常用邏輯用語知識點教師

1、 常用邏輯用語 目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2. 了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題與逆否命題，分析四種命題相互關(guān)系.3. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.4. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.重點：充分條件與必要條件的判定難點：根據(jù)命題關(guān)系或充分(或必要)條件進(jìn)行邏輯推理。知識要點梳理知識點一：命題1. 定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成. 命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命題有真

2、假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題. 數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式： 若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時在推導(dǎo)時加上語氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出. 若要判斷命題“”是一個假命題，只需要找到一個反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.2. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：p或q；p且q；非p（即命題p的否定）.（3）復(fù)合命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假

3、真假假真真真假假假真假假 當(dāng)p、q同時為假時，“p或q”為假，其它情況時為真，可簡稱為“一真必真”； 當(dāng)p、q同時為真時，“p且q”為真，其它情況時為假，可簡稱為“一假必假”。 “非p”與p的真假相反.注意：（1）邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小盎颉?（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.（3）對命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。知識點二：四種命題1. 四種命題的形式：用p和q分別表

4、示原命題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.2. 四種命題的關(guān)系原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.命題與集合之間可以建立對應(yīng)關(guān)系，在這樣的對應(yīng)下，邏輯聯(lián)結(jié)詞和集合的運算具有一致性，命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對應(yīng)集合的“交”、“并”、“補”，因此，我們就可以從集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。知識點三：充分條

5、件與必要條件1. 定義：對于“若p則q”形式的命題：若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.2. 理解認(rèn)知：（1）在判斷充分條件與必要條件時，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論 推條件，最后進(jìn)行判斷.（2）充要條件即等價條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價于”“反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語.3. 判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等

6、價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法.(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件. 知識點四：全稱量詞與存在量詞1. 全稱量詞與存在量詞全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可

7、表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有點”,“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.2. 對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定（I）對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定： 全稱命題的否定是特稱命題。（II）對含有一個量詞的特稱命題的否定 特稱命題p：，他的否定： 特稱命題的否定是全稱命題。注意：（1）命題的否定與命題的否命題是

8、不同的.命題的否定只對命題的結(jié)論進(jìn)行否定（否定一次），而命題的否命題則需要對命題的條件和結(jié)論同時進(jìn)行否定（否定二次）。（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個至多一個否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個也沒有至少兩個規(guī)律方法指導(dǎo)1. 解答命題及其真假判斷問題時，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真 假性一致.2. 要注意區(qū)分命題的否定與否命題.3. 要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”與集合中的“并”“交”“補”是相關(guān)的，將二者相互對照可加深認(rèn)識和理解.4. 處理充要條件問題時，首先必須分清條件和結(jié)論。對于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要

9、性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的觀點、用定義和利用命題的等價性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個必要條件是充分條件.5. 特別重視數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運用。總結(jié)升華：1. 判斷復(fù)合命題的真假的步驟： 確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式； 判斷其中簡單命題p和q的真假； 根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復(fù)合命題的真假.2. 條件“或”是“或”的關(guān)系，否定時要注意.類型二：四種命題及其關(guān)系2. 寫出命題“已知是實數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。解析：逆命題：已知是實數(shù)，若a=0或b=0, 則ab=0, 真命題； 否命題：已知是實數(shù)，若ab0，則a

10、0且b0，真命題； 逆否命題：已知是實數(shù)，若a0且b0，則ab0，真命題?？偨Y(jié)升華：1.“已知是實數(shù)”為命題的大前提，寫命題時不應(yīng)該忽略；2. 互為逆否命題的兩個命題同真假；3. 注意區(qū)分命題的否定和否命題. 類型三：全稱命題與特稱命題真假的判斷總結(jié)升華：1. 要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中每一個元素，驗證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立可；2. 要判斷一個特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.類型四：充要條件的判斷總結(jié)升華：1. 處理充分、必要條件問題時，首先要分清條件與結(jié)

11、論；2. 正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價關(guān)系轉(zhuǎn)換，特別是與關(guān)系.類型五：求參數(shù)的取值范圍總結(jié)升華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論總結(jié)升華：從認(rèn)知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉(zhuǎn)化，是解決這類問題的基本策略。類型六：證明總結(jié)升華： 1. 利用反證法證明時，首先正確地作出反設(shè)（否定結(jié)論）.從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，從而假設(shè)不正確，原命題成立，反證法一般適宜結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)，或以“至多”、“至少”形式出現(xiàn)，或關(guān)于唯一性、存在性問

