曲線與方程(三個課時)

1、2.1 曲線與方程曲線與方程2.1.1 曲線與方程曲線與方程為什么為什么? ?復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧:我們研究了直線和圓的方程我們研究了直線和圓的方程.1.經(jīng)過點經(jīng)過點p(0,b)和斜率為和斜率為k的直線的直線l的的方程為方程為_2.在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直線方程是直線方程是_3.圓心為圓心為c(a,b) ,半徑為半徑為r的圓的圓c的方程的方程為為_.x-y=0點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x- y=0）第一、三象限角平分線第一、三象限角平分線l含有關(guān)系含有關(guān)系：lx-y=0 xy0（1）l上點的坐標(biāo)都是方程上點的坐標(biāo)都是方程x-y

2、=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點都的解為坐標(biāo)的點都在在 上上l曲線曲線條件條件方程方程坐標(biāo)系中坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是平分第一、三象限的直線方程是x-y=0思考思考? ?圓心為圓心為c(a,b) ,半徑為半徑為r的圓的圓c的方程為的方程為:222()()xaybr思考思考? ?滿足關(guān)系：滿足關(guān)系：（1）、如果）、如果00(,)m xy00(,)m xy是圓上的點，那么是圓上的點，那么一定是這個方程的解一定是這個方程的解0 xym 方方程程表示如圖的圓表示如圖的圓圖象上的點圖象上的點m與此方程與此方程 有有什么關(guān)系？什么關(guān)系？222()()xaybr222()

3、()xaybr 的的解，那么以它為坐標(biāo)解，那么以它為坐標(biāo)的點一定在圓上。的點一定在圓上。00(,)m xy（2）、如果、如果是方程是方程222()()xaybr圓心為圓心為c(a,b) ,半徑為半徑為r的圓的圓c的方程為的方程為:222()()xaybr思考思考? ?(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么,這個方程叫做曲線的方程曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線.定義定義: :1.曲線的方程曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系; 方程的

4、曲線方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線如果某曲線c(看看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點上的點與一個二元方程與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系的關(guān)系:說明說明: :2.“曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程 的解的解” ,闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外.

5、（純粹性）（純粹性）.3.“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”,闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏.（完備性）（完備性）.由曲線的方程的定義可知由曲線的方程的定義可知:如果曲線如果曲線c的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么點，那么點p0(x0 ,y0)在曲線在曲線c 上的上的 充要條件充要條件 是是f(x0, y0)=0 例例1 :判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確解解:(1)不正確，不具備完備性，應(yīng)為不正確，不具備完備性，應(yīng)為x=3,(2)不正確不正確,不具備純粹性，應(yīng)為不具備純粹性，應(yīng)為y=1.(3

6、)正確正確.(4)不正確不正確,不具備完備性不具備完備性,應(yīng)為應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過點過點a（3，0）且垂直于）且垂直于x軸的直線的方程軸的直線的方程為為x=3(2)到到x軸距離等于軸距離等于1的點組成的直線方程為的點組成的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點的軌跡方的點的軌跡方程為程為xy=1 (4) abc的頂點的頂點a(0,-3)，b(1,0)，c(-1,0)，d為為bc中點，則中線中點，則中線ad的方程的方程x=0例例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k0)的點的軌跡方程是的點的軌跡方程是xy=k.

7、的解。是方程即所以軸的距離為與軸的距離為與因為點是軌跡上的任意一點，如圖，設(shè)證明：kxyyxkyxxyyxmyxm),(,),() 1 (00000000mkyxkyxkxyyxm1111111,),()2(即即的解，是方程的坐標(biāo)設(shè)點是曲線上的點。點是常數(shù)到兩條直線的距離的積因此點到縱軸、橫軸的距離，正是點而11111,mkmmyx的點的軌跡方程。的積為常數(shù)。是與兩條坐標(biāo)軸的距離可知，由)0()2(),1 (kkkxy 第一步，設(shè)第一步，設(shè) m (m (x0 0, ,y0 0) )是曲線是曲線c c上任一點，上任一點，證明證明( (x0 0, ,y0 0) )是是f( (x, ,y)=0)=0

8、的解；的解；歸納歸納: : 證明已知曲線的方程的方法和步驟證明已知曲線的方程的方法和步驟 第二步，設(shè)第二步，設(shè)( (x0 0, ,y0 0) )是是 f( (x, ,y)=0)=0的解，證明的解，證明點點 m (m (x0 0, ,y0 0) )在曲線在曲線c上上. .練習(xí)練習(xí)1:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？所列出的方程嗎？為什么？ (1)曲線曲線c為過點為過點a(1，1)，b(-1，1)的折的折線線(如圖如圖(1)其方程為其方程為(x-y)(x+y)=0; (2)曲線曲線c是頂點在原點的拋物線其方程是頂點在原點的拋物線其方程為為

