302周期信號的頻譜分析——傅里葉級數(shù)53108

1、x主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差x一三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) tntn11sin,cos 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211 tttmtn nmnmttmtntt, 0,2coscos2211 nmnmttmtntt, 0,2sinsin2211 由積分可知由

2、積分可知1.三角函數(shù)集x 1112 , , tttf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號周期信號在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時，可展成時，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 tttttfta00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 tttnttntfta00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 tttnttntftb00dsin)(21 稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2級數(shù)形式x其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式

3、正弦形式正弦形式00ad arctannnnabnnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf x關(guān)系曲線稱為關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖相位頻譜圖?？僧嫵隹僧嫵鲱l譜圖。頻譜圖。周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 nc n幅度頻率特性和相位頻率特性的線性組合。的線性組合。基波角頻率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號可分解為直流周期信號可分解為直流:11 nx二指數(shù)函數(shù)形式的傅里

4、葉級數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2級數(shù)形式級數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1deede)()(ttntnttntttfnf 4 e)()(1j1tnnnftf 5 de )(1110j ttnttft 利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nf 也可寫為也可寫為x說明 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號區(qū)間上的指數(shù)信號周期信號可分解為周期信號可分解為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnftf 5 de)(1110j1 ttnttftnf x三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 ttnttftnf0j1de )(1)(1 t

5、tttntftttntft0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 ttttntftttntftnf01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnfnf j11e)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nfnf xnnncbanf2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnabarctan 幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實實際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnfnbnannx1 13 nc0c1c3co1 13 n o 頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜

6、相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnfc曲線曲線 nx四總結(jié)（1）周期信號周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式的傅里葉級數(shù)有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負頻率引入負頻率x(1)周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式= 110)cos(nnntncc 三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnftf1j1e)()( x 0001021)(acfncnfn (2)兩種頻譜圖的關(guān)系)()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函

7、數(shù)數(shù) nnc，三角函數(shù)形式：三角函數(shù)形式：單邊頻譜單邊頻譜 nnf，指數(shù)函數(shù)形式：指數(shù)函數(shù)形式：雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系)()( 11 nfnf 偶偶函函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度頻頻譜譜為為x(3)三個性質(zhì) 的譜線唯一的譜線唯一惟一性：惟一性：處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出（離散性），頻率只出諧波性：諧波性：收斂性：收斂性：)(,11tfnnfn (4)引入負頻率對對于于雙雙邊邊頻頻譜譜，負負頻頻率率)(1 n，只只有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)意意義義，而而無無物物理理意意義義。為為什什么么引引入入負負頻頻率率? ? 的實函數(shù)的性質(zhì)不變。的實函數(shù)的性質(zhì)不變。，才能保證，才能保證和和數(shù)，必須有共軛對數(shù)

8、，必須有共軛對是實函數(shù)，分解成虛指是實函數(shù)，分解成虛指)(ee11jjtftfnn 注意：注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性x五函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)x1偶函數(shù)為實函數(shù)。為實函數(shù)。項。項。項，只含直流項和余弦項，只含直流項和余弦傅里葉級數(shù)中不含正弦傅里葉級數(shù)中不含正弦)(1 nf信號波形相對于縱軸是對稱的信號波形相對于縱軸是對稱的)()(tftf )(tfottet 0 nb 2010dcos)(4tnttntfta nnnnabanff21j21)(1 0 n x2奇函數(shù))()(tftf 對稱的：

9、對稱的：波形相對于縱坐標是反波形相對于縱坐標是反)(tfottt 11 為虛函數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級數(shù)中無余弦分傅里葉級數(shù)中無余弦分)(1 nf 0= d)(1 220 ttttfta 0dcos)(2221 ttnttntfta tnttntftb01dsin)(2 nnnnbbanffj21j21)(1 2010dsin)(4tttntft x2,4,6 0nnnab時3奇諧函數(shù) 201dcos)(4 5 , 3 , 1tnttntftan 時時 201dsin)(4tnttntftb f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即)(tfottt 2t 2)(ttf

10、tf若波形沿時間軸平移半個周若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化：此時波形并不發(fā)生變化：00 ax 21ttftf112t 4偶諧函數(shù) 20111dsin)(4tnttntftb 1,3,5 0nnnab當時 20111dcos)(4 6 , 4 , 2tnttntftan 時時當當f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量)(tfot1t1t 21t 21t稱為偶諧函數(shù)。稱為偶諧函數(shù)。與原波形重合，與原波形重合，波形移動波形移動21t x六周期信號的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號平均功率周期信號平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說，也就是說，時域和頻域的能量是守恒時域和頻域的能量是守恒的。的。 繪成的線狀圖形，表示繪成的線狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)功率譜系數(shù)。 2nf nnnnnnnfcabaa21220122202121 tttftp