高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何

1、專題四：立體幾何第三講空間向量與立體幾何【最新考綱透析】1 .空間向量及其運算(1) 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2 .空間向量的應(yīng)用0(1)理解直線的方向向量與平面的法向量。(2)能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)。(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在 研究立體幾

2、何問題中的應(yīng)用。【核心要點突破】要點考向1:利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1.平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判 斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。2.題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ隆？枷蜴溄樱?.空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的 空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。2.空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是 利用空間向量來論證。EF /例1： (2010 安徽高考理科 T 18)如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形AB

3、CD是正方形,AB, EF FB , AB 2EF , BFC 90, BF FC , H 為 BC 的中點。(1) 求證：FH /平面EDB ;(2)求證：AC 平面EDB ；(3)求二面角B DE C的大小。面角的求解的問題，考查【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、第1頁共22頁了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力?！舅悸伏c撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。【規(guī)范解答】Q四邊形ABCD為正方形,ABBC,又QEF FB,EFAB, AB FB,且BC I FB BAB 又BF 且AB IFH平面FBC, AB FC,H為BC中點,BC B,

4、 平面ABC.FH ,FHBC,如圖,以H為坐標(biāo)原點，分別以uur uuir uur,、, HB、GH、HF的萬向為x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系,令BH 1,則A(1, 2,0), B(1,0,0), C( 1,0,0), D( 1,設(shè)Ad BD勺交點為G,連接GE GH,則G (0,-1,0uururuuururGE (0,0,1),F2,0), E(0, 1,1),F(0,0,1).又 QHF (0,0,1), GE/HFGE 平面 EDB,HF 平面 EDB, HF /平面 EDBuuururuur(2) Q AC ( 2,2,0), GE (0,0,1), ACuugGE 0,

5、ACGE又AC BD,且G日BD=G AC 平面 EBD.設(shè)平面uuuBDE勺法向量為uuruun1(1»,4),Q BE (1, 1,1),BD(2, 2,0).uuuuu-BECP1 uuur uu BDCP1 uu 1 (1,0,即01,0)y1 z10，得 y1, Z1 0,2y10設(shè)平面CDE勺法向量為uun2uuirQ CD (0, uur ur CD cn2 uuu uu CEguuu2,0), CE(1,y2, Z2),(1,1,1).urn2cosur0,即0(1,0,-1)ir uun1，n2uuury2y2uu|nl|n2 |n1,n260o，即二面角Z2，得

6、y20, Z21,0112 .22,B-DE-C 為 60°?！痉椒记伞?、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行;2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直;第2頁共22頁3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進(jìn)行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問 題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。要點考向2:利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1.線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。2.在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低

7、、中檔題。考向鏈接：1.利用空間向量求兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角的方法及公式為 ：(1)異面直線所成角也 設(shè)分別為異面直線。"的方向向量，則(2)線面角伏阪90')7rE 田 mEdi設(shè)n是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則口 1T2.運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。(2)求出相關(guān).點的坐標(biāo)。(3)寫出向量坐標(biāo)。(4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算。(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2: (2010 遼寧高考理科 T 19)已知三棱錐 PABC中，PAL ABC AB± AC, PA=AC=1 AB, N為2AB上一點，AB=4

8、AN,M,S分別一為PB,BC的中點.(I )證明：CML SN;入(n)求SN與平面CMN/f成角白大小./： 第5頁共22頁8【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考 生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力?！舅悸伏c撥】建系，寫出有關(guān)點坐標(biāo)、向量的坐標(biāo),uuuu uuu(I) 計算CM、SN的數(shù)量積，寫出答案;(II ) 求平面CMN勺法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。【規(guī)范解答】 設(shè)PA= 1,以A為原點，射線 AB AG AP分另1J為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則 P(0,0,1) , C(0,1,0

9、) , B(2,0,0) , M(1,0, -), N( 1,0,0) , S(1, 1,0)222UJUU 1 uuu 11CM (1, 1,2),SN ( -, -,0),ujulju uur 1 1因為 CMgSN 1 1 0 0所以CMSNULUT1(II) NC ( 2,1,0), T設(shè)a (x, y, z)為平面CMN的一個法向量,x y則1 x2T2,得a因為|cosT UUUa SN-1-12_3 2(2,1, 2),22所SN與平面CMN所成的角為45o【方法技巧】(1)空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。(2)求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解

10、決。(3)線面角的范圍是0°90° ,因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的,要取絕對值。要點考向3:利用空間向量求二面角考情聚焦：1.二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。2.常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。 ft t其計算公式為：設(shè) m，孔分別為平面口，日的法向量，則 與 如 門:'互補或相等，II * Ijn * 11I cOsfl I = I 2吞(m* n) I

