高中數(shù)學人教A版選修11教學案：第三章 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 Word版含答案

1、起第 1 課時變化率問題、導數(shù)的概念核心必知1預習教材，問題導入根據(jù)以下提綱，預習教材 p101p104的內容，回答下列問題某廠家計劃用一種材料生產一種盛 500 ml 溶液的圓柱形易拉罐(1)生產這種易拉罐，如何計算材料用的多少呢？提示：計算出圓柱的表面積即可(2)如何制作使用材料才能最?。刻崾荆阂褂昧献钍?，只需圓柱的表面積最小可設圓柱的底面半徑為 x，列出圓柱表面積 s2x21 000 x(x0)，求 s 最小時，圓柱的半徑、高即可2歸納總結，核心必記(1)優(yōu)化問題生活中經常遇到求利潤最大、 用料最省、 效率最高等問題， 這些問題通常稱為優(yōu)化問題(2)解決優(yōu)化問題的基本思路問題思考在實際

2、問題中，如果在定義域內函數(shù)只有一個極值點，則函數(shù)在該點處取最值嗎？提示：根據(jù)函數(shù)的極值與單調性的關系可以判斷，函數(shù)在該點處取最值，并且極小值點對應最小值，極大值點對應最大值課前反思(1)生活中的優(yōu)化問題主要涉及哪些問題？；(2)解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？講一講1某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場如圖，圓形廣場的圓心為 o，半徑為 100 m，并與北京路一邊所在直線 l 相切于點 m.點 a 為上半圓弧上一點，過點 a 作 l的垂線，垂足為點 b.市園林局計劃在abm 內進行綠化設abm 的面積為 s(單位：m2)，aon(單位：弧度)(1)將 s 表示為的函數(shù)；(2)當綠化面積 s

3、 最大時，試確定點 a 的位置，并求最大面積嘗試解答(1)bmaosin100sin，abmoaocos100100cos，(0，)則 s12mbab12100sin(100100cos)5 000(sinsincos)，(0，)(2)s5 000(2cos2cos1)5 000(2cos1)(cos1)令 s0，得 cos12或 cos1(舍去)，此時3.當變化時，s，s 的變化情況如下表：所以，當3時，s 取得最大值 smax3 750 3 m2，此時 ab150 m，即點 a 到北京路一邊 l 的距離為 150 m.(1)平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與

4、面積相關的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導數(shù)，求極值，從而求最值(2)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎上解決與實際相關的問題 解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式， 如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關系，將圖形進行拆分或組合，以便簡化求值過程練一練1請你設計一個包裝盒如圖所示，abcd 是邊長為 60 cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 a，b，c，d 四個點重合于圖中的點 p，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒e、f 在 ab 上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設 a

5、efbx(cm)(1)若廣告商要求包裝盒的側面積 s(cm2)最大，試問 x 應取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積 v(cm3)最大，試問 x 應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值解：設包裝盒的高為 h(cm)，底面邊長為 a(cm)由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x30.(1)s4ah8x(30 x)8(x15)21 800，所以當 x15 時，s 取得最大值(2)va2h2 2(x330 x2)，v6 2x(20 x)由 v0 得 x0(舍)或 x20.當 x(0，20)時，v0；當 x(20，30)時，v0.所以當 x20 時，v 取得極大值，也是最大值

6、此時ha12，即包裝盒的高與底面邊長的比值為12.講一講2 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗， 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元該建筑物每年的能源消耗費用 c(單位：萬元)與隔熱層厚度 x(單位：cm)滿足關系：c(x)k3x5(0 x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為 8 萬元，設 f(x)為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達到最小，并求最小值嘗試解答(1)由題設，隔熱層厚度為 x cm，每年能源消耗費用為 c(

7、x)k3x5，再由 c(0)8，得 k40，因此 c(x)403x5.而建造費用為 c1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和為f(x)20c(x)c1(x)20403x56x8003x56x(0 x10)(2)f(x)62 400（3x5）2，令 f(x)0，即2 400（3x5）26，解得 x5，x253(舍去)當 0 x5 時，f(x)0，當 50，故 x5 是 f(x)的最小值點，對應的最小值為 f(5)6580015570.所以，當隔熱層修建 5 cm 厚時，總費用達到最小值 70 萬元實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導數(shù)求解相應

8、函數(shù)的最小值， 此時根據(jù) f(x)0 求出極值點(注意根據(jù)實際意義舍去不合適的極值點)后， 函數(shù)在該點附近滿足左減右增，則此時唯一的極小值就是所求函數(shù)的最小值練一練2一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為 10 km/h 時，燃料費是每小時 6 元，而其他與速度無關的費用是每小時 96 元，問此輪船以多大的速度航行時，能使每千米的費用總和最少？解：設燃料費 ykv3，因為當 v10 時，y6，k3500，y3500v3.每千米總費用：s1v3500v3963500v296v，s3250v96v2.令 s0 得 v20，當 v(0，20)時，s0.v20 km/h 是 s

