人教版高中數(shù)學(xué)選修11課后提升作業(yè) 二十三 3.3.2 Word版含解析

1、起課后提升作業(yè) 二十三函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.已知函數(shù)f(x),xr,且在x=1處,f(x)存在極小值,則()a.當x(-,1)時,f(x)>0;當x(1,+)時,f(x)<0b.當x(-,1)時,f(x)>0;當x(1,+)時,f(x)>0c.當x(-,1)時,f(x)<0;當x(1,+)時,f(x)>0d.當x(-,1)時,f(x)<0;當x(1,+)時,f(x)<0【解析】選c.因為f(x)在x=1處存在極小值,所以x<1時,f(x)<0,x>1時,f(x)>0.2.函

2、數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()a.1個b.2個c.3個d.4個【解析】選a.從f(x)的圖象可知f(x)在(a,b)內(nèi)從左到右單調(diào)性依次為增減增減,根據(jù)極值點的定義可知在(a,b)內(nèi)只有一個極小值點.3.下列說法正確的是()a.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大b.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值小c.函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值d.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在極值【解析】選c.函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系,單調(diào)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上沒有極值,故a,b,d錯誤

3、,c正確,函數(shù)f(x)=|x|只有一個極小值為0.4.(2016·惠州高二檢測)函數(shù)y=x3-6x的極大值為()a.42b.32c.-32d.-42【解析】選a.y=3x2-6,令y>0,得x>2或x<-2,令y<0,得-2<x<2.所以函數(shù)y=x3-6x在(-,-2),(2,+)上遞增,在(-2,2)上遞減,所以當x=-2時,函數(shù)取得極大值42.【補償訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=2-x2-x3的極值情況是()a.有極大值,沒有極小值b.有極小值,沒有極大值c.既無極大值也無極小值d.既有極大值又有極小值【解析】選d.f(x)=-2x-3x2,令f(x)=

4、0有x=0或x=-23.當x<-23時,f(x)<0;當-23<x<0時,f(x)>0;當x>0時,f(x)<0,從而在x=0時,f(x)取得極大值,在x=-23時,f(x)取得極小值.5.若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,則4a+1b的最小值為()a.49b.43c.32d.23【解析】選c.因為函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值,所以f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,則4a+1b=16(a+b)4a+1b=165+ab+4ba5+46=32(當且僅當ab=4ba且a+

5、b=6,即a=2b=4時取“=”);6.(2016·沈陽高二檢測)若函數(shù)f(x)=x2-2bx+3a在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值,則實數(shù)b的取值范圍是()a.(-,1)b.(1,+)c.(0,1)d.-,12【解析】選c.f(x)=2x-2b=2(x-b),令f(x)=0,解得x=b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值,則有0<b<1,當0<x<b時,f(x)<0;當b<x<1時,f(x)>0,符合題意.所以實數(shù)b的取值范圍是(0,1).7.(2016·廣州高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(sinx-cosx)(0x201

6、5),則函數(shù)f(x)的各極大值之和為()a.e2(1-e2 015)1-e2b.e2(1-e2 015)1-ec.1-e2 0151-e2d.e(1-e2 016)1-e2【解析】選d.由題意,得f(x)=(ex)(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)=2exsinx,所以x(2k,2k+)時f(x)遞增,x(2k+,2k+2)時,f(x)遞減,故當x=2k+時,f(x)取極大值,其極大值為f(2k+)=e2k+sin(2k+)-cos(2k+)=e2k+,又0x2015,所以函數(shù)f(x)的各極大值之和為s=e+e3+e5+e2015=e1-(e2)1 0081-e2=e(1-e2

7、 016)1-e28.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),且滿足f(x)+xf(x)=lnxx,f(e)=1e,則下列結(jié)論正確的是()a.f(x)有極大值無極小值b.f(x)有極小值無極大值c.f(x)既有極大值又有極小值d.f(x)沒有極值【解析】選d.因為f(x)+xf(x)=lnxx,所以xf(x)=lnxx,所以xf(x)=12(lnx)2+c.又因為f(e)=1e,所以e·1e=12(lne)2+c,解得c=12,所以f(x)=12(lnx)2+1·1x,f(x)=2lnxx·2x-(lnx)2+1·24x2=-2(lnx-1)24x20,所