9、x+ =0; (3)曲線曲線c是是, 象限內(nèi)到象限內(nèi)到x軸，軸，y軸的距軸的距離乘積為離乘積為1的點集其方程為的點集其方程為y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y練習(xí)練習(xí)2:下述方程表示的圖形分別是下圖下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個？中的哪一個？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011oxy11oxy11oxy-1-111oxy-1abcd練習(xí)練習(xí)3:若命題若命題“曲線曲線c上的點的坐標(biāo)滿足方程上的點的坐標(biāo)滿足方程f(x,y)=0”是正確的是正確的,則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( )a.方程方程f(x,y)=0 所表示的曲線是所

10、表示的曲線是c b.坐標(biāo)滿足坐標(biāo)滿足 f(x,y)=0 的點都在曲線的點都在曲線c上上c.方程方程f(x,y)=0的曲線是曲線的曲線是曲線c的一部分或是曲的一部分或是曲線線c d.曲線曲線c是方程是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是全的曲線的一部分或是全部部dc練習(xí)練習(xí)4:設(shè)圓設(shè)圓m的方程為的方程為 ,直線直線l的方程為的方程為x+y-3=0, 點點p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,1),那么那么( )2) 2() 3(22yxa.點點p在直線上，但不在圓上在直線上，但不在圓上 b.點點p在圓上，但不在直線上；在圓上，但不在直線上；c.點點p既在圓上，也在直線上既在圓上，也在直線上 d.點點p既不在

11、圓上，也不在直線上既不在圓上，也不在直線上練習(xí)練習(xí)5:已知方程已知方程 的曲線經(jīng)過的曲線經(jīng)過點點 ,則則 m =_, n =_.0422nymx) 1 , 2(),2, 1 (ba2. 練習(xí)：練習(xí)：(1) 設(shè)設(shè)a(2,0)、b(0,2)， 能否說能否說線段線段ab的方程為的方程為x+y-2=0? (2) 方程方程x2-y2=0表示的圖形是表示的圖形是_1.復(fù)習(xí)曲線的方程和方程的曲線的概念復(fù)習(xí)曲線的方程和方程的曲線的概念3.證明已知曲線的方程的方法和步驟證明已知曲線的方程的方法和步驟 上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的方程的曲線的概念曲線的概念.利用這兩個重

12、要概念，就可以借助利用這兩個重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)（x,y）所滿足的方程）所滿足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這一這一節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法節(jié)，我們就來學(xué)習(xí)這一方法.m點, )x y坐標(biāo)(按某中規(guī)律運動c曲線, x y的制約條件( , )0f x y 方程幾何意義代數(shù)意義“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合” 數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)基礎(chǔ)1解析幾何與坐標(biāo)法：解析

13、幾何與坐標(biāo)法：我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫解析幾何解析幾何的學(xué)科的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.2平面解析幾何研究的主要問題：平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟說明：本

14、節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.法二法二: :若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦若沒有現(xiàn)成的結(jié)論怎么辦? ? 需要掌握一般性的方法需要掌握一般性的方法 | mbmamp 2222) 7() 3() 1() 1( yxyx.由兩點間的距離公式，點由兩點間的距離公式，點m所適合條件可表示為：所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得：將上式兩邊平方，整理得： x+2y7=0 我們證明方程我們證明方程是線段是線段ab的垂直平的垂直平分線的方程分線的方程.（1）由求方程的過程可知，垂直平）由求方程的過程可知，垂直平分線上每一點的坐標(biāo)都是方程分線上每一點的坐標(biāo)都是方程解；解；（2）設(shè)點）設(shè)點m1的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x

15、1,y1）是方程）是方程的解，即的解，即: x+2y17=0 x1=72y1解法二解法二:設(shè)設(shè)m(x,y)是線段是線段ab的垂直平分線上任意一點的垂直平分線上任意一點,也就是點也就是點m屬于集合屬于集合問題問題1.設(shè)設(shè)a、b兩點的坐標(biāo)是兩點的坐標(biāo)是(1,1)，(3,7)，求線段求線段ab的垂直平分線的方程的垂直平分線的方程.; )136(5 )1()28( )1()1(121212121211 yyyyyxam,)136(5 )7()24( )7()3(11121212121211bmamyyyyyxbm 即點即點m1在線段在線段ab的垂直平分線上的垂直平分線上.由由(1)、(2)可知方程可知