9、的極小值點，也是最小值點，v20 km/h 時，每千米的費用總和最少知識點 3利潤最大問題講一講3某廠生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利 200 元，如果生產出一件次品，則損失 100 元已知該廠制造電子元件過程中，次品率 p 與日產量 x 的函數(shù)關系是：p3x4x32(xn*)(1)將該廠的日盈利額 t(元)表示為日產量 x(件)的函數(shù)；(2)為獲最大盈利，該廠的日產量應定為多少件？嘗試解答(1)因為次品率 p3x4x32，所以當每天生產 x 件時，有 x3x4x32件次品，有 x13x4x32 件正品所以 t200 x13x4x32 100 x3x4x322564xx2x8(xn

10、*)(2)t25（x32） （x16）（x8）2，由 t0，得 x16 或 x32(舍去)當 0 x0；當 x16 時，t0;所以當 x16 時，t 最大，即該廠的日產量定為 16 件，能獲得最大盈利解決此類有關利潤的實際應用題，應靈活運用題設條件，建立利潤的函數(shù)關系，常見的基本等量關系有(1)利潤收入成本；(2)利潤每件產品的利潤銷售件數(shù)練一練3某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量 y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a 為常數(shù)已知銷售價格為 5 元/千克時，每日可售出該商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若該商品

11、的成本為 3 元/千克，試確定銷售價格 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解：(1)因為 x5 時，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y2x310(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)2x310（x6）2210(x3)(x6)2，3x6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當 x 變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表可得，x4 是函數(shù) f(x)在區(qū)間(3，6)內的極大值點，也是最大值點所以，當 x4 時，函數(shù) f(x)取得最大值，且最大值等于 42，即當銷售價格為 4 元/

12、千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點是利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)利用導數(shù)解決面積、體積的最值問題，見講 1；(2)利用導數(shù)解決成本最低(費用最省)問題，見講 2；(3)利用導數(shù)解決利潤最大問題，見講 3.3在利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題時，要注意函數(shù)的定義域應使實際問題有意義，這也是本節(jié)課的易錯點課時達標訓練（十九）即時達標對點練題組 1面積、體積的最值問題1如果圓柱軸截面的周長 l 為定值，則體積的最大值為()a.l63b.l33c.l43d.14l43解析：選 a設圓柱的底面半徑為 r，高為 h，體積為 v，則 4r2

13、hl，hl4r2，vr2h12r2l2r30r0，rl6是其唯一的極值點當 rl6時，v 取得最大值，最大值為l63.2用邊長為 48 cm 的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個鐵盒所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()a6 cmb8 cmc10 cmd12 cm解析：選 b設截去的小正方形的邊長為 x cm，鐵盒的容積 v cm3.由題意，得 vx(482x)2(0 x0；當 x(8，24)時，v0.當 x8 時，v 取得最大值題組 2成本最低(費用最省)問題3做一個容積為 256 m3的方底無蓋水箱，所用材料最

14、省時，它的高為()a6 mb8 mc4 md2 m解析： 選 c設底面邊長為 x m，高為 h m，則有 x2h256，所以 h256x2.所用材料的面積設為 s m2，則有 s4xhx24x256x2x22564xx2.s2x2564x2，令 s0，得x8，因此 h256644(m)4某公司一年購買某種貨物 2 000 噸，每次都購買 x 噸，運費為 4 萬元/次，一年的總存儲費為12x2萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則 x_解析：設該公司一年內總共購買 n 次貨物，則 n2 000 x，總運費與總存儲費之和 f(x)4n12x28 000 x12x2，令 f(x)x8 000

15、 x20，解得 x20.且當 0 x20 時 f(x)20 時 f(x)0，故 x20 時，f(x)最小答案：205甲、乙兩地相距 400 千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過 100 千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本 p(元)關于速度 v(千米/時)的函數(shù)是 p119 200v41160v315v，(1)求全程運輸成本 q(元)關于速度 v 的函數(shù)關系式；(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大的速度行駛？并求此時運輸成本的最小值解：(1)qp400v119 200v41160v315v400v119 200v31160v215400v34852v26 000(0v100)(2)

16、qv2165v，令 q0，則 v0(舍去)或 v80，當 0v80 時，q0；當 800，v80 千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且 qminq(80)2 0003(元)題組 3利潤最大問題6已知某生產廠家的年利潤 y(單位：萬元)與年產量 x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為 y13x381x234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為()a13 萬件b11 萬件c9 萬件d7 萬件解析：選 c因為 yx281，所以當(9，)時，y0，所以函數(shù) y13x381x234 在(9，)上單調遞減，在(0，9)上單調遞增，所以 x9 時函數(shù)取最大值7某商場從生產廠家以每件 20 元購進一批

17、商品，若該商品零售價定為 p 元，銷售量為q 件，則銷售量 q 與零售價 p 有如下關系：q8 300170pp2.則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出)()a30 元b60 元c28 000 元d23 000 元解析：選 d設毛利潤為 l(p)，由題意知l(p)pq20qq(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以 l(p)3p2300p11 700.令 l(p)0，解得 p30 或 p130(舍去)此時，l(30)23 000.因為在 p30 附近的左側 l(p)0，右側 l(p)0)，貸款的利率為 0.048，假設銀行吸收的存款能全部