11、 = I ml I id例3: (2010 天津高考理科 T 19)如圖，在長方體 ABCD ABC1D1中，E、F分別是版BC, CC1上的點，CF AB 2CE, AB: AD:AAi 1:2:4(1) 求異面直線EF與A1D所成角的余弦值； 證明AF 平面 AED(3) 求二面角 A ED F的正弦值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量 解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。【思路點撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題?！疽?guī)范解答】 方法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為丫軸建立

12、空間直角坐標(biāo)系 (如3圖所示)，設(shè) AB 1,依題意得 D(0,2,0) , F(1,2,1), A(0,0, 4) , E 1,3,02uuur uuuuuur 1uuiuiuuur uuuu EFcAD 3(1) 易得 EF 0,-,1 , AD (0,2, 4),于是 cos(EF,AD;uurUuu一2' E EF，AD 53所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為-。5uuuruuur3 uur 1(2)證明：已知 AF (1,2,1), EA11, -,4 , ED 1,-,022uuruuiruuuruuur于是 AF EA=0, AF ED =0.因此，AFEA1, A

13、F ED ,又 EA1ED E所以AF 平面A1EDrr uurly z 0解：設(shè)平面EFD的法向量u (x, y,z),則ugEFr 0,即2 ugED 01ugx - y 02不妨令X=1，可得u (1,2 1)。由(2)可知，AF為平面A1ED的一個法向量。于是cos,53= u AF =2 ,從而 sin： u，AF)=u|AF| 3所以二面角A1-ED-F的正弦值為要點考向4:利用空間向量解決探索性問題考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件(或是否存在問題) ，能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點。例4:(2010 福

14、建高考理科 T 18)如圖，圓柱OO內(nèi)有一個三棱柱三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且 AB是圓。的直徑。(I)證明：平面 AACC 平面BBCC;(II )設(shè)AB= AA,在圓柱OO內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自三棱柱ABC-ABC內(nèi)的概率為 p。(i )當(dāng)點C在圓周上運動時，求 p的最大值；(ii )記平面AACC與平面BOC/f成的角為(0°900)。當(dāng)p取最大值時，求 cos的值?！久}立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化 思想、必然與或

15、然思想。a b a,b ,有cos a,b a b ,利用這一結(jié)論，我們可以較|a|b|【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的 體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角 度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算， 均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量方便地處理立體幾何中的角的問題。第15頁共22頁【規(guī)范解答】(I ) Q AA 平面ABC ,BC 平面ABC ,AA BC ,又AB是e O的直徑,BC AB,又 AC AAA,BC平面A

16、ACC，而BC 平面B1BCC1 ,所以平面A| ACC1平面 B1BCC1 ;(II ) (i )設(shè)圓柱的底面半徑為ABAA 2r ,故圓柱的體積為 V r2 2r 2 r3,設(shè)三棱柱ABC-ABC,的體積為V1，所以P所以當(dāng)Vi取得最大值時P取得最大值。又因為點 C在圓周上運動,所以當(dāng)OC AB時， ABC的面積最大,進(jìn)而，三棱柱 ABC-ABC,的體積最大，且其最大值為(ii )由(i )知,12r r 2r 2r2P取最大值時，'OC間直角坐標(biāo)系OA1ACC1unrBCP的最大值為AB,于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空xyz,則 C r,0,0 ,B0,r,0 ,B1 0,r,2r

17、 ,QBC 平面r, r,0是平面AACCi的一個法向量，設(shè)平面BOC的法r向量為nx, y,zruuurn OC ,由于 r uuur n OB1rx 0ry 2rz 0r所以平面B1OC的一個法向量為n 0,2,1 , Q 00900,cosr uuin cos n, BC10O5II ) (i )也可以采用向量法進(jìn)【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的(行證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ,設(shè)圓柱的底面半徑為 r , C r cos , r sin ,0 ,則AB AA 2r ,故圓柱的體積為 Vr2 2r2 r3,設(shè)三棱柱ABC-ABC,的體

18、積為V1，所以P V1 ,2r r cosr2 cos ,所以當(dāng)cos 1時的ABC的1所以當(dāng)V1取得最大值時P取得最大值。S ABC 一 2面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-ABiCi,的體積V1最大,且其最大值為13 , 一 .1-2r r 2r 2r3,故P的最大值為一；2【高考真題探究】1. (2010 廣東高考理科 T 1 0)若向量 a=(l,l,x ), b =(1,2,1),c 二(1,1,1),滿足條件(c a) (2b)=-2,【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算r r【思路點撥】 先算出c a、r2b ,再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x.r r【規(guī)范解