16、方程是線段是線段ab的垂直平分線的方程的垂直平分線的方程.點點m1到到a、b的距離分別是的距離分別是這種求曲線的方程的方法叫：直接法由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟：程，一般有下面幾個步驟：說明：說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對（對（x

17、,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點m的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件寫出適合條件p的點的點m集合集合p=m|p(m)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(m),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡形式；為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上都在曲線上.例例2.已知一條直線已知一條直線l和它上方的一個點和它上方的一個點a，點，點a到到l的距離是的距離是2,一條曲線也在一條曲線也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一點到每一點到a的距離減去到的距離減去到l的距離的差都是的距離的差都是2,建建立

18、適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.取直線取直線l為為x軸軸,過點過點a且垂直于直線且垂直于直線l的直線為的直線為y軸軸,建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xoy,解：解：2mamb22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式列式3）代換）代換4)化簡化簡5）審查）審查(0,2)amb1）建系設(shè)點）建系設(shè)點因為曲線在因為曲線在x軸的上方，所以軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是所以曲線的方程是 設(shè)點設(shè)點m(x,y)是曲線上任意一點，是曲線上任意一點，mbx軸，垂足是軸，垂足是b， 通過上述兩個例題了解坐標(biāo)法的解題方法，通過上述兩個例題了解坐標(biāo)法的解題方法，明確建

19、立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時，根據(jù)曲線上的同時，根據(jù)曲線上的點所要適合的條件列出等點所要適合的條件列出等式式，是求曲線方程的，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)重要環(huán)節(jié)，在這里常用到，在這里常用到一些基本公式，如一些基本公式，如，等等，因此先要了解上述知識，必要時作適當(dāng)復(fù)習(xí)因此先要了解上述知識，必要時作適當(dāng)復(fù)習(xí).思考思考:(37p練習(xí)第練習(xí)第 3 題題) 如圖如圖,已知點已知點 c 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是(2 , 2) , 過點過點 c 直線直線 ca與與 x 軸交于點軸交于點 a,過點過點 c 且與直線且與直線 ca 垂直的直線垂直的直線 cb與與 y軸交

20、于點軸交于點 b,設(shè)點設(shè)點 m 是線段是線段 ab 的中點的中點,求點求點 m的的軌跡方程軌跡方程. xy0cbam( , )x y求曲線（圖形）的方程步驟：求曲線（圖形）的方程步驟：說明：說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對（對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點m的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合

21、條件寫出適合條件p的點的點m集合集合p=m|p(m)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(m),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡形式；為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上都在曲線上.解解:練習(xí)練習(xí)1.22yx yx 的的2.bb3.4.到到f(2，0)和和y軸的距離相等的動點的軌跡方軸的距離相等的動點的軌跡方程是程是_ 解解:設(shè)動點為設(shè)動點為(x，y)，則由題設(shè)得，則由題設(shè)得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化簡得化簡得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程.

22、.y2=4(x-1)5. 在三角形在三角形abc中，若中，若|bc|=4，bc邊上的邊上的中線中線ad的長為的長為3，求點，求點a的軌跡方程的軌跡方程.設(shè)設(shè)a(x，y)，又，又d(0，0)，所以，所以3 3y yx x| |a ad d| |2 22 2化簡得化簡得 :x2+y2=9 (y0)這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程.解解:取取b、c所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段bc的中垂線的中垂線為為y軸，建立直角坐標(biāo)系軸，建立直角坐標(biāo)系.1.直接法直接法: 求軌跡方程最基本的方法求軌跡方程最基本的方法, 直接通過直接通過建立建立x, y之間的關(guān)系之間的關(guān)系, 構(gòu)成構(gòu)成 f(x, y

23、)=0 即可即可.直接法直接法 定義法定義法 代入法代入法 參數(shù)法參數(shù)法求軌跡方程的常見方法求軌跡方程的常見方法:2.定義法定義法：（待定系數(shù)法）待定系數(shù)法）利用所學(xué)過的圓的定義、利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定義法這種方法要求題設(shè)中有定點定點與與定直線定直線及及兩定點距離之和或差為定值兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件（下面的課平面幾何知識分析得出這些條件（下面的課中講）中講）3.代入法代入法:這個方法又叫相關(guān)點法或坐標(biāo)代換法這個方法又叫相關(guān)點法或坐標(biāo)代換法.即利用動點即利用動點p(x,y)是定曲線是定曲線f(x,y)=0上的動上的動點點,另一動點另一動點p(x，y)依賴于依賴于p(x,y)，那么可，那么可尋求關(guān)系式尋求關(guān)系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程后代入方程f(x,y)=0中，得到動點中，得到動點p的軌跡方程的軌跡方程.例、已