18、放貸出去若存款利率為 x(x(0，0.048)，為使銀行獲得最大收益，則存款利率應定為_解析：存款利率為 x，依題意：存款量是 kx2，銀行應支付的利息是 kx3，貸款的收益是0.048kx2，x(0，0.048)所以銀行的收益是 y0.048kx2kx3(0 x0.048)，由于 y0.096kx3kx2，令 y0 得 x0.032 或 x0(舍去)，又當 0 x0；當 0.032x0.048時，y0；x263，11時，l(x)0，所以當 x263時，l(x)在8，11上取到極大值，也是最大值，l263 50027(萬元)故當每件售價為263元時，公司一年的利潤 l 最大，最大利潤是5002

19、7萬元能力提升綜合練1將 8 分為兩個非負數(shù)之和，使兩個非負數(shù)的立方和最小，則應分為()a2 和 6b4 和 4c3 和 5d以上都不對解析：選 b設一個數(shù)為 x，則另一個數(shù)為 8x，則其立方和 yx3(8x)383192x24x2(0 x8)，y48x192.令 y0，即 48x1920，解得 x4.當 0 x4 時，y0；當 40.所以當 x4 時，y 最小2設底為等邊三角形的直棱柱的體積為 v，那么其表面積最小時，底面邊長為()a.3vb.32vc.34vd23v解析：選 c設底面邊長為 x，高為 h，34x2hv，h4v3x24 3v3x2.s表234x23xh32x24 3vx，s(

20、x) 3x4 3vx2，令 s(x)0 可得3x4 3vx2，x34v，x34v.當 0 x34v時，s(x)34v時，s(x)0，當 x34v時，s(x)最小3某廠要圍建一個面積為 512 m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()a32 m，16 mb30 m，15 mc40 m，20 md36 m，18 m解析：選 a設建堆料場與原墻平行的一邊邊長為 x m，其他兩邊邊長為 y m，則 xy512，堆料場的周長 lx2y512y2y(y0)，令 l512y220，解得 y16(另一負根舍去)，當 0y16 時，l16 時

21、，l0，所以當 y16 時，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時 x5121632.4某公司生產一種產品，固定成本為 20 000 元，每生產一單位的產品，成本增加 100元，若總收入 r 與年產量 x(0 x390)的關系是 r(x)x3900400 x(0 x390)，則當總利潤最大時，每年生產的產品單位數(shù)是()a150b200c250d300解析：選 d由題意可得總利潤 p(x)x3900300 x20 000，0 x390，由 p(x)x23003000，得 x300.當 0 x0；當 300 x390 時，p(x)0，所以當x300 時，p(x)最大5要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為

22、20 cm，要使其體積最大，則高為_cm.解析：設高為 h，則底面半徑 r 400h2，0h20，v13r2h13(400h2)h4003h3h3.由 v4003h20 得 h24003，h20 33或 h20 33(舍去)，因為當 0h0，當 h20 33時，v0，f(x)是遞增的，x2 33，2時，f(x)0，f(x)是遞減的，當 x2 33時，f(x)取最大值4 39.答案：4 397 某工廠共有 10 臺機器， 生產一種儀器元件， 由于受生產能力和技術水平等因素限制，會產生一定數(shù)量的次品根據(jù)經驗知道，每臺機器產生的次品數(shù) p(萬件)與每臺機器的日產量 x(萬件)(4x12)之間滿足關系

23、： p 0.1x23.2 ln x3.已知每生產 1 萬件合格的元件可以盈利 2 萬元，但每生產 1 萬件次品將虧損 1 萬元(利潤盈利虧損)(1)試將該工廠每天生產這種元件所獲得的利潤 y(萬元)表示為 x 的函數(shù)；(2)當每臺機器的日產量 x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？解：(1)由題意得，所獲得的利潤為y102(xp)p20 x3x296ln x90(4x12)(2)由(1)知，y6x220 x96x2（3x8） （x6）x.當 4x6 時，y0，函數(shù)在4，6)上為增函數(shù)；當 6x12 時，y0，函數(shù)在(6，12上為減函數(shù)， 所以當 x6 時， 函數(shù)取得極大值， 且為

24、最大值， 最大利潤為 y20636296ln 69096ln 678(萬元)故當每臺機器的日產量為 6 萬件時所獲得的利潤最大，最大利潤為(96ln 678)萬元8某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為 l1，l2，山區(qū)邊界曲線為 c，計劃修建的公路為 l，如圖所示，m，n 為 c 的兩個端點，測得點 m 到 l1，l2的距離分別為 5 千米和 40 千米，點 n 到 l1，l2的距離分別為 20 千米和 2.5 千米，以 l1，l2所在的直線分別為 y，x 軸，建立平面直角坐標系 xoy，假設曲

