2023年新高考全國I卷數(shù)學真題

高中數(shù)學精編資源2/22023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(新課標I卷)(適用地區(qū)：山東、廣東、湖南、湖北、河北、江蘇、福建、浙江)注意事項：1.答卷前,考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆將答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合M={?2,?1,0,1,2},N={x|x2?x?6≥0},則M∩N=()A.{?2,?1,0,1}B.{0,1,2}C.{?2}D.{2}2.已知z=,則z?=()A.?iB.iC.0 D.1 3.已知向量a=(1,1),b=(1,?1).若(a+λb)⊥(a+μb)則()A.λ+μ=1B.λ+μ=?1C.λμ=1D.λμ=?14.設函數(shù)f(x)=2x(x?a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()A.(?∞,?2]B.[?2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)5.設橢圓C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=e1,則a=()A. B.C.D.6.過點(0,?2)與圓x2+y2?4x?1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=()A.1 B.C.D. 7.記Sn為數(shù)列{an}的前項和,設甲:{an}為等差數(shù)列;乙:{}為等差數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件又不是必要條件8.已知sin(α?β)=,cosαsinβ=,則cos(2α+2β)=()A.B.C.?D.?二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,…,x6的標準差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級LP=20×lg,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓,下表為不同聲源的聲壓級聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3則()A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p211.已知函數(shù)f(x)定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點12.下列物體,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有()A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體三、填空題13.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).14.在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,則該棱臺的體積為.15.已知函數(shù)f(x)=cosωx?1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是.16.已知雙曲線C:?=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2.點A在C上,點B在y軸上,⊥,=?,則C的離心率為.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A?C)=sinB.(1)求sinA;(2)設AB=5,求AB邊上的高.18.如圖,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2//A2D2;(2)點P在棱BB1上,當二面角P?A2C2?D2為150°,求B2P.19.已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)?x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當a>0時,f(x)>2lna+.20.設等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1.令bn=,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99?T99=99,求d.21.甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若若命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1?P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E(Xi)=qi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).22.在直角坐標系xOy中,點P到x軸的距離等于點P到點(0,)的距離,記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上,證明:矩形ABCD的周長大于3.

參考答案1.答案:C解析:∵x2?x?6≥0?(x?3)(x+2)≥0,∴N=(?∞,?2]∪[3,+∞),又∵M={?2,?1,0,1,2},∴M∩N={?2},故選C.2.答案:A解析:∵z====?,∴=i,z?=?i?i=?i,故選A.3.答案:D解析:由題意得a+λb=(1+λ,1?λ),a+μb=(1+μ,1?μ),∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)?(a+μb)=0即(1+λ)(1+μ)+(1?λ)(1?μ)=0,整理得λμ=?1,故選D.4.答案:D解析:∵y=2x在R上是單調(diào)增函數(shù),∴函數(shù)y=x(x?a)=(x?)2?在(0,1)上單調(diào)遞減,∴≥1?a∈[2,+∞),故選D.5.答案:A解析:由e2=e1,得=3,即=3?,解得a=.6.答案:B解析:圓C:x2+y2?4x?1=0化簡得(x?2)2+y2=5,圓心為C(2,0),r=.設∠CPA=θ,則α=2θ,如圖,P(0,?2),則sinθ==,則cosθ=,所以sinα=sin2θ=2sinθcosθ=.7.答案:C解析:數(shù)列{an}為等差數(shù)列?an=an+b?Sn=?=an+(2a+b)為等差數(shù)列,所以甲是乙的充要條件.8.答案:B解析:已知sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ=,cosαsinβ=,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1?2sin2(α+β)=1?2×()2=.9.答案:BD解析:對于選項A,如1、2、2、2、4的平均數(shù)不等于2、2、2、2的平均數(shù),故錯誤;對于選項B,不妨設x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位數(shù)為,x1,x2,…,x6的中位數(shù)為,所以B正確;對于選項C,x1,x2,…,x6的數(shù)據(jù)波動性更大,所以C錯誤;對于選項D,不妨設x2≤x3≤x4≤x5,則x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5?x2≤x6?x1,故正確.10.