曲線積分與曲面積分習題課

1、曲線積分與曲面積分習題課曲線積分與曲面積分習題課（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步（三）場論初步 曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp

2、),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 聯(lián)聯(lián)系系dsqpqdypdxll)coscos( 計計算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定 (與方向有關)與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域d上上),(),(yxqyxp具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . lqdypdxd與路徑無關與路徑無關內(nèi)內(nèi)在在)1( cdcqdypdx閉曲線閉曲線, 0)2(qdypdxduyxud 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xqypd ,)4(內(nèi)

3、內(nèi)在在等等價價命命題題 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiisrdxdyzyxr)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 rdxdyqdzdxpdydz計計 算算一代,二換,三投(與側無關) 一代,二投,三定向 (與側有關) dsrqp)coscoscos( dszyxf),( xydyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxr),( xyddxdyyxzyxr),(,定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算gre

4、en公式公式stokes公式公式guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10mfmfdmfnii .)()(,1 badxxfdmfbar 時時上區(qū)間上區(qū)間當當.),()(,2 ddyxfdmfdr 時時上區(qū)域上區(qū)域當當定積分定積分二重積分二重積分 dvzyxfdmfr),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當當.),()(,3 dszyxfdmfr 時時上空間曲線上空間曲線當當.),()(,3 sdszyxfdmfsr 時時上曲面上曲面當當曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 ldsyxfdmflr 時時上平面曲線

5、上平面曲線當當曲線積分曲線積分)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baldsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baldxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr),(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos( dsqpqdypd

6、xl)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx斯托克斯

7、公式斯托克斯公式 dldxdykarotsda)( dldxdyadivdsna)( dsnarotdsa)( rqpzyxdxdydzdxdydzrdzqdypdx dvadivdsna)(dvzryqxprdxdyqdzdxpdydz)( dldxdyypxqqdypdx)( dldxdyyqxppdyqdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(ma為空間向量場為空間向量場)(ma梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zryqxpadiv rdxdyqdzdxpdydzkypxqjxrzpizqyrarot)()()( rdzqdypdx散度散度（三）（三）

8、場論初步場論初步例例 1 1 計算計算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其中其中l(wèi)為由點為由點)0 , 0(o到點到點)1 , 1(a的曲線的曲線xy2sin . .思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式解解xxyxyyp2)2(2 知知xyxxxq2)(42 ,xqyp 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11a dyyxdxxyxi)()2(422由由例例 2 2 計計算算 lxxdymye

9、dxmyyei)cos()sin(, ,其其中中l(wèi)為為由由點點)0 ,(a到到點點)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyypxx cos)sin(yemyexxqxxcos)cos( xqyp 即即( (如下圖如下圖) )xyo)0 ,(aamdxdyypxqdamoa )( ddxdym,82am 0)(00 medxxaao, 0 082 am.82am amoaaoaoaoli amoaaoi曲面面積的計算法曲面面積的計算法sdxy),(yxfz xyoz dss xydyxdxdyzz221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21

10、),(zxoy),(yxfz slabab曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的的側側面面積積. .解解由對稱性由對稱性 lldsyxzdss2218, 1:3232 yxl)20(,sin,cos33 ttytx參數(shù)方程為參數(shù)方程為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttscossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdt

11、t.233 在第一卦限部分的上側在第一卦限部分的上側為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關系利用兩類曲面積分之間的關系,1 , 1, 1 n的法向量為的法向量為.31cos,31cos,31cosdszzyxfyzyxfxzyxfi),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyddxdy3131.21 向量點積法向量點積法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量為法向量為設設 rdxdyqdzdxpdydzidxdyffr

12、qpyx1 , dsna0, dxdydzdxdydzrqp.1,dxdyffrqpxoyyx 面投影面投影在在將將所截部分的外側所截部分的外側被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例解解,2222yxyfyxxfyx d 利用向量點積法利用向量點積法 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyddxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyi 1 ,2222241:22 yxdxy例例 6 6 計算曲面積分計算曲面積分yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲線是由曲線)31(01

13、yxyz繞繞y軸旋轉一周軸旋轉一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . .解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉轉面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )xyzo132 * *i且有且有dxdydzzryqxp)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzdxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 .2, 1, . 7 2222外側外側所圍成立體整個表面的所圍成立體整個表面的和