25、線 c 符合函數(shù) yax2b(其中 a，b 為常數(shù))模型(1)求 a，b 的值；(2)設公路 l 與曲線 c 相切于 p 點，p 的橫坐標為 t.請寫出公路 l 長度的函數(shù)解析式 f(t)，并寫出其定義域；當 t 為何值時，公路 l 的長度最短？求出最短長度解：(1)由題意知，m 點的坐標為(5，40)，n 點的坐標為(20，2.5)，代入曲線 c 的方程yax2b，可得40a52b，2.5a202b.解得a1 000，b0.(2)由(1)知曲線 c 的方程為y1 000 x2(5x20)，y2 000 x3，所以 y|xt2 000t3即為 l 的斜率又當 xt 時，y1 000t2，所以

26、p 點的坐標為t，1 000t2，所以 l 的方程為y1 000t22 000t3(xt)令 x0，得 y3 000t2；令 y0，得 x32t.所以 f(t)32t23 000t22，其中 5t20.由知 f(t)32t23 000t22，其中 5t20.令 g(t)32t23 000t2294t29106t4，所以 g(t)92t49106t592t68106t592t6（10 2）6t5.因為 5t20，令 g(t)0，得 10 20，函數(shù) f(x)在(0，)上單調遞增當 a0 時，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，當 a12時，0，f(x)12（x1

27、）2x（x1）20，函數(shù) f(x)在(0，)上單調遞減當 a12時，0，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調遞減當12a0.設 x1，x2(x10，所以 x(0，x1)時，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)單調遞增，x(x2，)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù) f(x)單調遞減，綜上可得：當 a0 時，函數(shù) f(x)在(0，)上單調遞增；當 a12時，函數(shù) f(x)在(0，)上單調遞減；當12a1，即 a2 時，函數(shù) f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，a1)上為減函數(shù)，在(a1，)上為增函數(shù)依題意當 x(1，4)時，f(x)0.故 4a16，即 5a7.因

28、此 a 的取值范圍是5，7對點訓練2求函數(shù) f(x)a2ln xx2ax(a0)的單調區(qū)間解：因為 f(x)a2ln xx2ax，其中 x0，所以 f(x)a2x2xa（xa） （2xa）x.由于 a0，所以 f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，)3已知函數(shù) f(x)xaxb(x0)，其中 a，br，若曲線 yf(x)在點 p(1，f(1)處的切線方程為 y3x1.(1)求函數(shù) f(x)的解析式；(2)求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間解：(1)f(x)1ax2，由導數(shù)的幾何意義得 f(1)3，于是 a4，由切點 p(1，f(1)在直線 y3x1 上得 1ab2，解得 b7.所以函數(shù) f(x)

29、的解析式為 f(x)x4x7(x0)(2)f(x)14x2x24x2(x0)，由 f(x)0 得 x2 或 x2；由 f(x)0 得2x2 且 x0，f(x)的單調遞增區(qū)間為(，2)和(2，)，遞減區(qū)間為(2，0)和(0，2).1.極值和最值是兩個迥然不同的概念，前者是函數(shù)的“局部”性質，而后者是函數(shù)的“整體”性質另函數(shù)有極值未必有最值，反之亦然2判斷函數(shù)“極值”是否存在時，務必把握以下原則：(1)確定函數(shù) f(x)的定義域(2)解方程 f(x)0 的根(3)檢驗 f(x)0 的根的兩側 f(x)的符號：若左正右負，則 f(x)在此根處取得極大值若左負右正，則 f(x)在此根處取得極小值即導數(shù)

30、的零點未必是極值點，這一點是解題時的主要失分點，學習時務必引起注意3求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求 f(x)在(a，b)內的極值(2)將(1)求得的極值與 f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值典例 4已知函數(shù) f(x)x3ax23x，且 x3 是 f(x)的極值點(1)求實數(shù) a 的值；(2)求 f(x)在 x1，5上的最小值和最大值解：(1)f(x)3x22ax3.f(3)0，即 276a30，a5.(2)f(x)x35x23x.令 f(x)3x210 x30，解得 x3 或 x13(舍去)當 x 變化時，f(x)、

31、f(x)的變化情況如下表：因此，當 x3 時，f(x)在區(qū)間1，5上有小值為 f(3)9；當 x5 時，f(x)在區(qū)間1，5上是最大值是 f(5)15.典例 5已知函數(shù) f(x)x2axln x，ar.(1)若 a0，求曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù) f(x)在1，2上是減函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍；(3)令 g(x)f(x)x2，是否存在實數(shù) a，當 x(0，e(e 是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù) g(x)的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，說明理由解：(1)當 a0 時，曲線 f(x)x2ln x，所以 f(x)2x1xf(1)1，f(1)1.所以

32、曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為 xy0.(2)因為函數(shù)在1，2上是減函數(shù)，所以 f(x)2xa1x2x2ax1x0 在1，2上恒成立，令 h(x)2x2ax1，有h（1）0，h（2）0，得a1，a72，得 a72.即實數(shù) a 的取值范圍為，72 .(3)假設存在實數(shù) a，使 g(x)axln x(x(0，e)有最小值 3，g(x)a1xax1x.當 a0 時，g(x)0，所以 g(x)在(0，e上單調遞減，g(x)ming(e)ae13，a4e(舍去)當1ae 時，g(x)0 在(0，e上恒成立，所以 g(x)在(0，e上單調遞減g(x)ming(e)ae13，a4e(舍去)

