曲線積分與曲面積分20879

1、第十章 習題課曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分一一 基本要求基本要求1理解兩類曲線和曲面積分的概念，了解兩類理解兩類曲線和曲面積分的概念，了解兩類積分的性質以及兩類積分的關系。積分的性質以及兩類積分的關系。2掌握計算兩類曲線、曲面積分的方法。掌握計算兩類曲線、曲面積分的方法。3掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件。無關的條件。4了解高斯公式，并會用高斯公式求曲面積分。了解高斯公式，并會用高斯公式求曲面積分。5會用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物會用曲線積分和曲面積分求一些幾何量與物理量（弧長質量重心轉動慣量引力、理量（弧長質量重心轉動慣量

2、引力、功和流量等）。功和流量等）。 二二. .要點提示要點提示1.曲線積分的計算曲線積分的計算化為定積分計算化為定積分計算（1）對弧長（第一型）對弧長（第一型）設設l：弧微分弧微分( ),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),lf x y dsftttt dt22( )( ),dstt dt（2）對坐標（第二型）對坐標（第二型）設設l： ( ),( ),xtytb 從a到( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )lp x y dxq x y dyptttqttt dt2曲面積分的計算（化為二重積分）曲面積分的計算（化為二重積分）（1）對面積（第一型）的

3、曲面積分）對面積（第一型）的曲面積分若22( , , ), , ( , )1( , )( , )xyxydf x y z dsf x y z x yzx yzx y dxdy( , )zz x y:22:( , ),1yzxx y z dsxx dydz22:( , ),1xzyy x z dsyy dxdz（2）對坐標（第二型）的曲面積分）對坐標（第二型）的曲面積分若 上側，則若 下側，則( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr x y z x y dxdy:( , )zz x y:( , )zz x y( , , ), , ( , )xydr x y z dxdyr

4、 x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzdp x y z dydzp x y zy z dydz :( , ),xx y z:( , ),yy x z( , , ). ( , ),zxdq x y z dzdxq x y z x z dzdx ()dlqpdxdypdxqdyxy3.格林公式格林公式平面上曲線積分與二重積分的平面上曲線積分與二重積分的關系：關系：（1）曲線積分與路徑無關的條件）曲線積分與路徑無關的條件l正向正向.以及等價關系以及等價關系.qpxy（2）添加曲線使積分曲線弧段成為閉曲線，）添加曲線使積分曲線弧段成為閉曲線，利用格林公式求曲線積分利用格林公

5、式求曲線積分.4.高斯公式高斯公式 曲面積分與三重積分的關系曲面積分與三重積分的關系()pqrdvpdydzqdzdxrdxdyxyz. 為為外外側側三 問題與思考問題問題1 下列運算正確嗎？下列運算正確嗎？ 22222222232224122xyaldxyaxydsadsaxydada 解解 （1）正確）正確. (2) 錯誤，因為二重積分的積分包括圓的邊界錯誤，因為二重積分的積分包括圓的邊界 和內部，正確的是和內部，正確的是 222222240012axyaxyddrrdra 問題問題2.如何正確理解兩類曲線積分和曲面積分的概念？如何正確理解兩類曲線積分和曲面積分的概念？答：由于實際需要，曲

6、線積分與曲面積分為兩種類型，答：由于實際需要，曲線積分與曲面積分為兩種類型，有關質量重心轉動慣量等數量積分問題導出第一有關質量重心轉動慣量等數量積分問題導出第一類線面積分；有關變力作功、流體流過曲面的流量等類線面積分；有關變力作功、流體流過曲面的流量等向量問題導出第二類線、面積分。向量問題導出第二類線、面積分。 前者被積函數化為數量函數沿區(qū)域積分，無需考慮前者被積函數化為數量函數沿區(qū)域積分，無需考慮方向性，而后者被積函數是向量函數，必須考慮方向。方向性，而后者被積函數是向量函數，必須考慮方向。因此，一個函數的積分可以由積分區(qū)域的有向或無向因此，一個函數的積分可以由積分區(qū)域的有向或無向分為兩種類

7、型的積分，分為兩種類型的積分， 在所學過的積分中在所學過的積分中區(qū)域無向的積分有：區(qū)域無向的積分有：重積分第一類曲線積分和第一類曲面積分；重積分第一類曲線積分和第一類曲面積分；區(qū)域有向的積分有：區(qū)域有向的積分有：定積分第二類曲線積分和第二類曲面積分定積分第二類曲線積分和第二類曲面積分. 曲線的方向是由起點到終點（定積分）或切向量曲線的方向是由起點到終點（定積分）或切向量的方向來確定，曲面的方向則由曲面上點的法向量所的方向來確定，曲面的方向則由曲面上點的法向量所指向的側來確定指向的側來確定.例例1 計算計算 12llxy dsxy dx :1,1,00,1lxy從從到到。 1,0 0,1oyx四

8、 典型題目1.解解 21:1,12l yx dsy dxdx 10122lxy dsdx 12lllxy dsdsds或或 2:1,:10,l yx x 0111lxy dxdx 22222,:nlxydsl yax 例例求求上上半半圓圓周周 222221nnnnlllxydsadsadsa 1( 1, 1),( ,0),(0,1)2abc 這里labc是有向折線是有向折線223lxdyydxixy例求2222qyxpxxyx解解積積分分與與路路徑徑無無關關可選路徑可選路徑aefc，則，則11022222111111lxdyydxdxdydxixyxyx11020555arctan|14dxx

9、xadc請思考：能否請思考：能否取折線取折線4cossinxxleydxeydy 例例 計計算算 22(0)1,00,0lxyx yao其其中中 ：從從到到的的上上半半圓圓周周. .sinxqpeyxx 解解積積分分與與路路徑徑無無關關ao:0,:0aoyx a另另選選直直線線 0cossin1cos012xxlxaaeydxeydyedxe 25x ds例 求2222xyzr：，第一卦限部分.222222221:1xyzrxyrdxdydszzdxdyrxy解解法法222222222:,0,0 xyxydrx dxdyx dsdxyr xyrxy32422200cos6rrrdrrr解解 法法2 由對稱性（輪換性）由對稱性（輪換性）222x dsy dsz ds2222222411433386rrx dsxyz dsdsrr22226xyzxy dxdy例，22:10.zxyz 的下側22:1xyxoydxy下下解解向向面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域22222221200=23xydx