12、題，或者結(jié)論的反面是比原命題更具體更容易研究的命題.2. 反證法時對結(jié)論進(jìn)行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定與否命題總結(jié)升華：1. 對于充要條件的證明，既要證明充分性，又要證明必要性，所以必須分清條件是什么，結(jié)論是什么。2. 充分性：由條件結(jié)論；必要性：由結(jié)論條件.3. 敘述方式的變化（比如是的充分不必要條件”等價于“的充分不必要要條件是”）.【若則命題】命題的常見形式為“若p則q”，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論?！灸婷}】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。也就是說，如果原

13、命題為“若p，則q”，那么它的逆命題為“若q，則p”?！痉衩}】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個命題稱為互否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題。也就是說，如果原命題為“若p，則q”，那么它的否命題為“若¬p，則¬q”?！灸娣衩}】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個命題稱為互為逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題。也就是說，如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆否命題為“若¬q，則¬p”。四種命題的關(guān)

14、系：四種命題的真假關(guān)系：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假（1） 兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；（2） 兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。例1：寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假。（1）等底等高的兩個三角形是全等三角形；（2）在中，若，則。例2：已知函數(shù)是上的增函數(shù)，證明：若，則。例3：已知集合A、B，全集，給出下列四個命題若，則；若，則；若，則;若，則則上述正確命題的個數(shù)為( )A1B2C3D4習(xí)題1：下列命題中，真命題是（ ）A命題“若，則” B命題“若，則”的逆命題C命題“當(dāng)時，”的否命題 D命題“相似三角形的對應(yīng)

15、角相等”的逆否命題習(xí)題2：命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（ ）A若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù) B若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)C若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù) D若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)習(xí)題3：證明：若，則。習(xí)題4：給出命題：若，則x=1或x=2； 若，則；若x=y=0，則； 若，xy是奇數(shù)，則x，y中一奇，一偶那么（ ）A的逆命題為真 B的否命題為真 C的逆否命題為假 D的逆命題為假知識點二：充分條件與必要條件充分條件：一般地，對于命題若“p,則q”，由p通過推理可以得出q，記作pq，則稱p是q的充分條件。必要條件：一般地，對于命題若“p,則q”

16、，由q通過推理可以得出p，記作pq，則稱p是q的必要條件。充分必要條件：一般地，對于命題若“p,則q”，由p通過推理可以得出q，由q通過推理可以得出p，記作pq ，則稱p是q的充分必要條件，簡稱p是q的充要條件。充分條件與必要條件和集合的關(guān)系: ，相當(dāng)于，即 或 ，即：要使成立，只要就足夠了有它就行 ，相當(dāng)于，即 或 ，即：為使成立，必須要使缺它不行。例1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？必要條件？充分必要條件？ 、若x>3 ，則x>2 ； 、若x=1 ，則x2-4x+3=0； 、若f(x)=x，則f(x)在上為增函數(shù)例2：求證：關(guān)于的一元二次不等式對

17、于一切實數(shù)都成立的充要條件是例3：給出下列四個命題： 有理數(shù)是實數(shù)；有些平行四邊形不是菱形； "xR，x2-2x>0；$xR，2x+1為奇數(shù). 以上命題的否定為真命題的序號依次是（）ABCD 習(xí)題1：判斷下列問題中，p是q的充分條件嗎？必要條件？充分必要條件？、p: a>b q: ac>bc；、p: x為無理數(shù) q: x2為無理數(shù);、p: x>a2+b2 q: x>2ab ;、p:兩條直線的斜率相等； q:兩條直線平行。習(xí)題2：下列各題中，哪些p是q的充要條件？ （）p:b0,q:函數(shù)f(x)ax2bxc是偶函數(shù)； （）p:x 0,y 0,q: xy 0

18、； （）p: a b ,q: a + c b + c。習(xí)題3：1的一個充分不必要條件是( )AxyBxy0 CxyDyx0習(xí)題4：命題“若ABC是等腰三角形，則它的任何兩個內(nèi)角不相等”的逆否命題是 .知識點三：簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(或、且、非)或：一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作“p或q”。當(dāng)p，q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當(dāng) p，q都是假命題時，pq是假命題。且：用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作，讀作“p且 q”p,q兩個命題都是真命題時，是真命題；當(dāng)p，q其中一個是假命題或兩個都是假命題