33、當 01ae 時，令 g(x)00 x0，知 ax22ax10 在 r 上恒成立因此4a24a4a(a1)0，又由 a0，得 0g(x)，則構造函數(shù)(x)f(x)g(x)，只需證(x)0 即可，由此轉化成求(x)最小值問題，借助于導數(shù)解決典例 6證明 x3x2x1sin x(x0，xr)證明：令 f(x)x3x2x1，則 f(x)3x22x1.該導函數(shù)對應的一元二次方程的判別式4120 恒成立，所以 f(x)在 r 上是遞增的因為 x0，所以 f(x)f(0)1.而 sin x1，所以 x3x2x1sin x 成立對點訓練6證明不等式 ln x2（x1）x1，其中 x1.證明：設 f(x)ln

34、 x2（x1）x1(x1)，則 f(x)1x4（x1）2（x1）2x（x1）2.x1，f(x)0，即 f(x)在(1，)內為單調遞增函數(shù)又f(1)0，當 x1 時，f(x)f(1)0，即 ln x2（x1）x10，ln x2（x1）x1.解決恒成立問題的方法：(1)若關于 x 的不等式 f(x)m 在區(qū)間 d 上恒成立，則轉化為 f(x)maxm.(2)若關于 x 的不等式 f(x)m 在區(qū)間 d 上恒成立，則轉化為 f(x)minm.(3)導數(shù)是解決函數(shù) f(x)的最大值或最小值問題的有力工具典例 7已知函數(shù) f(x)xln x.(1)若函數(shù) g(x)f(x)ax 在區(qū)間e2，)上為增函數(shù)，

35、求 a 的取值范圍；(2)若對任意 x(0，)，f(x)x2mx32恒成立，求實數(shù) m 的最大值解：(1)由題意得 g(x)f(x)aln xa1.函數(shù) g(x)在區(qū)間e2，)上為增函數(shù)，當 xe2，)時，g(x)0，即 ln xa10 在e2，)上恒成立a1ln x.又當 xe2，)時，ln x2，)1ln x(，3，a3，即 a 的取值范圍為3，)(2)由題知，2f(x)x2mx3，即 mx2xln xx23.又 x0，m2xlnxx23x.令 h(x)2xln xx23x，h(x)（2xln xx23）x（2xln xx23）xx2（2ln x22x）x（2xln xx23）x22xx2

36、3x2，令 h(x)0.解得 x1，或 x3(舍)當 x(0，1)時，h(x)0，函數(shù) h(x)在(1，)上單調遞增h(x)minh(1)4，即 m 的最大值為 4.對點訓練7已知函數(shù) f(x)x312x2bxc.(1)若 f(x)有極值，求 b 的取值范圍；(2)若 f(x)在 x1 處取得極值，當 x1，2時，則 f(x)0 得 112b0，解得 b112.即 b 的取值范圍為，112 .(2)f(x)在 x1 處取得極值，f(1)0，31b0，得 b2.令 f(x)0，得 x23或 x1，f23 2227c，f(1)32c.又 f(1)12c，f(2)2c.f(x)maxf(2)2c，由

37、 f(x)c2在 x1，2上恒成立，得 2c0.解得 c2 或 c0，當 x( 2， 2)時，f(x)0，因此 x1 2，x2 2分別為 f(x)的極大值點、極小值點(2)由(1)的分析可知 yf(x)圖象的大致形狀及走向如圖所示要使直線 ya 與 yf(x)的圖象有 3 個不同交點需54 2f( 2)a1，所以 kx2x5 在(1，)上恒成立，令 g(x)x2x5，由二次函數(shù)的性質得 g(x)在(1，)上是增函數(shù)，所以 g(x)g(1)3，所以所求 k 的取值范圍是為(，3法二：直線 yk(x1)過定點(1，0)且 f(1)0，曲線 f(x)在點(1，0)處切線斜率 f(1)3，由(2)中草

38、圖知要使 x(1，)時，f(x)k(x1)恒成立需 k3.故實數(shù) k 的取值范圍為(，3對點訓練8設函數(shù) f(x)x22kln x，k0.(1)求 f(x)的單調區(qū)間和極值；(2)證明若 f(x)有零點，則 f(x)在區(qū)間(1， e)上僅有一個零點解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)xkxx2kx.因為 k0，所以令 f(x)0 得 x k，列表如下：減區(qū)間為(0， k)，增區(qū)間為( k，)當 x k時，取得極小值 f( k)kkln k2.(2)當 k1，即 00，所以 f(x)在區(qū)間(1， e)上沒有零點當 1 k e，即 1k0，f(e)ek20，f(k)kkln k2k（1l