19、答】c a (0,0,1x) , 2b (2,4,2),由(c a) (2b)2得(0,0,1 x) (2, 4,2)2,即 2(1 x) 2,解得 x 2.【答案】22. (2010 浙江高考理科 T 20)如圖， 在矩形ABCD中，點E, F分別在線段2.AB,AD上，AE EB AF FD 4 .沿直線EF將 VAEF翻折成VAEF ,使平面 3AEF 平面 BEF.(I)求一面角 A FD C的余弦值；(n)點M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線 MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線段FM的長?！久}立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量

20、的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力?！舅悸伏c撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題?！疽?guī)范解答】方法一：(I)取線段EF的中點H,連結(jié)AH ,因 _ '為A E = A F及H是EF的中點，所以A HEF,又因為平面A EF平面BEF.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ,則A' (2, 2, 2，2), C (10, 8,0), F (4, 0, 0), D (10, 0-0).故 FA'= (-2, 2, 2&),FD=(6, 0, 0).設(shè)n=(x,y,z )為平面A FD的一

21、個法向量，所P. 2x 2y 2,2z 0以o6x 0取z v2,則n (o, 2J2) or r又平面BEF的一個法向量mm (0,0,1),故cos h/n 用 ngm所以二面角的余弦值為血3(n)設(shè) FM x, BN a,則 M(4 x,0,0) , N(a,8,0),.因為翻折后，C與A'重合，所以CM A'M, CN A'N,2,得 x 21, a 土44二 (6 x)2 82 02= ( 2 x2 22故，(10 a)2(2 a)2 62 (2 J2)23. （2010 陜西高考理科 T 1 8）如圖，在四棱錐P ABCDK 底面 ABCO矩形 P4平面 A

22、BCDAF=AB=ZBG2J2, E, F分別是ADPC的中點.（I）證明：PCL平面BEE（n）求平面 BEF與平面BAP角的大小?！久}立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題, 考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用 幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一 （I）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB, AQ AP所在的直線分 別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2 BC=2j2 ,四邊形 ABC況矩 形.A, B, C, D 的坐標(biāo)為 A(0,0

23、,0),B(2,0,0),C(2,2叵0) , D(0, 2J2, 0), P(0,0,2)又 E, F 分別是 AD, PC 的中點，E(0, J2, 0),F(1 , J2, 1).uuuuuin_ uuinPC= (2, 2反-2) BF= (-1 , 收 1) EF = (1,0,1),uuiu uuurPC - BF =-2+4-2=0 ,uuiu uurPC - EF =2+0-2=0 ,uuu uuur uuiu uurPC ± BF , PC ± EF , . - PCX BF,PC± EF, BF I EF F ,，Pd平面 BEF(II )由（

24、I ） 知平面BEF的法向量ur uuur _小 PC (2,2V2, 2),平面 BAP的法向量iu uuirn2 AD(0,2、2,0),ur uun®8,設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 ，則cosur uu,ur ua.j口哭cos/,")ur uun28_24 2.22450 , 平面BEF與平面BAP的夾角為4504. （2010 重慶高考文科 T 20）如題圖，四棱錐 P ABCD中,底面ABCD為矩形，PA 底面ABCD , PA AB J2 ,點E是棱PB的中點.（I）證明：AE 平面PBC；（II ）若AD 1,求二面角B EC D的平面角的余弦值.【命

25、題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函 數(shù)值.【規(guī)范解答】（I ）以A為坐標(biāo)原點，射線AB, AD, AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz.如圖所示.設(shè)設(shè)D(0,a,0),則B( .2,0,0)C (/2,a,

26、0)P (0,0, *，PC (凡,衣,uuu 則AEuuuAEuurBCuuu uur uuu 所以 AE BC, AEuuuPC,故 AEuuu uuu0,AE PC0,uuuBC (0, a,0),ur（II ）設(shè)平面BEC的法向量為八，由（I）知,AE平面BEC ,故可取uun1EA(烏.設(shè)22平面urdec的法向量n2uu uuu(x2, y2,z2)，則 n2 DCur0,n2uuu DFuuur由AD1,得 D(0,1,0),GV2,1,0),從而dc (72,0,0)uur 2DE 7, 2,故X2_22X2y2,22 z2,所以 x2 0,馬 J2y2, 0可取uu -ur

