第五章第2節(jié)微積分基本公式56353

1、1微積分基本公式微積分基本公式第二節(jié)第二節(jié)一、問題的提出一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式四、小結(jié)四、小結(jié)2變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(ttdttv 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔,21tt上上 t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程. 另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12t

2、sts 一、問題的提出一、問題的提出 ).()()(1221tstsdttvtt故故).()(tvts 其中其中3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè) x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對對于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)4abxyo定理定理 如果如

3、果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa . . 1、積分上限函數(shù)的性質(zhì)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x5 dttfdttfdttfxaxxxxa)()()( ,)(xxxdttf 由積分中值定理得由積分中值定理得xf )(,xxx , 0 xx ),( fx).(limlim00 fxxx).()(xfx abxyoxx )( x x6、變限積分求

4、導(dǎo)公式、變限積分求導(dǎo)公式2)()() 1 (xfdttfxa)()()()2()(xuxufdttfxua)()()()3()(xvxvfdttfbxv)()()()()()4()()(xvxvfxuxufdttfxuxv）（2證明證明)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()().()(xuxuf725( )sin,( )xf xt dtf x求求例例1 1解解2( )sin() ()f xxx1sin2xx例2例2sin4( )2,( ).xxf xt dtf x求求4( )2sin(sin )f xxx42x解解sin.2xx44co

5、s2sin2.xxx8例例3 3 求求2cos120lim.xtxedtx解解2cos1xtdedtdx因因2cos(cos )xex2cossin,xx e 2cos120limxtxedtx2cos0sinlim2xxx ex11.22ee 所以由洛必塔法則所以由洛必塔法則9證證xdtttfdxd0)(),(xxf0( )xdf t dtdx),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf0020( )( )( )( )xxxf xxf t dttf t dtf t dt10020( )() ( )( ),( )xxf xxt f t dtf xf

6、t dt即即),0(0)(xxf因因?yàn)闉? 0)(0 xdttf所以所以, 0)()(tftx又又, 0)()(0 xdttftx從而從而).0(0)(xxf故故所以所以)(xf在在), 0(內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù). 11定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義定理的重要意義（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)

7、中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.12定理定理 3 3（微積分基本公式微積分基本公式）如果如果)(xf是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個(gè)上的一個(gè)原函數(shù)，則原函數(shù)，則)()()(afbfdxxfba . . 又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xf是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)， ,)()(cxxf 所以所以.,bax證證三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式13令令ax ,)()(caaf 0)()(dttfaaa ,)(caf ),()()(afxfdttfxa得得,)()(cdttfxfxa由由令令 bx).

8、()()(afbfdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式14)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明微積分基本公式表明 baxf)( 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.15例例5 5120 x dx13013x.31例例6 632111dxx31arctan x) 1arctan(3arctan)4(3 .127 16例例7 求求

9、 20(2cossin1).xxdx 原式原式202sincosxxx .23 解解例例8 求求 解解121.dxx121dxx12ln |x. 2ln2ln1ln 17例例9 9201xdx120111xdxxdx10(1)x dx21(1)xdx 12220111(1)(1)22xx. 118例例101001sin xdx 20(sincos)22xxdx 0sincos22xxdx 20(cossin)22xxdx 2(sincos)22xxdx 4(21).求求01sin xdx 解解19例例1111.sinsin03dxxx dxxx 02)sin1 (sindxxx2021coss

10、in dxxxcossin021 1122202sincossin( cos )xxdxxx dx .34)32(32計(jì)算計(jì)算.sinsin03dxxx 解解203.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小結(jié)四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系2124025p習(xí)題1,2,6(2,4,7,11,12)4,5(1)(2),9(1),12.22思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dtt

11、fxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？23思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 24一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _

12、 _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxi dxnxmx sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題25（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3i= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時(shí)，時(shí)，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_

13、. .26二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 27三、三、 計(jì)算下列各定積分：計(jì)算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1

14、、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .28五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，或或，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達(dá)式內(nèi)的表達(dá)式 . .29八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba內(nèi)有且僅有一個(gè)根內(nèi)有且僅有一個(gè)根 . .30一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)