人教版高中數(shù)學(xué)選修11課后提升作業(yè) 二十五 3.4 Word版含解析

1、起課后提升作業(yè) 二十五生活中的優(yōu)化問題舉例(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.用長為24m的鋼筋做成一個長方體框架,若這個長方體框架的底面為正方形,則這個長方體體積的最大值為()a.8m3b.12m3c.16m3d.24m3【解析】選a.設(shè)長方體的底面邊長為xm,則高為(6-2x)m,所以0<x<3,則v=x2·(6-2x)=6x2-2x3,v=12x-6x2,令v=0得x=2或x=0(舍),所以當(dāng)x(0,2)時,v是增函數(shù),當(dāng)x(2,3)時,v是減函數(shù),所以當(dāng)x=2時,vmax=4×2=8(m3).2.某工廠需要建一個面積為512m2的矩形

2、堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,則要使砌墻所用材料最省,則堆料場的長和寬各為()a.16 m,16 mb.32 m,16 mc.32 m,8 md.16 m,8 m【解析】選b.如圖所示,設(shè)場地一邊長為xm,則另一邊長為512xm.因此新墻總長度l=2x+512x(x>0),l=2-512x2.令l=0,得x=16或x=-16(舍去).因為l在(0,+)上只有一個極值點,所以它必是最小值點.因為x=16,所以512x=32.故當(dāng)堆料場的寬為16m,長為32m時,可使砌墻所用的材料最省.【拓展延伸】求幾何體面積或體積的最值問題的關(guān)鍵:1.分析幾何體的幾何特征,根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)牧拷⒚娣e或

3、體積的函數(shù),2.再用導(dǎo)數(shù)求最值.3.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)算,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0).已知貸款的利率為0.0486,且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x,x(0,0.0486),若使銀行獲得最大收益,則x的取值為()a.0.016 2b.0.032 4c.0.024 3d.0.048 6【解析】選b.依題意,存款量是kx2,銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是0.0486kx2,其中x(0,0.0486).所以銀行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0<x<0.0486),則y=0.0972kx-3kx2.令y

4、=0,得x=0.0324或x=0(舍去).當(dāng)0<x<0.0324時,y>0;當(dāng)0.0324<x<0.0486時,y<0.所以當(dāng)x=0.0324時,y取得最大值,即當(dāng)存款利率為0.0324時,銀行獲得最大收益.4.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則其高應(yīng)為()a.2033cmb.100cmc.20cmd.203cm【解析】選a.設(shè)高為xcm,則底面半徑為400-x2cm,所以圓錐體積v=13·(400-x2)·x=(400x-x3)3(cm3),v=(400-3x2)3,令v=0,得x=2033或x=-2033(舍去

5、),經(jīng)判斷可得x=2033(cm)時,v最大.5.(2016·梅州高二檢測)設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為v,則其表面積最小時,底面邊長為()a.3vb.32vc.34vd.23v【解析】選c.如圖,設(shè)底面邊長為x(x>0),則底面積s=34x2,所以h=vs=4v3x2.s表=x·4v3x2×3+34x2×2=43vx+32x2,s表=3x-43vx2,令s表=0得x=34v,因為s表只有一個極值,故x=34v為最小值點.6.把一個周長為12cm的長方形作為一個圓柱的側(cè)面,當(dāng)圓柱的體積最大時,該圓柱底面周長與高的比為()a.12b.1c.21

6、d.2【解析】選c.設(shè)圓柱高為x,底面半徑為r,則r=6-x2,圓柱體積v=6-x22·x=14(x3-12x2+36x)(0<x<6),v=34(x-2)(x-6),當(dāng)x=2時,v最大.此時底面周長為4,底面周長高=42=21.7.三棱錐o-abc中,oa,ob,oc兩兩垂直,oc=2x,oa=x,ob=y,且x+y=3,則三棱錐o-abc體積的最大值為()a.4b.8c.43d.83【解析】選c.v=13×2x22·y=x2y3=x2(3-x)3=3x2-x33(0<x<3),v=6x-3x23=2x-x2=x(2-x).令v=0,得x

7、=2或x=0(舍去),所以x=2時,v最大為43.8.(2015·昆明高二檢測)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是r(x)=-x3900+400x,0x390,90 090,x>390,則當(dāng)總利潤最大時,每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()a.150b.200c.250d.300【解析】選d.因為總利潤p(x)=-x3900+300x-20 000,0x390,90 090-100x-20 000,x>390,當(dāng)0x390時,p(x)=-1300x2+300,令p(x)=0,得x=±300,當(dāng)x(

