大學微積分經濟管理類02001

1、 1 微 積 分章學誠 劉西垣 編著普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”家級規(guī)劃教材家級規(guī)劃教材(經濟管理類)第三章 2 第三章 導數和微分3.33.53.2導數概念導數概念求導法則求導法則基本求導公式基本求導公式高階導數高階導數函數的微分函數的微分導數和微分在經濟學中的簡單應用導數和微分在經濟學中的簡單應用3.43.63.1 3 第三章 導數和微分 他以幾乎神一般的思維力，最先說明了行星的運動他以幾乎神一般的思維力，最先說明了行星的運動和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐 牛頓墓志銘牛頓墓志銘 （微積分）是由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，（微積分）是由牛頓和萊布尼茨

2、大體上完成的， 但不是由他們發(fā)明的但不是由他們發(fā)明的恩格斯恩格斯3.13.23.33.43.53.63.13.33.23.43.53.6 4 微積分學大致產生于 17 世紀下半葉，在整個數學發(fā)展史上是自歐幾里得幾何學 (約建立于公元前 3 世紀) 之后的一個最大的創(chuàng)造雖然它的思想萌芽可追溯到古希臘時期，但它的創(chuàng)立，首先是為了解決 17 世紀所面臨的許多科學問題 一元函數微積分可分成一元函數微分學和一元函數積分學兩部分微分學是積分學的基礎 導數（或微商）和微分是一元函數微分學中兩個密切相關的基本概念3.13.33.23.43.53.6 5 引發(fā)導數概念的問題主要有： 1) 已知直線運動的路程函數

3、 s(t)，求物體運動的速度 v； 2) 求曲線的切線； 3) 求函數的最大、最小值 這些問題最終可歸結為求一個函數的因變量相對于自變量變化的快慢，即 “變化率”，這就是函數的導數概念從局部來看, 微分是函數的線性近似, 它在一元函數積分學中起重要作用導數可以看成是函數的微分與自變量的微分之比, 故又稱微商 本章主要闡述函數的導數和微分的概念以及它們之間的關系，并給出它們的運算法則和計算方法，最后介紹導數和微分概念在經濟學中的簡單應用3.13.33.23.43.53.6 6 3.1 導 數 概 念3.1.13.1.23.1.33.1.4兩個經典問題兩個經典問題導數概念和導函數導數概念和導函數單

4、側導數單側導數函數可導與連續(xù)的關系函數可導與連續(xù)的關系3.13.33.23.43.53.6 7 3.1.1 3.1.1 兩個經典問題兩個經典問題 在闡述函數的導數概念之前, 先介紹兩個古典的例子 例例 1 曲線的切線. 在 17 世紀, 為了設計光學透鏡和了解行星的運動方向, 必須知道曲線的切線 大家知道, 圓的切線是與圓只有一個交點的直線但這樣認識曲線的切線沒有普遍意義. 給定曲線 c：y = f (x) ( xd ), 假設 u (x0) 是點 x0 的一個鄰域，u (x0) d, 則 p0(x0, f (x0)c. 現在的問題是：什么是曲線 c 在點 p0 處的切線？這切線的斜率如何計算

5、？3.13.33.23.43.53.6 8 給定曲線 c：y = f (x) ( xd )，假設 u (x0) 是點 x0 的一個鄰域, u (x0) d, 則 p0(x0, f (x0)c. 現在的問題是: 什么是曲線 c 在點 p0 處的切線？這切線的斜率如何計算？ 設 xu (x0), xx0, 且點 p(x, f (x)c, 則直線 p0p 稱為 c 的割線. 當點 p 沿曲線 c 趨于 p0 時, 如果 p0p 繞點 p0 旋轉而趨于一個極限位置 p0t, 則直線 p0t 就稱為曲線 c 在點 p0 處的切線 (如圖 3-1), 即:當點 時, 直線 p0p切線 p0t. 為確定切線