19、時，是假命題。非：(3)對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作，讀作“非p”或“p的否定”當(dāng)p是真命題時，是假命題；當(dāng)p是假命題時，是真命題。例題1：設(shè)集合M=0,1,2, Nx| x2-3x+20,則MN=()A.1B.2C.0,1D.1,2例題2：若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222, (238), 3237，且AB=2，5，則實數(shù)的值是_例題3：已知集合A=,b, 2b，B=,c, c2若A=B，則c的值是_例題4：如果命題“非p為真”，命題“p且q”為假，那么則有（ ）Aq為真 Bq為假 Cp或q為真 Dp或q不一定為真習(xí)題1：(2014·唐山模擬)若集合M

20、y|y3x，集合Sx|ylg(x1)，則下列各式正確的是()A MSM BMSS CMS DMS習(xí)題2：已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，則的值為_習(xí)題3：設(shè)集合,則滿足的集合B的個數(shù)是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8習(xí)題4：命題：“方程x2-2=0的解是x=”中使用邏輯聯(lián)系詞的情況是（ ）A沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞 B使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”C使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” D使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”習(xí)題5：用“充分、必要、充要”填空： 為真命題是為真命題的_條件； 為假命題是為真命題的_條件； , , 則是的_條件 知識點四：全稱量詞與存在量詞（特稱命題、全稱

21、命題）(1)全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個”等，通常用符號“”表示，讀作“對任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.(2)存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有點”,“有些”等，通常用符號“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題

22、的否定是全稱命題。（3）全稱量詞與存在量詞的否定。關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞都是不都是至少一個一個都沒有至多一個至少兩個屬于不屬于例1：“ab”的含義是（ ）Aa，b不全為0 Ba，b全不為0 Ca，b中至少有一個為Da，b中沒有例2：下列命題中，真命題的個數(shù)為（ ）對所有正數(shù)x，； 不存在實數(shù)x，使x<4且x2+5x=24；存在實數(shù)x，使得|x+1|1且x2>4 ； 33.A1B2 C3D4習(xí)題1：下列全稱命題末位是的整數(shù)，可以被2整除；不相交的兩條直線是平行直線；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；正四面體中兩側(cè)面的夾角相等；其中真命題的個數(shù)為( )Al B2 C3

23、 D0習(xí)題2：命題“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命題“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命題“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式.習(xí)題3：命題“$xR，x1或x2>4”的否定為l命題“若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)”的否命題是（ ）A若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù) B若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)C若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù) D若不是奇函數(shù)，則不是奇函數(shù)2一個命題及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中（ ） A真命題的個數(shù)一定是奇數(shù) B真命題的個數(shù)一定是偶數(shù)C真命題的個數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù) D上述判斷都不正確3. 已知，命題“若，則

24、”的否命題是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則4. 命題“不成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是_ 5.有下列命題：（ ）“若，則互為倒數(shù)”的逆命題；“相似三角形的周長相等”的否命題；“若，則方程有實根”的逆否命題； “若，則”的逆否命題其中真命題是 （填序號）。6.（1）“ab=0”的一個充分條件是 。 （2）“x<3”的一個必要條件是 。7.證明：若，則。8.判斷下列各組問題中，q是p的充分條件？必要條件嗎？充分必要條件？、p:x|x>3 q:x|x>5 ;、p: x|x>0 q:x|x0 ;、p:同位角相等 q:兩直線平行 ;、p:四邊形對角線相等 q:四邊

25、形是平行四邊形9.判斷下列命題的真假：“”是“”的充分條件；“”是“”的必要條件； “”是“” 的必要條件；（其中A,B是集合） “函數(shù)是奇函數(shù)”是“”的充分條件.課后練習(xí)：一、選擇題：1一個命題與他們的逆命題、否命題、逆否命題這4個命題中 （ ）（A）真命題與假命題的個數(shù)相同 （B）真命題的個數(shù)一定是奇數(shù)（C）真命題的個數(shù)一定是偶數(shù) （D）真命題的個數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)2.以下命題正確的是 （ ）(A) ( B) (C) (D) 3“用反證法證明命題“如果x<y，那么 <”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是（ ）（A） （B） < （C）且< （D）或>4“a1或b2”

26、是“ab3”的 （ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要5設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要非充分條件，則甲是丁的 （ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要6.“至多有一個”的否定是 （ ）(A) 至少有一個 ( B) 至少有兩個 (C) 恰有兩個 (D) 一個也沒有7“若xa且xb，則x2（ab）xab0”的否命題（ ）（A）若xa且xb，則x2（ab）xab0 （B）若xa或xb，則x2（ab）xab0（C）若xa且xb，則x2（ab）xab0 （D）若xa或xb，則x2（ab）xab08“”是“