8、0,300)時,p(x)>0,p(x)遞增,當(dāng)x(300,390)時,p(x)<0,p(x)遞減,所以當(dāng)x=300時,p(x)有最大值40000元,當(dāng)x>390時,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以當(dāng)x=300時,總利潤最大.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬件)的總成本c(x)=1200+275x3(萬元),已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元,產(chǎn)量定為多少時總利潤最大()a.23萬件b.25萬件c.50萬件d.75萬件【解析】選b.設(shè)單

9、價為a萬元,由題意知a2=kx且502=k100,所以k=502×100=25×104,所以a2=25×104x,即a=500x,總利潤y=a·x-c(x)=500x·x-1 200+275x3=500×x-275x3-1200,y=250x -12-12-225x2,令y=0得x=25,所以產(chǎn)量定為25萬件時總利潤最大.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·河源高二檢測)把長為60cm的鐵絲圍成矩形,長為,寬為時,矩形的面積最大.【解析】設(shè)長為xcm,則寬為(30-x)cm,此時s=x·(3

10、0-x)=30x-x2,s=30-2x=0,所以x=15.所以長為15cm,寬為15cm時,矩形的面積最大.答案:15cm15cm【補(bǔ)償訓(xùn)練】若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x3+27x+123(x>0),則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為百萬件.【解析】依題意得,y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),當(dāng)0<x<3時,y>0;當(dāng)x>3時,y<0.因此,當(dāng)x=3時,該商品的年利潤最大.答案:310.某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離

11、車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站千米處.【解析】設(shè)倉庫與車站相距x千米,依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1=k1x,每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k2是比例系數(shù),于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=45.所以兩項費(fèi)用之和為y=20x+4x5(x>0),y=-20x2+45,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).當(dāng)0<x<5時,y<0;當(dāng)x>5時,y>0.所以當(dāng)x=5時,y取得極小值,也是最小值.所以當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時,兩項費(fèi)用之和最小.答

12、案:5三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2016·韶關(guān)高二檢測)已知a,b兩地相距200km,一只船從a地逆水行駛到b地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(8<vv0).若船每小時的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比,當(dāng)v=12km/h,每小時的燃料費(fèi)為720元,為了使全程燃料費(fèi)最省,船的實際速度為多少?【解析】設(shè)每小時的燃料費(fèi)為y1元,比例系數(shù)為k(k>0),則y1=kv2,當(dāng)v=12時,y1=720,所以720=k·122,得k=5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y元,由題意y=y1·200v-8=1 000v2v-8,所以y=2 000

13、v(v-8)-1 000v2(v-8)2=1 000v2-16 000v(v-8)2.令y=0,得v=16,所以當(dāng)v016,v=16km/h時全程燃料費(fèi)最省,ymin=32000(元);當(dāng)v0<16,v(8,v0時,y<0,即y在(8,v0上為減函數(shù),所以當(dāng)v=v0時,ymin=1 000v02v0-8(元).綜上,當(dāng)v016,v=16km/h時,船的實際速度為16-8=8(km/h),此時全程燃料費(fèi)最省,為32000元;當(dāng)v0<16,v=v0時,船的實際速度為(v0-8)km/h,此時全程燃料費(fèi)最省,為1 000v02v0-8元.【誤區(qū)警示】忽視定義域致錯本題在解題過程中容

14、易忽視定義域,誤以為v=16時取得最小值.本題的關(guān)鍵是弄清極值點是否在定義域范圍內(nèi).12.某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(6<x<11),年銷量為u萬件,若已知5858-u與x-2142成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.(1)求年利潤y萬元關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式.(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.【解析】(1)設(shè)5858-u=kx-2142,因為售價為10元時,年銷量為28萬件,所以5858-28=k10-2142,解得k=2.所以u=-2x-2142+5858=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33

15、x2-108x-108(6<x<11).(2)y=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y=0,得x=2(舍去)或x=9,顯然,當(dāng)x(6,9)時,y>0;當(dāng)x(9,11)時,y<0.所以函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.所以當(dāng)x=9時,ymax=135,所以售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的總面積為8m2,問:x,y分別是多少時用

16、料最省?(精確到0.001m)【解析】依題意,有xy+12·x·x2=8,所以y=8-x24x=8x-x4(0<x<42),于是框架用料長度為l=2x+2y+22x2=32+2x+16x.l=32+2-16x2=0,解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).當(dāng)0<x<8-42時, l<0;當(dāng)8-42<x<42時, l>0,所以當(dāng)x=8-42時,l取得最小值,此時,x=8-422.343(m),y2.829m.即當(dāng)x為2.343m,y為2.829m時,用料最省.【能力挑戰(zhàn)題】請您設(shè)計一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐.試問當(dāng)帳篷的頂點o到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?最大體積是多少?【解題指南】帳篷可看做一個正六棱錐與一個正六棱柱的組合體.【解析】設(shè)oo1為xm,則1<x<4.由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為32-(x-1)2=8+2x-x2.于是底面正六邊形的面積