6、 p0t, 關鍵是要求出它的斜率 k = tan a, 其中a 是 p0t 的傾角0cpp沿 圖 3-13.13.33.23.43.53.6 9 為此, 設割線 p0p 的傾角為j, 記 x = x - x0， y = f (x) - f (x0) = f (x0 +x) - f (x0)，則 而點 p p0 等價于x x0，即x 0故若切線 p0t 存在，則有即切線 p0t 的斜率(3.1) 求出了切線 p0t 的斜率, 切線 p0t 也就確定了 圖 3-1tan.yxj00tanlim tanlim,xxyxaj 0000( )()limlim.xxxf xf xykxxx -3.13.3

7、3.23.43.53.6 10 例例 2 直線運動的瞬時速度. 設一物體做直線運動, 其運動方程為 s = s(t) (0tt1), 其中 s(0) = 0，它表示物體行走的路程 s 與所經歷的時間 t 之間的關系（如圖 3-2） 設 t0, t0+t0, t1, 則在時間段 t0, t0+t (設t 0) 內物體行走的路程s = s(t0+t) - s(t0). 在這時間段內物體的平均速度如果物體做勻速直線運動，則其平均速度 v 是一個常數，與 t0 和t 無關，這是最簡單的直線運動圖 3-200( ,).sv tttt 在自然界和日常生活中人們所遇到的直線運動大多是非勻速運動，例如自由落體

8、，下落的時間越久，在單位時間內下落的距離越大，即它是一個變速運動. 在這種情況下，平均速度不能精確地刻畫物體的運動狀況隨之就提出了瞬時速度的概念3.13.33.23.43.53.6 11 例例 2 直線運動的瞬時速度. 如果極限存在，就稱此極限值為物體在時刻 t0 的瞬時速度，簡稱速度，記為 v(t0). 所以(3.2) 對于曲線運動, 其速度不僅有大小, 還有方向, 速度的方向就是曲線的切線方向. 人類在研究天體的運動時, 必須知道天體運動的速度. 速度的概念對于理解物體的運動具有極其重要的意義.0000lim ( ,)limttsv t ttt 00000()( )( )limlim.tt

9、s tts tsv ttt -3.13.33.23.43.53.6 12 3.1.2 3.1.2 導數概念和導函數導數概念和導函數 上面例 1 中的切線問題是一個幾何問題, 而例 2 中的速度則是一個力學概念, 在計算切線的斜率和運動的速度時都要遇到函數值的增量與自變量的增量之比的極限, 它們的抽象就導致函數的導數概念 定義 1 設函數 y = f (x) 在點 x0 的某一鄰域 u (x0) 上有定義. 如果對于自變量 x 在點 x0 的增量x (x0 +xu (x0)）和相應的函數值的增量y = f (x0 +x) - f (x0), 比值 當x 0 時有極限, 則稱函數 f (x) 在點

10、 x0 可導, 并稱此極限為函數 f (x) 在點 x0 的導數（或微商）, 記為 f (x0), 即(3.3)yx0000()()( )limlim.xxf xxf xyfxxx -3.13.33.23.43.53.6 13 這個定義可以用另一種形式表示： 若記 x = x0 +x, 則x 0 即為 x x0, 因此(3.3) 函數 y = f (x) 在點 x0 的導數也可用 或 或 表示 所以, 導數 f (x0)表示曲線 c: y = f (x) 在點 p0(x0, f (x0) 的切線p0t 的斜率, 從而按直線的點斜式方程知, 曲線 c: y = f (x) 在點p0(x0, f

11、(x0) 處切線 p0t 的方程為y - f (x0) = f (x0)(x-x0). (3.4)0000( )()()lim.xxf xf xfxxx-0|x xy0ddx xyx0d ( )dx xf xx3.13.33.23.43.53.6 14 在力學中, 導數 s (t0) 表示直線運動 s = s(t) 在時刻 t0 的瞬時速度, 即v(t0) = s (t0). (3.2) 在實際應用中, 通常把導數 稱為變量 y 對變量 x 在點x0 的變化率, 它表示函數值的變化相對于自變量的變化的快慢. 這樣, 曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點的縱坐標對該點的橫坐標的變化率, 速度可以說

