人教版高中數(shù)學(xué)選修11課后提升作業(yè) 十 2.1.2.1 Word版含解析

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料課后提升作業(yè) 十橢圓的簡單幾何性質(zhì)(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.橢圓(m+1)x2+my2=1的長軸長是()a.2m-1m-1b.-2-mmc.2mmd.-21-mm-1【解析】選c.橢圓方程可簡化為x211+m+y21m=1,由題意知m>0,所以11+m<1m,所以a=mm,所以橢圓的長軸長2a=2mm.2.已知橢圓c的左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),離心率是63,則橢圓c的方程為()a.x23+y2=1b.x2+y23=1c.x23+y22=1d.x22+y23=1【解析】選a.因?yàn)閏a=63,且c=2,所以a=

2、3,b=a2-c2=1,所以橢圓c的方程為x23+y2=1.3.已知橢圓2x2+y2=2的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1,f2,且b為短軸的一個(gè)端點(diǎn),則f1bf2的外接圓方程為()a.x2+y2=1b.(x-1)2+y2=4c.x2+y2=4d.x2+(y-1)2=4【解析】選a.由2x2+y2=2得x2+y22=1,所以b=1,c=1.f1(0,-1),f2(0,1),取b(1,0),故f1bf2外接圓方程為x2+y2=1.4.f,a分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),若橢圓的長軸長是6,且cosofa=23,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x236+y220=1b.x29+y25=1c.x220+y236=1或x236

3、+y220=1d.x29+y25=1或x25+y29=1【解析】選d.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),cosofa=|of|af|=cc2+b2=ca=23.因?yàn)?a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以橢圓方程為x29+y25=1,同理,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓方程為x25+y29=1.5.橢圓x29+y24+k=1的離心率為45,則k的值為()a.-21b.21c.-1925或21d.1925或21【解析】選c.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由ca=5-k3=45,得k=-1925;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由ca

4、=k-54+k=45,得k=21.【誤區(qū)警示】認(rèn)真審題,防止丟解在求橢圓方程或利用方程研究橢圓性質(zhì)時(shí),一定要注意橢圓的位置是否確定,若沒有確定,則應(yīng)該有兩解.6.(2016·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( )【解析】選b.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0),右焦點(diǎn)f(c,0),則直線l的方程為=1,即bx+cy-bc=0,由題意可知b,又a2=b2+c2,得b2c2=b2a2,所以e=7.(2016·衡水高二檢測)已知f1,f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足mf1·mf2=0的點(diǎn)m總在橢圓內(nèi)

5、部,則橢圓離心率的取值范圍是()a.(0,1) b.0,12c.0,22 d.22,1【解析】選c.設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,因?yàn)閙f1·mf2=0,所以m點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)o為圓心,半焦距c為半徑的圓.又m點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,所以該圓內(nèi)含于橢圓,即c<b,c2<b2=a2-c2,故e2<12,所以0<e<22.8.橢圓m:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,p為橢圓m上任一點(diǎn),且pf1·pf2的最大值的取值范圍是c2,3c2,其中c=a2-b2,則橢圓m的離心率e的取值范圍是()a

6、.14,12b.12,22c.22,1d.12,1【解析】選b.設(shè)p(x,y),f1(-c,0),f2(c,0),則pf1=(-c-x,-y),pf2=(c-x,-y), pf1·pf2=x2+y2-c2.又x2+y2可看作p(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(pf1·pf2)max=b2,所以c2b2=a2-c23c2,即14e212,所以12e22.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·臺(tái)州高二檢測)若橢圓的兩焦點(diǎn)為f1(-4,0),f2(4,0),點(diǎn)p在橢圓上,且pf1f2的最大面積是12,則橢圓的短半軸長為_.【