39、n k）20，此時函數(shù)沒有零點當 k e，即 ke 時，f(x)在(1， e)上單調遞減，f(1)120，f( e)ek20，函數(shù)為增函數(shù)；當 y23，2時，s0，函數(shù)為減函數(shù)當 y23時，s 有最大值這時|pq|2y22383，|pn|4y24232329.游樂園的最大面積為 smax8332925627(km2)對點訓練9某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩端橋墩相距 m 米余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經測算，一個橋墩的工程費用為 256 萬元；距離為 x 米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2 x)x 萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素記余下工程的費用為

40、 y 萬元(1)試寫出 y 關于 x 的函數(shù)關系式；(2)當 m640 米時，需新建多少個橋墩才能使 y 最小？解：(1)設需新建 n 個橋墩，則(n1)xm，即 nmx1，所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1mx(2 x)x256mxm x2m256(0 xm)(2)由(1)知，f(x)256mx212mx12m2x2(x32512)令 f(x)0，得 x32512，所以 x64.當 0 x64 時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0，64)內為減函數(shù)；當 64x0，f(x)在區(qū)間(64，640)內為增函數(shù)所以 f(x)在 x64 處取得最小值，此時 nmx16406419.

41、故需新建 9 個橋墩才能使 y 最小時間：120 分鐘滿分：150 分一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知 f(x)ln xx2，則 f(e)()a.1e3b.1e2c1e2d1e3解析：選 df(x)x2x2xlnxx412ln xx3，f(e)12ln ee31e3.2若函數(shù) f(x)13x3f(1)x2x，則 f(1)的值為()a0b2c1d1解析：選 af(x)13x3f(1)x2x，f(x)x22f(1)x1，f(1)12f(1)1，f(1)0.3曲線 yxx2在點(1，1)處的切線方程為()ay2x

42、1by2x1cy2x3dy2x2解析：選 ayx（x2）x（x2）（x2）22（x2）2，ky|x12（12）22，切線方程為：y12(x1)，即 y2x1.4已知對任意實數(shù) x，有 f(x)f(x)，g(x)g(x)且 x0 時，f(x)0，g(x)0，則 x0，g(x)0bf(x)0，g(x)0cf(x)0df(x)0，g(x)0 時單調遞增，所以 x0; g(x)為偶函數(shù)且 x0 時單調遞增，所以 x0 時單調遞減，g(x)0，f(x)ln x12ax，由于函數(shù) f(x)有兩個極值點，則 f(x)0 有兩個不等的正根， 即函數(shù) yln x1 與 y2ax 的圖象有兩個不同的交點(x0)，

43、 則 a0.設函數(shù) yln x1 上任一點(x0，1ln x0)處的切線為 l，則 kly1x0，當 l 過坐標原點時，1x01ln x0 x0 x01，令 2a1a12，結合圖象知 0a12.8方程 2x36x270 在(0，2)內根的個數(shù)為()a0b1c2d3解析：選 b設 f(x)2x36x27，則 f(x)6x212x6x(x2)x(0，2)，f(x)f(x)，則當 ab 時，下列不等式成立的是()aeaf(a)ebf(b)bebf(a)eaf(b)cebf(b)eaf(a)deaf(b)ebf(a)解析：選 df（x）exexf（x）exf（x）（ex）2exf（x）f（x）（ex）

44、2b，f（a）eaebf(a)11設函數(shù) f(x)是奇函數(shù) f(x)(xr)的導函數(shù)，f(1)0，當 x0 時，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范圍是()a(，1)(0，1)b(1，0)(1，)c(，1)(1，0)d(0，1)(1，)解析：選 a當 x0 時，令 f(x)f（x）x，則 f(x)xf（x）f（x）x20 時，f(x)f（x）x為減函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且由 f(1)0，得 f(1)0，故 f(1)0.在區(qū)間(0，1)上，f(x)0；在(1，)上，f(x)0.即當 0 x0；當 x1 時，f(x)0；當 x(1，0)時，f(x)0 的解集為(，1)(0，1)12若定義在

45、r 上的函數(shù) f(x)滿足 f(0)1，其導函數(shù) f(x)滿足 f(x)k1，則下列結論中一定錯誤的是()af1k 1k1cf1k1 kk1解析：選 c構造函數(shù) f(x)f(x)kx，則 f(x)f(x)k0，函數(shù) f(x)在 r 上為單調遞增函數(shù)1k10，f1k1 f(0)f(0)f(0)1，f1k1 kk11，即 f1k1 kk111k1，f1k1 1k1，故 c 錯誤二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中橫線上)13若曲線 yax2ln x 在點(1，a)處的切線平行于 x 軸，則 a_解析：由曲線在點(1，a)處的切線平行于 x 軸得切線的斜率為

46、0，由 y2ax1x及導數(shù)的幾何意義得 y|x12a10，解得 a12.答案：1214函數(shù) yxex在其極值點處的切線方程為_解析：由題知 yexxex，令 y0，解得 x1，代入函數(shù)解析式可得極值點的坐標為1，1e ，又極值點處的切線為平行于 x 軸的直線，故切線方程為 y1e.答案：y1e15 已知 a0， 函數(shù) f(x)ax312aln x， 且 f(1)的最小值是12， 則實數(shù) a 的值為_解析：f(x)3ax212ax，則 f(1)3a12a.a0)(1)求 f(x)的最小值；(2)若曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為 y32x，求 a，b 的值解：(1)法一：由題設和