12、成是行走的路程對于時間的變化率. 變化率有廣泛的實際意義, 例如: 加速度就是速度對于時間的變化率, 角速度就是旋轉的角度對于時間的變化率, 線密度就是物質線段的質量對線段長度的變化率, 功率就是所做的功對于時間的變化率, 等等0ddx xyx 15 牛頓 (i. newton, 16421727), 偉大的英國數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家. 他給出了求一個變量對另一個變量的變化率的普遍方法, 而且證明了求面積的問題可以作為求變化率的反問題而得到解決, 這就是現在所稱的微積分基本定理. 雖然他的先驅者在特殊的例子中觀察到了這一點, 但并未認識到它的普遍意義. 可以說正是牛頓在先前許多

13、杰出的數學家作出的貢獻的基礎上, 以他的敏銳和洞察力, 完成最后最高的一步, 成就了微積分學的創(chuàng)建工作在他的著述中, 用的是無窮小量的方法, 他所說的“瞬”, 就是無窮小量, 或者微元, 或者不可分的量. 他將現在所說的導數稱為“流數”, 牛頓關于微積分的工作有鮮明的力學和幾何色彩 16 牛頓生于英格蘭的一個小村莊, 出生前即喪父, 在地方學校接受初等教育, 除對機械設計有興趣外未顯示出有特殊的才華. 1661年他進入劍橋大學三一學院, 受教于數學家 i. 巴羅, 并做實驗, 研究笛卡兒的 “幾何” 以及哥白尼、開普勒、伽利略、沃利斯等人的科學著作, 1665 年獲文學士學位 此后二年因躲避倫

14、敦的鼠疫回到家鄉(xiāng), 開始他在機械、數學和光學方面的偉大工作, 其中包括解決微積分問題的一般方法, 但他沒有及時發(fā)表所獲得的成果, 1667年回到劍橋, 當選為三一學院的研究員, 次年獲碩士學位. 1669 年被委任接替巴羅任教授直至 1701 年, 由于需處理一些技術問題, 以及嚴重的神經衰弱和經濟方面的原因, 于1696 年受命任皇家造幣廠監(jiān)督, 1703 年任英國皇家學會會長, 1705年受女王封爵, 晚年潛心于自然哲學和神學 17 他由于 1672 年和 1675 年發(fā)表的兩篇光學論文曾遭到了不同觀點學者的嚴厲批評, 所以直到 1687 年才在天文學家 e. 哈雷的鼓勵和資助下發(fā)表了他的

15、巨著自然哲學的數學原理（三卷）, 其中包含它在微積分學方面的工作. 他分別于 1669 年、1671 年和 1676 年完成的三本關于微積分的著作直到18世紀才正式出版. 從現在的觀點來看, 牛頓關于微積分的基本概念的闡述和運算方法的證論是不很清晰和嚴密的18 世紀達朗貝爾 (j. l. r. dalembert, 17171783）指出微積分的基礎可建立在極限的基礎上, 導數的這個定義是波爾察諾于 1817 年和柯西于 1823 年給出的.3.13.33.23.43.53.6 18 如果函數 y = f (x) 在開區(qū)間 i 中的每一點都可導, 則稱函數 f (x) 在區(qū)間 i 上可導 這時

16、, 對每一個 xi, f (x) (xi ) 可以看成是定義在 i 上的一個新的函數, 稱它為原來的函數 f (x) 的導函數（或簡稱導數）, 也可以說成 y 對 x 的導數,并記為 y 或 或 也可記為 或 注意, 在這里 或 是一個整體, “ ”表示對 x 求導, 表示 y 作為 x 的函數對 x 求導 由此可見, f (x) 在點 x0 的導數 f (x0) 就是導函數 f (x) 在點 x0 的值, 即 或0()( )( )lim.xf xxf xfxx -ddyxd,dfxddyxd( ).df xxddyxddfxddxddyx00()( ) |x xfxfx00d().dxxyy

17、 xx3.13.33.23.43.53.6 19 例例 3 求函數 f (x) = c（常數）的導數. 解 在任意一點 x, 由于y = f (x +x) - f (x) = c - c = 0,故 f (x) = 0. 所以常數的導數恒等于零, 即(c ) = 0.3.13.33.23.43.53.6 20 例例 4 求冪函數 f (x) = x n (nn) 的導數. 解 對任意一點 x 和它的增量 h, 由于 n 是正整數, 由二項式定理, 有所以即 (x n ) = n x n-1.122122()(1)2!(1),2!nnnnnnnnnnyxhxn nxnxhxhhxn nnxhxh