8、以函數(shù)f(x)在(0,+)上為減函數(shù),所以f(x)在(0,+)上沒有極值.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·銀川高二檢測)函數(shù)f(x)=13x3-14x4在區(qū)間12,3上的極值點為.【解析】因為f(x)=13x3-14x4,所以f(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f(x)=0,則x=0或x=1,因為x12,3,所以x=1,并且在x=1左側(cè)f(x)>0,右側(cè)f(x)<0,所以函數(shù)f(x)=13x3-14x4在區(qū)間12,3上的極值點為1.答案:1【警示誤區(qū)】函數(shù)的極值點都是其導(dǎo)數(shù)等于0的根,但須注意導(dǎo)數(shù)等于0的根不一定都是極值點,應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象分析再下結(jié)

9、論是不是其極值點.10.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,給出下列判斷:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-12內(nèi)單調(diào)遞增;函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-12,3內(nèi)單調(diào)遞減;函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;當x=2時,函數(shù)y=f(x)有極小值;當x=-12時,函數(shù)y=f(x)有極大值.則上述判斷中正確的是.【解析】由函數(shù)圖象可知,在-3,-12函數(shù)遞增,在-12,3函數(shù)遞減,在(3,5)函數(shù)遞增,當x=-3時取得最小值,當x=-12時取得極大值,當x=3時函數(shù)取得極小值,綜上可知正確.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2016·銀川高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-

10、12x2-2x+c,(1)求函數(shù)f(x)的極值.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】f(x)=3x2-x-2.(1)令f(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,所以x=-23或x=1.當x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如表,x-,-23-23-23,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)單增極大值單減極小值單增從表中可以看出當x=-23時,f(x)有極大值,極大值為2227+c;當x=1時,f(x)有極小值,極小值為c-32.(2)由(1)可知f(x)的遞增區(qū)間為-,-23和(1,+),遞減區(qū)間為-23,1.【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x-1+aex.(1)若函

11、數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,求a的值.(2)求函數(shù)f(x)的極值.【解題指南】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率0,從而得到關(guān)于a的方程,求解其值.(2)首先計算函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=1-aex,通過討論a的取值范圍得到導(dǎo)數(shù)值不同的正負情況,從而確定函數(shù)的單調(diào)性,求得極值.【解析】(1)由f(x)=x-1+aex,得f(x)=1-aex.由函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,得f(1)=1-ae=0,解得a=e.(2)f(x)=1-aex當a0時,f(x)>0,f(x)在r上為增函數(shù),f(x)無極值.當a>0時,令f(x

12、)=0,得ex=a,x=lna,所以x(-,lna),f(x)<0;x(lna,+),f(x)>0,所以f(x)在(-,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)在x=lna處取得極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值.綜上,當a0時,函數(shù)f(x)無極值;當a>0時,所以f(x)在x=lna處取得極小值lna,無極大值.12.(2016·山東高考)設(shè)f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x，ar.(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)g(x)=f(x

13、)=ln x2ax+2a,所以g(x)=當a0,x(0,+)時，g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.當a>0,x時，g(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x時，g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.綜上：當a0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).當a>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知f(1)=0.當a0，f(x)單調(diào)遞增，所以x(0,1)時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x(1,+)時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意.當0<a<,>1時，由(1)

14、知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以x(0, 1)時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,x時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意.當a=,=1時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x(0,+)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞減，不合題意.當a>,0<<1時，x,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當x(1,+)時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x=1處取得極大值，符合題意.綜上可知a>.【補償訓(xùn)練】(2015·梅州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-bx2+2cx的導(dǎo)函數(shù)的

15、圖象關(guān)于直線x=2對稱.(1)求b的值.(2)若函數(shù)f(x)無極值,求c的取值范圍.【解析】(1)f(x)=3x2-2bx+2c,因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以-2b6=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,當2c-120,即c6時,f(x)0恒成立,此時函數(shù)f(x)無極值.【能力挑戰(zhàn)題】已知函數(shù)f(x)=kx+1x2+c(c>0且c1,kr)恰有一個極大值點和一個極小值點,其中一個是x=-c.(1)求函數(shù)f(x)的另一個極值點.(2)求函數(shù)f(x)的極大值m和極小值m,并求m-m1時k的取值范圍.【解析】(1)f(x)=k(x2+c)-2x(kx+1)(x2+c)2=-kx2-2x+ck(x2+c)2,由題意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因為c0,所以k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0,由根與系數(shù)的關(guān)系知另一個極值點為x=1(或x=c-2k).(2)由(*)式得k=2c-1,即c=1+2k.當c>1時,k>0;當0<c<1時,k<-2.(i)當k>0時,f(x)在(-,-c)和(1,+)內(nèi)是減函數(shù),在(-c,1)內(nèi)是增函數(shù).