人教版高中數學選修11課后提升作業(yè) 十三 2.2.2.1 Word版含解析

1、高中數學選修精品教學資料課后提升作業(yè) 十三雙曲線的簡單幾何性質(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.若實數k滿足0<k<5,則曲線x216-y25-k=1與曲線x216-k-y25=1的()a.實半軸長相等b.虛半軸長相等c.離心率相等d.焦距相等【解析】選d.因為0<k<5,所以兩方程都表示雙曲線,由雙曲線中c2=a2+b2得其焦距相等.2.等軸雙曲線的一個焦點是f1(-6,0),則它的標準方程是()a.y218-x218=1b.x218-y218=1c.x28-y28=1d.y28-x28=1【解析】選b.設等軸雙曲線方程為x2a2-y2a2=1(

2、a>0),所以a2+a2=62,所以a2=18,故雙曲線方程為x218-y218=1.【補償訓練】以橢圓x216+y29=1的頂點為頂點,離心率為2的雙曲線方程為()a.x216-y248=1b.y29-x227=1c.x216-y248=1或y29-x227=1d.以上都不對【解析】選c.當頂點為(±4,0)時,a=4,c=8,b=43,雙曲線方程為x216-y248=1;當頂點為(0,±3)時,a=3,c=6,b=33,雙曲線方程為y29-x227=1.3.(2015·全國卷)已知m(x0,y0)是雙曲線c:x22-y2=1上的一點,f1,f2是c的左、

3、右兩個焦點.若mf1·mf2<0,則y0的取值范圍是()a.-33,33b.-36,36c.-223,226d.-233,233【解析】選a.由雙曲線方程可知f1(-3,0),f2(3,0),因為mf1·mf2<0,所以(-3-x0)(3-x0)+(-y0)(-y0)<0.即x02+y02-3<0,所以2+2y02+y02-3<0,y02<13,所以-33<y0<33.4.(2016·浙江高考)已知橢圓c1：+y2=1(m>1)與雙曲線c2：-y2=1(n>0)的焦點重合,e1,e2分別為c1,c2的離心

4、率,則( )am>n且e1e2>1bm>n且e1e2<1cm<n且e1e2>1dm<n且e1e2<1【解析】選a.由題意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2= ,因為m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>15.(2016·吉林高二檢測)已知雙曲線x29-y2m=1的一個焦點在圓x2+y2-4x-5=0上,則雙曲線的漸近線方程為()a.y=±34xb.y=±43xc.y=±223xd.y=±324x【解析】選b.

5、因為方程表示雙曲線,所以m>0,因為a2=9,b2=m,所以c2=a2+b2=9+m,所以c=9+m.因為雙曲線的一個焦點在圓上,所以9+m是方程x2-4x-5=0的根,所以9+m=5,所以m=16,所以雙曲線的漸近線方程為y=±43x.【補償訓練】(2015·安徽高考)下列雙曲線中,焦點在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()a.x2-y24=1b.x24-y2=1c.y24-x2=1d.y2-x24=1【解析】選c.由雙曲線的焦點在y軸上,排除a,b;對于d,漸近線方程為y=±12x,而對于c,漸近線方程為y=±2x.6.若雙曲線y2

6、5-x2m=1的漸近線方程為y=±53x,則雙曲線焦點f到漸近線的距離為()a.2b.3c.4d.5【解析】選b.由已知可知雙曲線的焦點在y軸上,所以ab=5m=53.所以m=9.所以雙曲線的焦點為(0,±14),焦點f到漸近線的距離為d=3.7.(2016·鄭州高二檢測)雙曲線x24-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于()a.25b.45c.255d.455【解析】選c.雙曲線的漸近線為直線y=±12x,即x±2y=0,頂點為(±2,0),所以所求距離為d=|±2±0|5=255.8.已知雙曲線x2a2-y2b2

7、=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均與c:x2+y2-6x+5=0相切,則該雙曲線離心率等于()a.355b.62c.32d.55【解析】選a.圓的標準方程為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標為c(3,0),半徑r=2,雙曲線的漸近線為y=±bax,不妨取y=bax,即bx-ay=0,因為漸近線與圓相切,所以圓心到直線的距離d=|3b|a2+b2=2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=45a2=c2-a2,即95a2=c2,所以e2=95,e=355,選a.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2015·全國卷)已知雙曲線過點(4,3),

8、且漸近線方程為y=±12x,則該雙曲線的標準方程為_.【解析】根據雙曲線漸近線方程為y=±12x,可設雙曲線的方程為x24-y2=m,把(4,3)代入x24-y2=m,得m=1.答案:x24-y2=1【延伸探究】求雙曲線方程的兩個關注點1.根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程,一般用待定系數法轉化為解方程(組),但要注意焦點的位置,從而正確選擇方程的形式.2.利用漸近線與雙曲線的位置關系,設有公共漸近線的雙曲線系方程x2a2-y2b2=(0),這樣可避免分類討論,從而減少運算量,提高解題速度與準確性.10. (2016·北京高考)已知雙曲線(a0,b0)的一條漸近

9、線為2x+y=0,一個焦點為(,0),則a= ,b= .【解題指南】焦點在x軸的雙曲線的漸近線為y=±x,焦點(±c,0).【解析】因為漸近線方程y=-2x,所以=2.焦點(,0) ,所以c=.所以a2+b2=c2=5.由聯立解得a=1,b=2.答案：1 2三、解答題(每小題10分,共20分)11.設雙曲線x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點,且原點到直線l的距離為34c,求雙曲線的離心率.【解題指南】由截距式得直線l的方程,再由雙曲線中a,b,c的關系及原點到直線l的距離建立等式,從而求出離心率.【解析】由l過兩

10、點(a,0),(0,b),得l的方程為bx+ay-ab=0.由原點到l的距離為34c,得aba2+b2=34c.將b=c2-a2代入,平方后整理,得16a2c22-16×a2c2+3=0.令a2c2=x,則16x2-16x+3=0,解得x=34或x=14.由e=ca有e=1x.故e=233或e=2.因為0<a<b,故e=ca=a2+b2a=1+b2a2>2,所以e=233應舍去,故所求離心率e=2.12.如圖所示,雙曲線的中心在坐標原點,焦點在x軸上,f1,f2分別為左、右焦點,雙曲線的左支上有一點p,f1pf2=3,且pf1f2的面積為23,又雙曲線的離心率為2,

11、求該雙曲線的標準方程.【解析】設雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),f1(-c,0),f2(c,0),p(x0,y0).在pf1f2中,由余弦定理,得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|·|pf2|·cos3=(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|·|pf2|,即4c2=4a2+|pf1|·|pf2|.又因為spf1f2=23,所以12|pf1|·|pf2|sin3=23.所以|pf1|·|pf2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.又因為e=ca=2,所以a2=23.所以雙曲線的標準方程為x223-y22=1.【能力挑戰(zhàn)題】已知雙曲線x23-y2b2=1的右焦點為(2,0).(1)求雙曲線的方程.(2)求雙曲線的漸近線與直線x=-2圍成的三角形的面積.【解析】(1)因為雙曲線的右焦點坐標為(2,0),且雙曲線方程為x23-y2b2=1,所以c2=a2+b2=3+b