18、h- -ll121100(1)()limlim,2!nnnnnhhyn nxnxxhhnxh- l3.13.33.23.43.53.6 21 例例 5 求函數 的導數. 解 對任意的 x, x0,1yx0002111limlim1lim()1.xxxyxxxyxxxx xxx - - -3.13.33.23.43.53.6 22 例例 6 求指數函數 y = a x 的導數 解 由 2.6.3 小節(jié), 故即 (a x) = a x ln a. 特別, (e x ) = e x.000(ln )01limlimlime1lim.xxxxxxxxaxxxyaaayaxxxax - -0e1lim1

19、,hhh-(ln )0e1limlnln ,(ln )axxxxyaaaaax - 3.13.33.23.43.53.6 23 例例 7 求正弦函數 y = sin x 的導數 解 即 (sin x) = cos x. 同理可證, (cos x) = - sin x.000sinsin()sin2limlim 2cos2sin2lim coscos .22xxxxxxxxyxxxxxxxx - 3.13.33.23.43.53.6 24 例例 8 設函數 f (x) 在 x = a 點可導, 且求 f (a). 解 設x = -2h, 則 h 0 即x 0, 所以01lim.(2 )( )4h

20、hf ahf a-000()( )(2 )( )( )limlim21(2 )( )lim2142.2xhhf axf af ahf afaxhf ahf ah - - - -3.13.33.23.43.53.6 25 例例 9 求雙曲線 的平行于直線 l: x + 4y + 5 = 0 的切線方程 解 問題的關鍵是要求出雙曲線上的一點, 在該點曲線的切線與 l 平行. 設點 是雙曲線上這樣的點. 由于故雙曲線在點 p0 的切線 p0t 的斜率為 由于 p0tl, 而 l 的斜率為 故 即從而x02 = 4, 即 x0 = 2.1yx0001,pxx211,yxx -0201.kx -1,4-

21、01,4k -2011.4x- -3.13.33.23.43.53.6 26 例例 9 求雙曲線 的平行于直線 l: x + 4y + 5 = 0 的切線方程 續(xù)解 由上可知雙曲線在點 和 的切線均與給定的直線 l 平行雙曲線在這兩點的切線方程分別為 和即 x + 4y - 4 = 0 和 x + 4y + 4 = 0.1yx12,212,2-1111(2)( 2) ,2424yxyx- - - - -3.13.33.23.43.53.6 27 3.1.3 3.1.3 單側導數單側導數 函數的導數實際上是一種特殊形式的函數極限函數有左、右極限的概念, 因此也可以定義函數在一點的左、右導數對于分

22、段函數, 如何判斷它在分段點處的可導性, 就要用到在分段點處的左、右導數 定義 2 設函數 y = f (x) 在 x0 點及其一個左(右)鄰域(x0-, x0) (x0, x0+)有定義. 如果極限存在, 則稱此極限為函數 f (x) 在 x0 的左(右)導數,記為 f-(x0) (f+(x0).000000()()()()limlimxxf xxf xf xxf xxx- - -3.13.33.23.43.53.6 28 因此 左、右導數統(tǒng)稱為單側導數 由函數極限與其左、右極限之間的關系, 可知 函數 f (x0) 在點 x0 可導 f (x) 在點 x0 的左、右導數存在且相等00000

23、000000000()()( )()()limlim,()()( )()()limlim.xxxxxxf xxf xf xf xfxxxxf xxf xf xf xfxxxx- - -3.13.33.23.43.53.6 29 例例 10 求絕對值函數 y = f (x) = | x | 的導數 解 當 x 0 時, f (x) = x. 故 f (x) = 1. 當 x 0 時直線 y = x 的斜率 y = 1, 當 x 0 時直線 y = - x 的斜率 y = - 1, 當 x = 0 時圖形上原點 o 是一個尖點, 沒有切線3.13.33.23.43.53.6 30 例例 11 設