47、均值不等式可知，f(x)ax1axb2b，當且僅當 ax1 等號成立，即當 x1a時，f(x)取最小值為 2b.法二：f(x)的導數(shù) f(x)a1ax2a2x21ax2，當 x1a時，f(x)0，f(x)在1a，上單調遞增；當 0 x1a時，f(x)0，即(x22)ex0，注意到 ex0，所以x220，解得 2x0，因此x2(a2)xa0 在(1，1)上恒成立，也就是 ax22xx1x11x1在(1，1)上恒成立設 yx11x1，則 y11（x1）20，即 yx11x1在(1，1)上單調遞增，則 y0 時，f(x)2aaln2a.解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2xax.當

48、a0 時，f(x)0，f(x)沒有零點；當 a0 時，設 u(x)e2x，v(x)ax，因為 u(x)e2x在(0，)上單調遞增，v(x)ax在(0，)上單調遞增，所以 f(x)在(0，)上單調遞增又 f(a)0，當 b 滿足 0ba4且 b14時，f(b)0 時，f(x)存在唯一零點(2)證明：由(1)，可設 f(x)在(0，)上的唯一零點為 x0，當 x(0，x0)時，f(x)0.故 f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增，所以當 xx0時，f(x)取得最小值，最小值為 f(x0)由于 2e2x0ax00，所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a.故當 a

49、0 時，f(x)2aaln2a.20已知函數(shù) f(x)ln xx.(1)判斷函數(shù) f(x)的單調性；(2)若 yxf(x)1x的圖象總在直線 ya 的上方，求實數(shù) a 的取值范圍解：(1)f(x)1ln xx2.當 0 x0，f(x)為增函數(shù)；當 xe 時，f(x)0，f(x)為減函數(shù)(2)依題意得，不等式 a0 恒成立令 g(x)ln x1x，則 g(x)1x1x21x11x .當 x(1，)時，g(x)1x11x 0，則 g(x)是(1，)上的增函數(shù)；當 x(0，1)時，g(x)0，則 g(x)是(0，1)上的減函數(shù)所以 g(x)的最小值是 g(1)1，從而 a 的取值范圍是(，1)21已

50、知函數(shù) f(x)ln xax.(1)若 f(x)存在最小值且最小值為 2，求 a 的值；(2)設 g(x)ln xa，若 g(x)0)，當 a0 時，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)不存在最小值；當 a0 時，由 f(x)0 得 xa，且 0 xa，時 f(x)a 時，f(x)0.xa 時，f(x)取得最小值，f(a)ln(a)12，解得 ae.(2)g(x)x2即 ln xaln xx2，故 g(x)ln xx2在(0，e上恒成立設 h(x)ln xx2，則 h(x)1x2x12x2x，由 h(x)0 及 0 xe 得 x22.當0 x0， 當22xe時， h(x)0， 即

51、h(x)在0，22 上為增函數(shù)， 在22，e上為減函數(shù)，所以當 x22時 h(x)取得最大值為 h22 ln2212.所以 g(x)0(0 xg(0)0，x(0，1)，即當 x(0，1)時，f(x)2xx33 .(3)由(2)知，當 k2 時，f(x)kxx33 對 x(0，1)恒成立當 k2 時，令 h(x)f(x)kxx33 ，則 h(x)f(x)k(1x2)kx4k21x2.所以當 0 x4k2k時，h(x)0，因此 h(x)在區(qū)間0，4k2k上單調遞減故當 0 x4k2k時，h(x)h(0)0，即 f(x)2 時，f(x)kxx33 并非對 x(0，1)恒成立綜上可知，k 的最大值為

52、2.模塊綜合檢測模塊綜合檢測時間：120 分鐘滿分：150 分一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的)1設 a，b 是向量，命題“若 ab，則|a|b|”的逆命題是()a若 ab，則|a|b|b若 ab，則|a|b|c若|a|b|，則 abd若|a|b|，則 ab解析：選 d命題若 p 則 q 的逆命題為若 q 則 p，故選 d.2.下列命題中的假命題是()axr，2x10bxn*，(x1)20cxr，lg x1dxr, tan x2解析：選 b當 x1n*時，x10，不滿足(x1)20，b 為假命題3已知條件 p：x1

53、，條件 q：1x1，則綈 q 是 p 的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 aq：x0 或 x1，綈 q：0 x1，由集合法判斷知綈 q 是 p 的充分不必要條件，故選 a.4雙曲線x2m212y24m21 的焦距是()a4b2 2c8d與 m 有關解析：選 c依題意，a2m212，b24m2，所以 c a2b2 164.所以焦距 2c8.5設 f(x)10 xlg x，則 f(1)等于()a10b10ln 10lg ec.10ln 10ln 10d11ln 10解析：選 bf(x)10 xln 101xln 10，f(1)10ln 10lg e，故選

