曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好

1、上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 課課1.1. 主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.2. 例題例題3.3. 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、曲線積分曲線積分（1 1）概念）概念 ldsmf)(第一類第一類第二類第二類 ldxmf,)( ldymf,)( ldzmf)(（2 2）兩類曲線積分的聯(lián)系）兩類曲線積分的聯(lián)系 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁（3 3）計算）計算直接計算法直接計算法第一類：第一類：從從小小參

2、數(shù)到參數(shù)到大大參數(shù)參數(shù)；第二類：第二類：從從起點起點參數(shù)到參數(shù)到終點終點參數(shù)參數(shù)。化為對化為對l l的定位參數(shù)的定積分。的定位參數(shù)的定積分。注意：注意：先化簡；先化簡；間接計算法間接計算法用兩類曲線積分的聯(lián)系；用兩類曲線積分的聯(lián)系；用用greengreen公式及其推論、公式及其推論、stokesstokes公式公式. .第二類與定向有關(guān)第二類與定向有關(guān)。上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁 lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補充曲線再用公式補充曲線再用公式基本基本方法方法

3、ttytytxqtxtytxpid)()(),()()(),(: )()(ttyytxx上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁2 2、曲面積分曲面積分（1 1）概念）概念 dsmf)(第一類第一類第二類第二類.)( dxdymf（2 2）兩類曲面積分的聯(lián)系）兩類曲面積分的聯(lián)系,)( dydzmf ,)(dzdxmf sddsn0ds)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁（3 3）計算）計算直接計算法直接計算法第一類：化為對某兩個直角坐標(biāo)（第一類：化為對某兩個直角坐標(biāo)（ 的定位參的定位參 數(shù)）的二重積分；數(shù)）的二重積分；第二類：將對

4、第二類：將對x、y的曲面積分化為對的曲面積分化為對x、y的二的二重積分。重積分。注意：注意：先化簡先化簡；間接計算法間接計算法用兩類曲面積分的聯(lián)系；用兩類曲面積分的聯(lián)系；用高斯公式。用高斯公式。第二類與定向有關(guān)第二類與定向有關(guān)。上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁3 3、green公式、公式、gauss公式、公式、stokes公式公式（1 1）建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系）建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系注意：注意： 定向定向。（2 2）公式及其推論在計算曲線積分、曲）公式及其推論在計算曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用面積分中的應(yīng)用注意：條件。注意：條件。上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁例例 1

5、 1 計計算算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其其 中中l(wèi)為為由由點點)0 , 0(o到到點點)1 , 1(a的的曲曲線線xy2sin . . 思路思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉閉合閉合 ddxdyypxqi)(非閉非閉補充曲線再用公式補充曲線再用公式二、二、例題例題上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁解解xyp2 由于由于xxq2 ,xqyp 有有xyo11a 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 計計算算 ldyyxdxxyxi)()2(422, ,其其

6、 中中l(wèi)為為由由點點)0 , 0(o到到點點)1 , 1(a的的曲曲線線xy2sin . . 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁例例 2 2 計算計算 lxxdymyedxmyyei)cos()sin(, , l為由為由)0 ,(a到到)0 , 0(的上半圓周的上半圓周0,22 yaxyx. . 解解myeypx cosyexqxcos xqyp 有有xyo)0 ,(aammxqyp 但但 amoaoaoaoalidxdy)ypxq(d 0 ddxdym.82am 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面，其中其中求求1 c),( ,)

7、,(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfi例例3xyoz111 解解),1 , 1, 1( n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfi dszyx)(31 ds31方程方程.21 dszzyxfyzyxf),(31),(231 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁所所截截部部分分外外側(cè)側(cè)被被平平面面為為錐錐面面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例4解解 21220rdrrd.215 xyddxdyyx)(22dxdyzi 2對稱性對稱性41:22 yxdxy上上 頁頁下

8、下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 , , ：曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面, , 法法向向量量與與y軸軸正正向向夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解221 xzy 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為 *i dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxddzdx)(16 322 .34 xyzo132 *上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁,)(lim)(10 niiimfdmf .)()(, badxxfdmfbar 上上區(qū)區(qū)間間.),()(,2 ddyxfdmfdr 上上區(qū)區(qū)域域三

9、、三、 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁 dvzyxfdmfr),()(,3 上上區(qū)區(qū)域域.)()(,32 dsmfdmfrr 上上（有有向向）曲曲線線或或.),()(,3 sdszyxfdmfsr 上上（有有向向）曲曲面面曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()( sdxdyzyxfdmf .)()( dxmfdmf 上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁計算上的聯(lián)系計算上的聯(lián)系)(),(),()()(21面面積積元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyd baxyx

10、yyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf)()(),(),(2121),(),( baldxyxyxfdsyxf21)(,),( baldxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( badxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzddzzyxfdxdyxy或或)(體積元素體積元素dv弧長元素）弧長元素）（ds上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁 xydyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyddxdyyxzyxfdxdyzyxr)(,(,),(其中其中dsrqpdxdyrqdzdxpdydz)coscoscos(

11、dsrqprdzqdypdxll)coscoscos( )(面面積積元元素素ds)(投影元素投影元素dxdy上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1. 定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxfafbfdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2. 二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)( )(的的正正向向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 格林公式格林公式上上 頁頁下下 頁頁尾尾 頁頁首首 頁頁3. 三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高斯公式高斯公式4. 曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分