24、求 g (x). 解 當 x 1 時, g(x) = x2 + 1. 設 x +x 1 時, g(x) = 2x. 設 x +x 1, 則 21,1;( )2 ,1.xxg xxx22020()1(1)( )lim2()lim2 .xxxxxg xxx xxxx - 02()2( )lim2.xxxxg xx -3.13.33.23.43.53.6 31 例例 11 設 求 g (x). 續(xù)解 當 x = 1 時, g(1)=2,所以, g- (1) = g+(1) = 2, 從而 g (1) = 2. 綜上所述, 有 或21,1;( )2 ,1.xxg xxx2002000(1)(1)(1)

25、12(1)limlim2()lim2,(1)(1)2(1)2(1)limlim2.xxxxxgxgxgxxxxxgxgxgxx- - - - - 從例 11 可見, 對分段函數求在分段點處的導數比較麻煩,下面的定理給出了較為快捷的方法（參見習題四第 8 題）2 ,1;2 ,1;( )( ).2,1,2,1xxxxg xg xxx3.13.33.23.43.53.6 32 定理 3.1 設0. 1) 如果函數 f (x) 在 x0, x0 +) 上連續(xù), 在 (x0, x0 +) 上可導, 且當 x x0+ 時 f (x) a, 則 f+(x0)=a. 2) 如果函數 f (x) 在 (x0 -

26、, x0 上連續(xù), 在 (x0 -, x0) 上可導, 且當 x x0- 時 f (x) b, 則 f-(x0) = b. 依此定理, 在例11中, g(x)在(-,+)上連續(xù), 在 (1,+) 和 (-,1) 上可導,且 故 g+(1) = 2, g-(1) = 2, 從而 g (1) = 2. 例 11 設 求 g (x). 21,1;( )2 ,1.xxg xxx2 ,1;( )2,1,xxg xx1111lim( )lim 22, lim( )lim 22,xxxxg xg xx-3.13.33.23.43.53.6 33 3.1.4 3.1.4 函數可導與連續(xù)的關系函數可導與連續(xù)的關

27、系 由導數 f (x0) 的定義可知, 如果導數 f (x0) 存在, 則當x 0 時必有y = f (x0 +x) - f (x0) 0（見習題二第 13 題）, 即函數 f (x) 在點 x0 連續(xù). 所以, 可導與連續(xù)的關系是： 函數 f (x) 在點 x0 連續(xù)是 f (x) 在點 x0 可導的必要條件, 但不是充分條件. 從例 10 可見, 雖然函數 f (x) = | x | 在點 x = 0 連續(xù), 但在點 x = 0 不可導 例 10 求絕對值函數 y = f (x) = | x | 的導數.答案: f (x) = | x | 在點 x = 0 不可導, 1,0;|1,0.xx

28、x-3.13.33.23.43.53.6 34 例例 12 判斷分段函數在點 x = 0 是否可導 解 因為j (0+ ) = j (0) = 0, j (0- ) = 1, 故 j (x) 在點 x = 0 不連續(xù), 從而在點 x = 0 必不可導21,0;( )3 ,0 xxxxxj3.13.33.23.43.53.6 35 3.2 求 導 法 則3.2.13.2.23.2.3函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則反函數求導法則反函數求導法則復合函數求導法則復合函數求導法則3.13.33.23.43.53.6 36 3.2.1 3.2.1 函數的和、差、積、商的求導法

29、則函數的和、差、積、商的求導法則 定理 3.2 設函數 u(x) 和 v(x) 均在 x 點可導, 則它們的和、差、積、商 (分母不等于 0) 也均在 x 點可導, 且(u(x) v(x) = u (x) v (x), (3.5)(u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), (3.6)(3.7) 證 只證明 (3.7) 式, (3.5) 和 (3.6) 可同樣證明2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xv x u xu x v xv xv xvx-3.13.33.23.43.53.6 37 (3.7) 證 由導數的定義, 設 則 記u =

30、u(x +x) - u(x), v = v(x +x) - v(x), 則( )( ),( )u xf xv x()().()u xxf xxv xx 000000()( )()( )( )limlim()( )() ( )( ) ()lim( ) ()( ( ) ( )( )( ( )( )( )limlim( ) ()( ) ()limxxxxxxf xxf xu xxu xfxxv xxv xxu xx v xu x v xxv x v xxxu xu v xu x v xvv xuu xvv x v xxxv x v xxx - - - 201( ) ( )( ) ( )( )( )l

