第四章4[1]1定積分的概念與性質09

1、1第四章積分學積分學不定積分不定積分定積分定積分定積分 2第一節(jié)一、一、定積分問題舉例定積分問題舉例二、二、 定積分的定義定積分的定義三、三、 定積分的性質定積分的性質定積分的概念及性質 第五五章 3一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 a .?a)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah41xix1ixxabyo解決步驟解決步驟 :1) 大化小大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊

2、梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積,ia得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii53) 近似和近似和.niiaa1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiaa10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi62. 變速直線運動的路程變速直線運動的路程設某物體作直線運動, ,)(21ttctvv且,0)(tv求在運動時間內物體所經過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 大化小大化小., ,1iiit

3、t任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經2) 常代變常代變.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在ntt),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 n 個小段過的路程為73) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限8abxo二、定積分定義二、定積分定義 ( p88 ),)(上定義在設函數(shù)bax

4、f的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 i , 則稱此極限 i 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作9baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 , 而與積分變量用什么字母表示無關 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(10 babaab

5、dxxfb, adxxf-dxxfba0)()()( ,2.2.曲邊梯形的面積是曲邊方程曲邊梯形的面積是曲邊方程 在區(qū)間在區(qū)間 上的定積分，即上的定積分，即)(xfy ba,)0)( )( xfdxxfaba badttvsbatv)( ,)(. 1內所經過的路程：內所經過的路程：在時間在時間變速變速113.定積分的幾何意義定積分的幾何意義:axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值abyx1a2a3a4a5a54321d)(aaaaaxxfba各部分面積的代數(shù)和a12定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf定理定理2.,)(上

6、有界在函數(shù)baxf且只有有限個間斷點 4.可積的充分條件可積的充分條件:(證明略).,)(可積在baxf 5.5.若已知若已知f f( (x x) )可積可積，則說明積分值與，則說明積分值與 a,ba,b 的分法和的分法和 的取法無關，故的取法無關，故可取一種易于可取一種易于i 運算的特殊分法與特殊的來求定積分。運算的特殊分法與特殊的來求定積分。i 13o1 xyni例例1. 利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni2xy iiiixxf2)(則32ni14o1 xyniiinixf)(1niin1

7、231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注15三、定積分的性質三、定積分的性質(設所列定積分都存在設所列定積分都存在) baxd. 3xxfkxxfkbabad)(d)(. 1 ( k 為常數(shù)) bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 2證證:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab16 bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(. 4證證: 當bca時,因)(xf在,ba上可積 ,所以在分割區(qū)間時,

8、可以永遠取 c 為分點 , 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(17abc當 a , b , c 的相對位置任意時, 例如,cba則有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(185. 若在 a , b 上0)(1iinixf則.0d)(xxfba證證:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推論推論1. 若在 a , b 上, )()(xgxf則xxfbad)(xxgbad)(19推論推論2.xxfbad)(xx

9、fbad)(證證:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 設, )(min, )(max,xfmxfmbaba則)(d)()(abmxxfabmba)(ba 208. 積分中值定理積分中值定理, ,)(bacxf若則至少存在一點, ,ba使)(d)(abfxxfba證證:,)(mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設則由性質性質7 可得mxxfabmbad)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba點使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.21oxbay)(xfy 說明說明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推