矩形專題訓練

1、第18章 平行四邊形 專項訓練專訓1.矩形性質(zhì)與判定的靈活運用名師點金：矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時還具有一些獨特的性質(zhì)它的性質(zhì)可歸結為三個方面：(1)從邊看：矩形的對邊平行且相等；(2)從角看：矩形的四個角都是直角；(3)從對角線看：矩形的對角線互相平分且相等判定一個四邊形是矩形可從兩個角度考慮：一是判定它有三個角為直角；二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個角為直角或兩條對角線相等利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉化思想)1如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，點A，點B落在點M處，點C，點D落在點N處，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH

2、3 cm，EF4 cm，求AD的長(第1題)利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關系2如圖，在ABC中，A90°，D是AC上的一點，BDDC，P是BC上的任意一點，PEBD，PFAC，E，F(xiàn)為垂足試判斷線段PE，PF，AB之間的數(shù)量關系，并說明理由(第2題)利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3如圖，在ABCD中，過點D作DEAB于點E，點F在邊CD上，DFBE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF3，BF4，DF5，求證：AF平分DAB.(第3題)利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4如圖，已知點E是ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.(1)連接AC

3、，BF，若AEC2ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；(2)在(1)的條件下，若AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積(第4題)專訓2.菱形性質(zhì)與判定的靈活運用名師點金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時又具有一些特性，可以歸納為三個方面：(1)從邊看：對邊平行，四邊相等；(2)從角看：對角相等，鄰角互補；(3)從對角線看：對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角判定一個四邊形是菱形，可先判定這個四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1如圖，在RtABC中，ACB90°，D為AB的中點，且

4、AECD，CEAB.(1)求證：四邊形ADCE是菱形；(2)若B60°，BC6，求菱形ADCE的高(計算結果保留根號)(第1題)利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對角線長2如圖，在矩形AFCG中，BD垂直平分對角線AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.連接AD，BC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若E為AB的中點，DEAB，求BDC的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若AB1，求菱形ABCD的對角線AC，BD的長(第2題)利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題3如圖，在RtABC中，ACB90°，D，E分別為AB，AC邊的中點，連接DE，將ADE繞點E旋轉180°，得

5、到CFE，連接AF.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC8，AC6，求四邊形ABCF的周長(第3題)利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4如圖，在RtABC中，BAC90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AFBC交BE的延長線于點F.(1)求證：AEFDEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形；(3)若AC4，AB5，求菱形ADCF的面積(第4題)專訓3.正方形性質(zhì)與判定的靈活運用名師點金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題1已知：在正方形ABCD中，MAN45&

6、#176;，MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N.(1)如圖，當MAN繞點A旋轉到BMDN時，易證：BMDNMN.當MAN繞點A旋轉到BMDN時，如圖，請問圖中的結論是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由(2)當MAN繞點A旋轉到如圖的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并證明(第1題)利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關系2如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DECF，連接DF，AE，AE的延長線交DF于點M.求證：AMDF.(第2題)正方形性質(zhì)與判定的綜合運用3如

7、圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B，C，D同時出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動，其終點分別是B，C，D，A.(1)不管滾動多長時間，求證：連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形(2)四邊形PQRS在什么時候面積最大？(3)四邊形PQRS在什么時候面積為原正方形面積的一半？并說明理由(第3題)專訓4.特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的靈活運用名師點金：特殊平行四邊形的性質(zhì)區(qū)別主要從邊、角及對角線三個方面進行區(qū)分；而判定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎上再附加什么條件方面進行判定矩形的綜合性問題a矩形性質(zhì)的應用1如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點

8、B落到點B的位置，AB與CD交于點E.(1)試找出一個與AED全等的三角形，并加以證明；(2)若AB8，DE3，P為線段AC上的任意一點，PGAE于點G，PHEC于點H，試求PGPH的值(第1題)b矩形判定的應用2如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DEAC，CEBD，連接OE.求證：(1)四邊形OCED是矩形；(2)OEBC.(第2題)c矩形性質(zhì)和判定的應用3如圖，在ABC中，ABAC，點P是BC上任意一點(不與B，C重合)，PEAB，PFAC，BDAC.垂足分別為E，F(xiàn)，D.(1)求證：BDPEPF.(2)當點P在BC的延長線上時，其他條件不變?nèi)鐖D，BD，PE，PF之間的上述關系還成立嗎