31、im.( ) ()( )xuvu x v xu x v xv xu xxxv x v xxvx -2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xv x u xu x v xv xv xvx-這就得到(3.7).3.13.33.23.43.53.6 38 (u(x) v(x) = u (x) v (x), (3.5)(u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), (3.6) 公式 (3.5) 和 (3.6) 可推廣到多個函數的情況, 如(uvw) = uvw + uvw + uvw. 由于 (c ) = 0, 從 (3.6) 可得(cu(x) = c

32、u(x).3.13.33.23.43.53.6 39 例例 1 設 f (x) = 3x4 + 5x2 x + 8. 求 f (x). 解 由 3.1 節(jié)例 3 和例 4, f (x) = (3x4 + 5x2 x + 8) = (3x4) + (5x2) - (x) + (8) = 3(x4) + 5(x2) - 1 + 0 = 34x3 + 52x - 1 = 12x3 + 10 x - 1. 例 3 求函數 f (x) = c (常數) 的導數. 例 4 求冪函數 f (x) = x n (nn) 的導數.答案: (c ) = 0; (x n ) = n x n-1.3.13.33.23

33、.43.53.6 40 例例 2 設 g(x) = x23x. 求 g (x) 和 g (2). 解 由 3.1 節(jié)例 4 和例 6,g (x) = (x2) 3x + x2(3x) = 2x3x + x23x ln 3.所以 g (2) = (2x3x + x23x ln 3)|x=2 = 432 + 432 ln 3 = 36(1 + ln 3). 例 4 求冪函數 f (x) = x n (nn) 的導數. 例 6 求指數函數 y = a x 的導數.答案: (x n ) = n x n-1; (a x ) = a x ln a.3.13.33.23.43.53.6 41 例例 3 設

34、y = tan x, 求 y . 解 由 3.1 節(jié)例 7,所以 (tan x) = sec2x. 同理可證, (cot x) = - csc2x.222222sin(cos )(sin )(sin )(cos )coscoscossin1sec.coscosxxxxxyxxxxxxx- 例 7 求正弦函數 y = sin x 的導數.答案: (sin x) = cos x.3.13.33.23.43.53.6 42 例例 4 設 y = sec x, 求 y . 解 即(sec x) = tan x sec x. 同理, (csc x) = - cot x csc x.221(cos )(1

35、)1 (cos )0sincoscoscostan sec ,xxxyxxxxx- 3.13.33.23.43.53.6 43 3.2.2 3.2.2 反函數求導法則反函數求導法則 定理 3.3（反函數求導法則） 設函數 x = f ( y) 在區(qū)間 i1 上單調, 可導, 且 f ( y)0, 則它的反函數 y = f -1(x) 在區(qū)間 i2 = r( f ) = x = f ( y) | yi1上也可導, 且(3.8)即(3.8) 下面給出證明大意.11( )1( ),( )yfxfxfy- d1.dddyxxy3.13.33.23.43.53.6 44 (3.8) 證 由于函數 x =

36、 f ( y) 在 i1 上單調, 可導, 從而連續(xù), 所以它的反函數 y = f -1(x) 在 i2 上單調, 連續(xù) 對于任意的 xi2 和它的增量x0 (x +xi2), 相應地有y = f -1(x +x) - f -1(x) 0,且x 0 等價于y 0, 故 反函數求導法則說明：反函數的導數等于直接函數的導數的倒數11( )1( ),( )yfxfxfy- 100111( )lim.d( )limdxxyyfxxxxfyyy- 3.13.33.23.43.53.6 45 例例 5 求 (loga x) . 解 設 y = loga x, 即 x = a y, 所以即 特別, d111

37、,ddlnlndyyxxxaaay1(log).lnaxxa 1(ln ).xx 3.13.33.23.43.53.6 46 例例 6 求 (arcsin x). 解 y = arcsin x ( |x| 0, y = f (x0 +x) - f (x0) 0, 則 p0q =x, pq =y, rq = f (x0)x = dy|x=x0,pr =y - dy|x = x0= o(x) (x 0). 近似計算公式 (3.13) 說明：當x 很小時, pq rq, 其差 pr 是 p0q 的高階無窮小. 所以在點 p0 的鄰近, 為了計算 pq, 可由切線 p0t 代替曲線 c, 此即通常所說