7、解析】設(shè)p點(diǎn)到x軸的距離為h,則spf1f2=12|f1f2|h,當(dāng)p點(diǎn)在y軸上時(shí),h最大,此時(shí)spf1f2最大.因?yàn)閨f1f2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2016·嘉興高二檢測)已知橢圓x24+y23=1的左頂點(diǎn)為a1,右焦點(diǎn)為f2,點(diǎn)p為該橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)pf2·pa1取最小值時(shí)|pa1+pf2|的取值為_.【解析】由已知得a=2,b=3,c=1,所以f2(1,0),a1(-2,0),設(shè)p(x,y),則pf2·pa1=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又點(diǎn)p(x,y)在橢圓上,所以y2=3-

8、34x2,代入上式,得pf2·pa1=14x2+x+1=14(x+2)2.又x-2,2,所以當(dāng)x=-2時(shí),pf2·pa1取得最小值.所以p(-2,0),求得|pa1+pf2|=3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)11.已知f1,f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),p為橢圓上一點(diǎn),f1pf2=60°.(1)求橢圓離心率的范圍.(2)求證:f1pf2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【解析】(1)不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),|pf1|=m,|pf2|=n,則m+n=2a.在pf1f2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60

9、°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3·m+n22=4a2-3a2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)).所以c2a214,即e12.又0<e<1,所以e的取值范圍是12,1.(2)由(1)知mn=43b2,所以spf1f2=12mnsin60°=33b2,即pf1f2的面積只與短軸長有關(guān).12.已知橢圓x2+y2b2=1(0<b<1)的左焦點(diǎn)為f,左、右頂點(diǎn)分別為a,c,上頂點(diǎn)為b,過f,b,c三點(diǎn)作p,且圓心在直線x+y=0上,求此橢圓的方程.【解題指南】根據(jù)圓的性質(zhì),得圓心p為fc的垂直平分線與bc的垂直平分線的交點(diǎn),因此分別算

10、出fc,bc的垂直平分線方程,得到它們的交點(diǎn),代入直線x+y=0解出b2,即可得出此橢圓的方程.【解析】設(shè)圓心p的坐標(biāo)為(m,n),因?yàn)閜過點(diǎn)f,b,c三點(diǎn),所以圓心p既在fc的垂直平分線上,也在bc的垂直平分線上,fc的垂直平分線方程為x=1-c2.因?yàn)閎c的中點(diǎn)為12,b2,kbc=-b,所以bc的垂直平分線方程為y-b2=1bx-12.由,聯(lián)立,得x=1-c2,y=b2-c2b,即m=1-c2,n=b2-c2b.因?yàn)閜(m,n)在直線x+y=0上,所以1-c2+b2-c2b=0,可得(1+b)(b-c)=0,因?yàn)?+b>0,所以b=c,結(jié)合b2=1-c2得b2=12,所以橢圓的方程

11、為x2+y212=1,即x2+2y2=1.【能力挑戰(zhàn)題】設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=32,已知點(diǎn)p0,32到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為7,求這個(gè)橢圓方程.【解題指南】先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率得到a,b的關(guān)系,再設(shè)m(x,y)為橢圓上的點(diǎn),用兩點(diǎn)間距離表示出|pm|,最后利用二次函數(shù)知識(shí)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),m(x,y)為橢圓上的點(diǎn),由ca=32得a=2b,|pm|2=x2+y-322=-3y+122+4b2+3(-byb),若0<b<12,則當(dāng)y=-b時(shí)|pm|2最大,即-b-322=7,所以b=7-32>12,故矛盾.若b12,則當(dāng)y=-12時(shí),4b2+3=7,b2=1,從而a2=4.所求方程為x24+y2=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓c的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為f(-2,0),且長軸長與短軸長的比是23.(1)求橢圓c的方程.(2)設(shè)點(diǎn)m(m,0)在橢圓c的長軸上,點(diǎn)p是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng)|mp|最小時(shí),點(diǎn)p恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由題意知c=2,ab=23,a2=b2+4,解得a2=16,b2=12.所以橢圓c的方程為x216+y212=1.(2)設(shè)p(x0,y0),且x0