向?yàn)榕R界方向 ，設(shè)，設(shè) 和和 夾角為夾角為，則最小劃速為：，則最小劃速為： sin = =所以：最小的船速應(yīng)為：所以：最小的船速應(yīng)為：v船船v水水v合合=+pqv水水v合合 v船船= v水水sin v船船22ld d5380606022= 5 sin =5 =3（m/s）53提問提問:表示劃船速度的向量怎樣畫表示劃船速度的向量怎樣畫?如何解決物理中與向量有關(guān)的問題：如何解決物理中與向量有關(guān)的問題：（1）、弄清物理現(xiàn)象中蘊(yùn)含的物理量間的關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）；）、弄清物理現(xiàn)象中蘊(yùn)含的物理量間的關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）；（2）、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型研究有關(guān)物理問題；）、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型研究有關(guān)物理問題；（3）、綜合運(yùn)用有關(guān)向量的知識(shí)，三角等和物理知識(shí)解決實(shí)