54、 b.6拋物線 y212x 的準線與雙曲線x29y231 的兩條漸近線所圍成的三角形面積等于()a3 3b2 3c2d. 3解析：選 a拋物線 y212x 的準線為 x3，雙曲線的漸近線為 y33x，則準線與漸近線交點為(3， 3)、(3， 3)所圍成三角形面積 s1232 33 3.7若命題“xr，使 x2(a1)x10”是假命題，則實數(shù) a 的取值范圍為()a1a3b1a3c3a3d1a1解析：選 b根據(jù)題意可得xr，都有 x2(a1)x10，(a1)240.1a3.8對于命題 p：雙曲線x24y2m21(m0)的離心率為 2；命題 q：橢圓x2m2y21(m0)的離心率為32，則 p 是

55、 q 的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 a雙曲線x24y2m21(m0)的離心率為2 時可得 m2；橢圓x2m2y21(m0)的離心率為32時，可得 m2 或 m12.所以 p 是 q 的充分不必要條件9若 a0，b0，且函數(shù) f(x)4x3ax22bx2 在 x1 處有極值，則 ab 的最大值等于()a2b3c6d9解析：選 df(x)12x22ax2b，4a296b0，又 x1 是極值點，f(1)122a2b0，即 ab6，ab（ab）249，當且僅當 ab 時“”成立，ab 的最大值為 9，故選 d.10設函數(shù) f(x)13xln x(x0)

56、，則 yf(x)()a在區(qū)間1e，1，(1，e)內均有零點b在區(qū)間1e，1，(1，e)內均無零點c在區(qū)間1e，1內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點d在區(qū)間1e，1內有零點，在區(qū)間(1，e)內無零點解析：選 c由題意得 f(x)x33x，令 f(x)0 得 x3；令 f(x)0 得 0 x3；f(x)0得 x3，故知函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3，)上為增函數(shù)，在點 x3處有極小值 1ln 30；又 f(1)130，f(e)e310，f1e 13e10.故選 c.11過點 p(0，3)的直線與雙曲線x24y231 只有一個公共點，則這樣的直線有()a1 條b2 條c3 條d

57、4 條解析：選 d數(shù)形結合直線與雙曲線只有一個公共點，有兩個可能：一是直線恰與雙曲線相切，二是直線與雙曲線的漸近線平行根據(jù)圖形的對稱性共有 4 條12已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f(x)x(ln xax)有兩個極值點 x1，x2(x1x2)，則()af(x1)0，f(x2)12bf(x1)0，f(x2)12cf(x1)0，f(x2)12df(x1)0，f(x2)12解析：選 d函數(shù) f(x)x(ln xax)有兩個極值點 x1，x2(x1x2)，則 f(x)ln x2ax1有兩個零點，即方程 ln x2ax1 有兩個根，由數(shù)形結合易知 0a12且 0 x11x2，因為在(x1，x2)上 f(x)遞

58、增，所以 f(x1)f(1)f(x2)，即 f(x1)af(x2)，所以 f(x1)0，f(x2)12.故選 d.二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分)13設命題為“若 k0，則關于 x 的方程 x2xk0 有實數(shù)根”該命題的否定、逆命題、否命題和逆否命題中假命題的個數(shù)為_解析：命題的否定：若 k0，則關于 x 的方程 x2xk0 沒有實數(shù)根假命題；逆命題：若關于 x 的方程 x2xk0 有實數(shù)根，則 k0.假命題；否命題：若 k0，則關于 x 的方程 x2xk0 沒有實數(shù)根假命題；逆否命題：若關于 x 的方程 x2xk0 沒有實數(shù)根，則 k0.真命題答案：314 橢圓

59、x264y2481的焦點為f1， f2， 點p在橢圓上， 若|pf1|10， 則spf1f2_解析：由已知，a264，b248，c216，p 在橢圓上，|pf1|pf2|16.|pf1|10，|pf2|6.|f1f2|2c8，pf1f2為直角三角形，且pf2f190，spf1f224.答案：2415若函數(shù) f(x)kx33(k1)x2k21 在區(qū)間(0，4)上是減函數(shù)，則 k 的取值范圍是_解析：f(x)3kx26(k1)x.由題意，知k0，f（4）0或k0，f（0）0，解得 k13.答案：，1316已知點 f1，f2分別是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點，過 f1且垂直于x

60、 軸的直線與雙曲線交于 a，b 兩點，若abf2是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖所示，由題意可知|af1|b2a，若abf2是鈍角三角形，則需af2b 為鈍角，故af2f145，即 tanaf2f1b2a2c1，化簡可得 b22ac，即 c2a22ac0，兩邊同除以 a2，可得 e22e10，因為 e1，所以解得 e1 2.答案：(1 2，)三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17已知 p：“直線 xym0 與圓(x1)2y21 相交”；q：“mx2xm40有一正根和一負根”，若 pq 為真，綈 p 為真，求實數(shù) m 的取