27、uuy 1,則 n2(01 ,，2), 從而 cos n1, n2ur uuuuguuuuunJ展【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解;（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運算解題5. (2010 江西高考文科 T 2 0 )BMCD如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形, 平面MCD 平面BCD, AB 平面BCD , AB 2p.(1)求直線AM與平面BCD所成的角的大??；(2)求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及 平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計算問題，考查空 間向量的坐標(biāo)運算，考查數(shù)形

28、結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理 論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力?！舅悸伏c撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法(1)直接找出線面角，然后求解；(2)對二面角的求法思路，一般是分三步“作”，“證”，“求”.其中“作”是關(guān)鍵，“證”是難點.法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解【規(guī)范解答】取CD中點Q連OB OM則OBL CD OM_CD又平面MCD 平面BCD ,則MOL平面BCD.以O(shè)為原點，直線 OC BO OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo) 系如圖.OBOM=73,則各點坐標(biāo)分別為 O(0, 0, 0), C (1, 0, 0), M (0, 0, B, B

29、 (0,-73, 0), A (0,-瓦 2布),(1)設(shè)直線AM與平面BCM成的角為 .uuur_r因AM (0,百， J3),平面BCD的法向量為n (0,0,1).則有sinuuuu CMuuur r cos； AM , n(1,0,6)，ur設(shè)平面ACM勺法向量為r解得x 3zy z,取uuuu rAM nuuuuAMuurCA (1,(x,y,z),ur r貝U cos n1, nir rn1 ntT-r-nin.322.,62.3,2.3).所以LTuuuun1 CM由 u uur得n1 CArr(J3,1,1).又平面設(shè)所求二面角為45o.3z, 3 yrBCD勺法向量為n(0,

30、0,1)，6. (2010 四川高考理科 T 18)已知正方體 ABCD A BC D的棱長為1,點M是棱AA的中點，點。是對角線BD的中點.（I）求證：OM為異面直線 AA和BD的公垂線；（n）求二面角M BC B的大??；（出）求三棱錐M OBC的體積.【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決 數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【思路點撥】方法一：幾何法 問題（I）,分別證明OM AA , OM BD即可.問題（II ）首先利用三垂線定理，作出二面角 M BC B的平面角， 然后通過平面

31、角所在的直角三角 形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題問題（出）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知，OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，且S OBC S OAD ,故Vm OBC Vm OAD Vo MAD ,利用二棱錐的體積公式很快求出 Vo MAD .方法二：建立一空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解 【規(guī)范解答】（方法一）：（I）連結(jié)AC .取AC的中點K ,則K為BD的中點，連結(jié) OK .點M是棱AA的中點，點。是BD的中點，2二 由 AA AK ,得 OM AA . AK BD, AK BB , . AK 平面 BDD B . . . AK BD . . . OM

32、 BD .又二 OM與異面直線 AA和BD都相交， 故OM為異面直線 AA和BD的公垂線，（II ）取BB的中點N ,連結(jié)MN ,則MN 平面BCC B ,過點過點N作NH BC于H ,連結(jié)MH ,則由三垂線定理得，BC MH .MHN為二面角M BC B的平面角.、選擇題（每小題6分，共36分）第19頁共22頁MN 1,NHBN sin 45o1.22224在 Rt MNH 中.tan MHNMNNH12 2故二面角M BC B的大小為arctan 2J2.24（III ）易知，S OBC S OAD，且 OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，點O到平面MAD的距離1.1h , , , V

33、m obc Vm oadVo ma d - S ma d h2324（方法二）：以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz,則 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , A(1,0,1), C (0,1,1)，D (0,0,1)(I)點M是棱AA的中點，點。是BD的中點,uuirAAuuiuOM1M(1,0,2)1 1 1。(252)uuuuOM(22,0)(0,0,1)，uuu BD(1,1,1).unr AAuuuuOMuuur BD0 0, OMAA , OM又二 MO與異面直線AA和BD都相交,I1M故MO為異面直線(II）設(shè)平面BMCAA和BD的公垂

34、線，ur的一個法向量為 r （x, y, z）uuuu BM1(0,1,2)UlULBC ( 1,0,1).LT ni LTniuuu BM uuu BC0,即0.1 z 0, 2z 0.z 2,2,it1. n1(2,1,2).取平面BCB的一個法向量ur02(0,1,0).cosur uuni,n2irurM-n n21、9 11，由圖可知，二面角 M BC B3的平面角為銳角,故二面角MBC B的大小為1 arccos -.(III )易知,S OBC1s,SI邊形 BCD A41.22,設(shè)平面4OBC的一個法向量為uu% （%,丫1,乙），uuuiuuuBD1 ( 1, 1,1), B