9、？若不成立，請說明理由(第3題)菱形的綜合性問題a菱形性質(zhì)的應用4已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點，連接AF交對角線BD于點E，連接EC.(1)求證：AEEC.(2)當ABC60°，CEF60°時，點F在線段BC上的什么位置？并說明理由(第4題)b菱形判定的應用5如圖，在RtABC中，B90°，BC5，C30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設點D，E運動的時間是t s(t>0)過點D作DF

10、BC于點F，連接DE，EF.(1)求證：AEDF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由(3)當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由(第5題)c菱形性質(zhì)和判定的應用6(1)如圖，紙片ABCD中，AD5，SABCD15.過點A作AEBC，垂足為E，沿AE剪下ABE，將它平移至DCE的位置，拼成四邊形AEED，則四邊形AEED的形狀為()A平行四邊形 B菱形C矩形 D正方形(2)如圖，在(1)中的四邊形紙片AEED中，在EE上取一點F，使EF4，剪下AEF，將它平移至DEF的位置，拼成四邊形AFFD.求證：四邊形AFFD是菱形；求四邊形AFFD的兩條

11、對角線的長(第6題)正方形的綜合性問題a正方形性質(zhì)的應用7如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點，連接AG，DEAG于E，BFDE交AG于點F，探究線段AF，BF，EF三者之間的數(shù)量關系，并說明理由(第7題)b正方形判定的應用8兩個長為2 cm，寬為1 cm的矩形擺放在直線l上(如圖)，CE2 cm，將矩形ABCD繞著點C順時針旋轉角，將矩形EFGH繞著點E逆時針旋轉相同的角度(1)當旋轉到頂點D，H重合時(如圖)，連接AE，CG，求證：AEDGCD；(2)當45°時(如圖)，求證：四邊形MHND為正方形(第8題)答案專訓11解：由折疊的性質(zhì)知HEMAEH，BEFFEM，HEF

12、HEMFEM×180°90°.同理可得EHGHGFEFG90°，四邊形EFGH為矩形HGEF，HGEF.GHNEFM.又HNGFME90°，HNGFME.HNMF.又HNHD，HDMF.ADAHHDHMMFHF.HF5(cm)，AD5 cm.點撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用三角形全等來證明HNMF，進而證明HDMF，從而將AD轉化為直角三角形EFH的斜邊HF，進而得解，體現(xiàn)了轉化思想(第2題)2解：PEPFAB.理由：過點P作PGAB于G，交BD于O，如圖所示PGAB，PFAC，A90°，AAGPP

13、FA90°.四邊形AGPF是矩形AGPF，PGAC.CGPB.又BDDC，CDBP.GPBDBP.OBOP.PGAB，PEBD，BGOPEO90°.在BGO和PEO中，BGOPEO.BGPE.ABBGAGPEPF.3證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD.BEDF.又BEDF，四邊形BFDE是平行四邊形DEAB，DEB90°.四邊形BFDE是矩形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，ADBC.DFAFAB.由(1)易得BCF為直角三角形，在RtBCF中，由勾股定理，得BC5，ADBCDF5.DAFDFA.DAFFAB，即AF平分DAB.4(1)證明

14、：四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC.ABEECF.又點E為BC的中點，BECE.在ABE和FCE中，ABEFCE.ABCF.又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形AEEF.AEC為ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBEEC，即AFBC.四邊形ABFC為矩形(2)解：四邊形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等邊三角形，CFCD2.AC2.S四邊形ABFC2×24.專訓21(1)證明：AECD，CEAB，四邊形ADCE是平行四邊形，又ACB90°，D是AB的中點，CDBDAD，平行四邊形ADCE是菱形(2)解：如圖，過點D

15、作DFCE，垂足為點F，則DF即為菱形ADCE的高，B60°，CDBD，BCD是等邊三角形，BCD60°.CEAB，BCE180°B120°，DCE60°，又CDBC6，在RtCDF中，易求得DF3，即菱形ADCE的高為3.(第1題)2(1)證明：BD垂直平分AC，OAOC，ADCD，ABBC.四邊形AFCG是矩形，CGAF.CDOABO，DCOBAO.CODAOB(AAS)CDAB.ABBCCDDA.四邊形ABCD是菱形(2)解：E為AB的中點，DEAB，DE垂直平分AB.ADDB.又ADAB，ADB為等邊三角形，DBA60°.CD

16、AB，BDCDBA60°.(3)解：由菱形性質(zhì)知，OABBAD30°.在RtOAB中，AB1，OB，OA.BD1，AC.3(1)證明：將ADE繞點E旋轉180°得到CFE，AECE，DEFE.四邊形ADCF是平行四邊形D，E分別為AB，AC邊的中點，DE是ABC的中位線DEBC.ACB90°，AED90°.DFAC.四邊形ADCF是菱形(2)解：在RtABC中，BC8，AC6，AB10.點D是AB邊的中點，AD5.四邊形ADCF是菱形，AFFCAD5.四邊形ABCF的周長為8105528.4(1)證明：E是AD中點，AEDE.AFBC，F(xiàn)AEB