14、和為錐面為錐面其中其中計算計算 zzyxzdxdyyxez解解 , 0, 022yxerqpz 由高斯公式得到由高斯公式得到dxdyyxez 22 dvyxez)00(22rdrrdzedzz 0 2 1 2 0 1 .22e zdzdxdyyxedz222 1 ):(222zyxdz o2 xzy3 2 1 ( coscoscos ),3cos,cos,cos .vxyzds證明封閉曲面所包圍的體積為其中是曲面的外法向量的方向余弦證明證明,zryqxp dszyx)coscoscos( dvzryqxp)( dv3 .)coscoscos(31 dszyxv 所以所以.3v 由高斯公式，得到

15、由高斯公式，得到例例8. , . 9222的上側的上側是上半球面是上半球面其中其中計算計算yxrzxzdydz 解解. 2221的下側的下側平面上的圓域平面上的圓域是是設設ryxxoy , 0, 0, rqxzp 1xzdydz dvxzx)( zdxdydz drrddrsincos2 0 2 0 2 0 .44r xzdydz 所以所以 1xzdydz 1xzdydz044 r ）（01 xzdydz.44r 由高斯公式，得到由高斯公式，得到.)0()()()( .10 22外側外側空間區(qū)域的整個邊界的空間區(qū)域的整個邊界的所圍成的所圍成的及平面及平面為曲面為曲面其中其中計算計算 hhzyx

16、zdxdyyxdzdxxzdydzzy解解1 上的部分上側為上的部分上側為在在記記hz上：上：在在22 yxz .)(0)(0)(0)(05432 為為左側左側的部分的部分，為為右側右側的部分的部分，為為后側后側的部分的部分，為為前側前側的部分的部分yyxx4 y1 5 2 xzo3 dydzzy)( dydzzy 123)(; 0)()(0 yzyzdddydzzydydzzy同理可得同理可得; 0)( dzdxxz而而ydxdyx )( 321)()( dxdyyxdxdyyx. 0)()( xyxydddxdyyxdxdyyx . 0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以

17、所以（或由高斯公式得到所求積分值為（或由高斯公式得到所求積分值為0）4 y1 5 2 xzo3 一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設設l為為230,0 yxx, ,則則 lds4的值為的值為( ).( ). (a) (a)04x， (b) (b),6 (c) (c)06x. .2 2、 設設l為直線為直線0yy 上從點上從點),0(0ya到點到點),3(0yb的的有向直線段有向直線段, ,則則 ldy2=( ).=( ). (a (a)6; (b) )6; (b) 06y; (c)0.; (c)0.3 3、 若若l是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時針方向取順時針方向,

18、 ,則則 lxdyydx的值為的值為( ).( ). (a (a) )0 0; (b); (b)ab2 ; (c); (c)ab . .測驗題測驗題4 4、設、設),(,),(yxqyxp在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域d內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導數(shù)偏導數(shù), ,則在則在d內(nèi)與內(nèi)與 lqdypdx路徑無關的條件路徑無關的條件 dyxypxq ),(,是是( ).( ). (a) (a)充分條件充分條件; (b); (b)必要條件必要條件; (c); (c)充要條件充要條件. .5 5、設、設 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. .

19、(a) (a) 12zdszds; ; (b) (b) 12zdxdyzdxdy; ; (c) (c) 1222dxdyzdxdyz. .6 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (a) (a) rrdrrd022041 ;(b);(b) 2022041rdrrd ; ; (c)(c) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222rzyx 的外側的外側, ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryx22222; ; (b) (b) 2 2

20、xyddxdyyxryx22222; ; (c) 0(c) 0 . .8 8、曲面積分、曲面積分 dxdyz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(a)(a) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(b)(b) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(c)(c) 向量向量kz2穿過曲面穿過曲面 的流量的流量 . .9 9、設、設 是球面是球面2222rzyx 的外側的外側, ,xyd是是xoy面面 上的圓域上的圓域222ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (a) (a) xyddxdyyxryxzdsyx2222222； (b) (b) x

21、yddxdyyxdxdyyx)()(2222； (c) (c) xyddxdyyxrzdxdy2222. .1010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計算中運用奧下述計算中運用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (a) (a) 外側外側dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (b) (b) 外側外側zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (c) (c) 內(nèi)側內(nèi)側dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .二、計算下列各題二、計算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中l(wèi)為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時針方向沿逆時針方向 . .三、計算下列各題三、計算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222ryx ；2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側；的外側；3 3、 3222)(z