答案:ACD解析:燃油汽車L=20×lg∈[60,90],∴=10,L∈[60,90]①=10,L∈[50,60]②=10=102=100③對于A選項,由表知L≥L,所以A正確;對于B選項,②÷③,=10∈[10,101],∴<10,所以B錯誤;對于C選項,=10=102=100,所以C正確;對于D選項,①÷②,=10∈[100,102],∴∈[1,100],p1≤100p2所以D正確.11.答案：ABC解析:對于選項A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正確;對于選項B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1)?f(1)=0所以B正確:對于選項C,令x=?1,y=?1,f[(?1)×(?1)]=(?1)2×f(?1)+(?1)2×f(?1)=2f(?1)?f(?1)=0.再令x=?1,y=x,f[(?1)×x]=x2×f(?1)+(?1)2×f(x)?f(?x)=f(x)所以C正確;對于選項D,函數(shù)f(x)=0為常數(shù)函數(shù),且滿足原題f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常數(shù)函數(shù)沒有極值點,所以D錯誤.12.答案:ABD解析:對于A選項,正方體內(nèi)切球直徑為1米,故A正確;對于B選項,如圖,正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長為BA1=,>1.4,故B正確;對于C選項,如圖,底面直徑為0.01米,可忽略不計.高為1.8米,可看作高為1.8米的線段,而體對角線為<1.8,故C錯誤;對于D選項,如圖,高為0.01米,可忽略不計,看作直徑為1.2米的平面圖.E、F、G、H、I、J為各棱中點,六邊形EFGHIJ為正六邊形,其棱長為m,其內(nèi)切圓直徑為FH.∴∠GFH=∠GHF=30°,∴FH=FG=GH=m,()2=>(1.2)2=1.44所以D選項正確.13.答案:64解析:若選修2門課,則需要從體育類和藝術(shù)類中各選擇1門,共有CC=16種;若選修3門課,則分為兩種情況,2門體育類1門藝術(shù)類或2門藝術(shù)類1門體育類,共有2CC=48種;故選課方法一共有48+16=64種.14.答案:解析:在等腰梯形A1C1AC中,AC=2,A1C1=,AA1=,則h=,V=(S+S'+)h=(1+4+)×=.15.答案:[2,3)解析:x∈[0,2π],ωx∈[0,2ωπ],則4π≤2ωπ<6π,所以2≤ω<3.16.答案:解析:設BF2=3m,則有AF2=2m,BF1=3m,AF1=2m+2a.在Rt△ABF1中,(5m)2=(3m)2+(2m+2a)2即3m2=2am+a2即a=m或a=?3m(舍),又cos∠AF2F1=?cos∠BF2F1,即=?,即c2?a2?2am=?.代入a=m,有e=.17.答案:見解析解析:(1)因為A+B+C=π,A+B=3C,所以A+B+C=4C=π,解得C=,所以2sin(A?C)=sin(A+C),即2sinAcosC?2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,化簡得sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA,因為sin2A+cos2A=1,0<A<π,解得sinA=.(2)由sinA=得,cosA=,所以sinB=,由正弦定理==得,==,解得AC=2,BC=3,得AB邊上的高為h,由三角形的面積公式,AC?BC?sinC=AB?h,解得h=6.18.答案:見解析解析:(1)作A2E⊥BB1于E,D2F⊥CC1于F;則A2E//D2F,在口A2EFD2中,又C2F=B2E=1,則C2B2//EF//A2D2,得證.(2)如圖建系,設P(0,0,h),又C2(2,0,3),A2(0,2,1),D2(2,2,2),則=(2,0,1),=(2,?2,2),=(0,?2,h?1),平面A2D2C2的法向量n1=(1,?1,?2),平面A2C2P的法向量n2=(h?3,h?1,2),則=|cos150°|,則h=1或h=3,所以B2P=1.19.答案:見解析解析:(1)f′(x)=aex?1,當a≤0時,f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞減;當a>0時,令f′(x)=0,x=?lna,在(?∞,?lna)上f′(x)<0,在(?lna,+∞)上f′(x)>0；所以f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減,在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增;綜上所述:當a≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞減;當a>0時,f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減,在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)可得,當a>0時,當x=?lna時,最小值f(x)min=f(?lna)=1+a2+lna,要證f(x)>2lna+成立,即證最小值f(x)min=1+a2+lna>2lna+,即證a2?lna?>0,令h(a)=a2?lna?,則h′(a)=2a?=,令h′(a)=0,解得a=,當a∈(0,)時,h′(a)<0,h(a)單調(diào)遞減,當a∈(,+∞)時,h′(a)>0,h(a)單調(diào)遞增,所以當a=時,最小值h(a)min=+?=>0,所以當a>0時,f(x)>2lna+成立.20.答案:見解析解析:(1)由3a2=3a1+a3,得a1=d;又S3+T3=a1+a2+a3+b1+b2+b3=6d+=21,即2d2?7d+3=0,所以d=3,故an=3n.(2)由題意得,設,則anbn=n2+n,即(pn+q)(sn+t)=n2+n,由此可得:psn2+(tp+sq)n+tq=n2+n,顯然tq=0,q=0或t=0;當t=0時,bn=sn,顯然與題意不符,所以q=0,又因為等差數(shù)列{an}的公差為d,即p=d,an=dn,所以bn===,則S99?T99=(a1?b1)+(a2?b2)+(a3?b3)+…+(a99?b99)=[(d?)n?]=99,即(d?)×?99×=99,可得d=.21.答案:見解析解析:(1)第1次投籃有兩種情況:甲投籃、乙投籃,概率均為0.5.如果第1次是甲投籃,則第2次是乙投籃當且僅當甲在第1次投籃中若命中;如果第1次是乙投籃,則第2次是乙投籃當且僅當乙在第1次投籃中命中.根據(jù)全概率公式,第2次投籃的人是乙的概率:0.5×(1?0.6)+0.5×0.8=0.6(2)記Pi為第i次投籃的人是甲的概率,則1?Pi為第i次投籃的人是乙的概率.由題目可知,P1=0.5.當i≥2時,與(1)問類似,第i?1次投籃有兩種情況:甲投籃、乙投籃.如果第i?1次是甲投籃,則第i次是甲投籃當且僅當甲在第i?1次投籃中命中;如果第i?1次是乙投籃,則第i次是甲投籃當且僅當乙在第i?1次投籃中若命中.根據(jù)全概率公式:Pi=Pi?1×0.6+(1?Pi?1)×(1?0.8)=0.4×Pi?1+0.2,這是一個數(shù)列遞推公式,兩邊同時除以0.4i,整理得:?=利用累加法,等號兩邊同時對i從2到i求和得(注意到等號右邊是一個等比數(shù)列):?=++…+=×代入P1=0.5,整理得:Pi=+×