17、DE，又AEFDEB，AEFDEB(ASA)(2)證明：由(1)知，AEFDEB，則AFDB，D是BC的中點，DBDC，AFCD，又AFBC，四邊形ADCF是平行四邊形，BAC90°，D是BC的中點，ADDCBC，四邊形ADCF是菱形(3)解：設菱形ADCF的DC邊上的高為h，則RtABC斜邊BC上的高也為h，BC，DCBC，h，菱形ADCF的面積為：DC·h×10.專訓31解：(1)仍有BMDNMN成立證明如下： 如圖(1)，過點A作AEAN，交CB的延長線于點E, 易證ABEADN，DNBE，AEAN. 又MAN45°，EAMNAM45°，

18、AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .(2)DNBMMN.證明如下： 如圖(2)，在DN上截取DEBM，連接AE.四邊形ABCD是正方形，ABMD90°，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90°，MAE90°.MAN45°，EAN45°MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN.(1)(2) (第1題)2證明：AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在RtAOE與RtDOF中，RtAO

19、ERtDOF.OAEODF.DOF90°，DFOFDO90°.DFOFAE90°.AMF90°，即AMDF.3(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDA.又不管滾動多長時間，APBQCRDS，SAPBQCRD.ASPBPQCQRDRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.不管滾動多長時間，四邊形PQRS是菱形又APSASP90°，APSBPQ90°.QPS180°(APSBPQ)180°90°90°.不管滾動多長時間，四邊形PQRS總是正方形(2)解：當P，Q，R

20、，S在出發(fā)時或在到達終點時面積最大，此時的面積就等于原正方形ABCD的面積(3)解：當P，Q，R，S四點運動到正方形四邊中點時，四邊形PQRS的面積是原正方形ABCD面積的一半理由：設原正方形ABCD的邊長為a.當PS2a2時，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即(aAP)2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.當P，Q，R，S四點運動到正方形ABCD各邊中點時，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半專訓41解：(1)AEDCEB.證明：四邊形ABCD是矩形，BCDA，BD.由折疊的性質(zhì)，知BCBC，BB，BCDA，BD.在AED和CEB中，AED

21、CEB.(第1題)(2)如圖，延長HP交AB于點M，則PMAB.12，PGAB，PMPG.CDAB，23，13，AECE835.在RtADE中，DE3，AE5，AD4.PHPMAD，PGPHAD4.2證明：(1)DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形四邊形ABCD是菱形，ACBD.DOC90°.四邊形OCED是矩形(2)四邊形ABCD是菱形，BCCD.四邊形OCED是矩形，OECD，OEBC.(第3題)3(1)證明：如圖，過點B作BHFP交FP的延長線于點H.BDAC，PFAC，BHPF，四邊形BDFH是矩形BDHF.ABAC，ABCC.PEAB，PFAC，PEBPFC90&

22、#176;.EPBFPC.又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90°.又PBPB，PEBPHB.PEPH，BDHFPFPHPFPE.即BDPEPF.(2)解：不成立，此時PEBDPF.理由：過點B作BHPF交PF的延長線于點H.與(1)同理可得PEPH，BDHF.PEFHFPBDPF.(第4題)4(1)證明：連接AC，如圖BD是菱形ABCD的對角線，BD是線段AC的垂直平分線，AEEC.(2)解：點F是線段BC的中點理由：四邊形ABCD是菱形，ABCB.又ABC60°，ABC是等邊三角形，BAC60°.AEEC，EACACE.CEF60&

23、#176;，EAC30°，EACEAB.AF是ABC的角平分線BFCF.點F是線段BC的中點5(1)證明：在DFC中，DFC90°，C30°，DC2t，DFt，又AEt，AEDF.(2)解：能理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形在RtABC中，設ABx，則由C30°，得AC2x，由勾股定理，得AB2BC2AC2，即x2(5)24x2，解得x5(負根舍去)，AB5.AC2AB10.ADACDC102t.由已知得點D從點C運動到點A的時間為10÷25(s)，點E從點A運動到點B的時間為5÷15(s)若使AEFD為菱形，則需AEAD，即t102t，解得t.符合題意故當t s時，四邊形AEFD為菱形(3)解：當EDF90°時，