38、的 “以直代曲”. p0q r 在一元微分學中占有重要地位, 稱為微分三角形或特征三角形, 它的兩條直角邊分別表示自變量的微分和函數的微分.圖 3-4f (x0 +x) f (x0) + f (x0)x. (3.13)3.13.33.23.43.53.6 89 在任意一點 x, 函數 y = f (x) 的微分dy = y dx 或 d f (x) = f (x)dx. (3.14) 由 (3.14), 導數 可以看成是函數的微分 dy 與自變量的微分 dx 之比, 所以導數也稱為 “微商”（即微分的商） 例例 1 求函數 y = sin x 在點 x = 0 和 的微分. 解 dy = (s

39、in x) dx = cos x dx. 所以 dy|x=0 = (cos 0)dx = dx,ddyyx 2x2 dcosd0.2xyx3.13.33.23.43.53.6 90 例例 2 求函數 在點 x = 1 的微分當x = 0.003 時的值. 解 所以 例例 3 求下列函數的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (x0). 解 1) 因為 (e cos x ) = - e cos x sin x, 故d e cos x = - e cos x sin x dx.3yx3321d() dd .3yxxxx1,0.00331d0.0030.001.3 1xxy 3.13.

40、33.23.43.53.6 91 例例 3 求下列函數的微分: 1) e cos x; 2) ln |x| (x0). 解 2) 因為 故當 x 0 時, 當 x mc(100),故 ml(100) = mr(100) - mc(100) 0.所以公司在q = 100 時增加產量可以獲得更大利潤圖 3-53.13.33.23.43.53.6 110 3.6.2 3.6.2 彈性分析彈性分析 設 y = f (x) 是一個經濟函數, x 在 x0 點的改變量為x. 相應的 y 在 y0 = f (x0) 處的改變量為y = f (x0 +x) - f (x0), 導數y | x = x0 = f

41、 (x0)考慮的是y 與x 之比的極限 但在經濟學中, 常常需要知道的是當 x 在 x0 改變 1 個百分數時, y 在 y0 處要改變多少個百分數, 即要求考慮 與 之比. 0yy0 xx3.13.33.23.43.53.6 111 定義 2 設 y = f (x) 是一個經濟函數, 當經濟變量 x 在點 x0 改變x 時, 經濟變量 y 相應地在 y0 = f (x0) 處改變y = f (x0 +x) - f (x0). 如果極限存在, 則稱此極限值為 y = f (x) 在 x0 點的彈性, 記為 其中比值稱為 y = f (x) 在點 x0 與點 x0 +x 之間的弧彈性.000li

42、mxy yx x 0,x xeyex000000/()()/()y yf xxf xxx xxf x -3.13.33.23.43.53.6 112 在任意一點 x 的彈性, 記為 它作為 x 的函數稱為 y = f (x) 的彈性函數所以由此可見, 只要函數 y = f (x) 在 x0 點可導, 在 x0 點的彈性 就存在 從彈性的定義可知：當 時, 這說明當自變量 x 在點 x0 增加 1% 時, 因變量 y 在 y0 = f (x0) 近似地改變 確個百分數, 或簡單地直接說成改變 個百分數, 這就是 “彈性” 概念的實際含義0 x xeyex,eyex0000/dlimlim( ).

43、/dxxy yeyxyxyxfxexx xyxyxy 01xx 00().x xyeyyex0 x xeyex0 x xeyex3.13.33.23.43.53.6 113 由于 與 都是相對改變量（x,y 是 x 和 y 的絕對改變量）, 而 是這種相對改變量之比的極限, 故它是一種相對變化率, 按百分數來衡量（百分數是一種相對的指標, 與變量 x 和 y 所用的計量單位無關）y 對于由 x 的變化所產生的反應的靈敏度的量化指標xxyyeyex3.13.33.23.43.53.6 114 例例 3 設 s = s(p) 是市場對某一種商品的供給函數, 其中 p 是商品價格, s 是市場的供給量, 則稱為供給價格彈性.