35、C (1,0,0),uun3uuuuu BD1 uujr BC0,即0.X1y z1 0.0,ur03(0,1,1).點M到平面OBC的距離duuuu uuBM n3 一urn32.2 .VM OBC2 2 24.【跟蹤模擬訓(xùn)練】1 .已知點A （-3,1,-4 ）,則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（） (A) (-3,-1,4 ) (B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2 .在正三棱柱 ABC-A1B1c1中，D是AC的中點，A%，Bq ,則平面DBq與平面CBq所成的角為（）(A)30(B)45(C)60(D)9023.設(shè)動直線x a與函數(shù)f(x) 2sin

36、(4x）和g（x） J3cos2x的圖象分別交于M、N兩點，則|MN |的最大值為（J3設(shè) A(3,2)B(2, 3)沿y軸把坐標(biāo)平面折成120o的二面角后，AB的長為（）4.在直角坐標(biāo)系中,B.A.提C.D.5.矩形 ABCD 中，AB=4BC=3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B - AC - D ,則四面體ABCD的外接球的體積為（）125A.而B.1259C.1256125D.6.如圖：在平行六面體ABCD ABCD中，M為AC1與B1D1的交點。若ABa AD b AAi c則下列向量中與 BM相等的向量是（1a 1b(A) 221 , a(B) 2c(C)1 ,1 ;a b

37、 c(D) 22、填空題（每小題 6分，共18分）7 . OX , OY , OZ是空間交于同一點 。的互相垂直的三條直線，點 P到這三條直線的距離分別為710,a,b,則 OP 用，則 a2 b28 .平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2 , AA1=2 , AD=1 ,且 AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為 600,則AC1?BD19 .將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角后，有下列四個結(jié)論:（1）AC BD； （2） ACD是等邊三角形；（3）AB與平面BCD成60。；（4） AB與CD所成的角為60°.其中正確結(jié)論的序號為 （填上所有正確結(jié)論的序號）.三、

38、解答題（共46分）10 .如圖，在,四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為 2的菱形，Z BAD=60 ° ,對角線AC與BD相交于點O,PO v'3,E、F分別是BC、AP的中點.（1）求證：EF/平面PCD;（2）求二面角 A BP D的余弦值.B ACD組成，如圖所示，其中，AB BC .它的11.某組合體由直三棱柱 ABC人出1。1與正三棱錐（1）求直線CAi與平面ACD所成角的正弦;2V2 +1,第23頁共22頁（2）在線段AC1上是否存在點P,使B1P 平面ACD ,若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由.12.如圖，三棱柱ABC AB1ci中，AA面ABC,BC

39、 AC, BC AC 2 , AAi 3 d 為 AC 的中點。（I）求證：ABi 面 BDCi；（n）求二面角C1BD C的余弦值參考答案1 .【解析】選A. .一點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在 x軸上的坐標(biāo)不變，在 y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，點A （-3, 1, -4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-1,4 ）2 .【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點，AG AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.C2協(xié).Bi（應(yīng)知如2b）.由A6_LBC；.押AB：即2酎二工*分別I再出平面DBG與平面CBG的一個法向量3 fa利用公式CQ護(hù)?陰片田.由 n3 . D

40、4, D 5. C 6. A 7. 648. 39. (1) (2) (4)1.- AD10.解：（1）證明：取 PD的中點G,連接FG、CG FG是 PAD的中衛(wèi)縣，F(xiàn)G= 2,在菱形ABCD中，ADBC,又E為BC的中點，c/fG, 四邊形EFGC是平行四邊形,第16頁共22頁 EF II CG又 EF 面 PCD, CG 面 PCD, EF/面 PCD(2)法1:以。為原點，OB, OC, OP所在直線分別為x、y、z軸建立如 圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則 0 (0,0,0),A(0,*3,0),B (1,0,0) P (0, 0,出)aB=(i,6，°)aP=(°,

41、6, V3)設(shè)面ABP的發(fā)向量為n (x, y, z),則n AB 0 x .3y 0 x . 3yn AP 0 即-y3y 6z 0即 z y取 n (<3, 1,1) 又 OA OP 0, OA OB 0, . OAL面 PBD, . OA 為面 PBD 的發(fā)向量,v3 , 0)n OA .3 也.51n 110Al v5 335 .所以所求二面角的余弦值為5ABCD 中，ACXBD ,.°A= (0,cos n,OA法2 :在菱形OPXM ABCD , AC面 ABCD ,AC LOP, OP BD=0,，AC，面 PBD , AC ±BP,在面PBD中，過 O

42、作ON，PB,連 AN ,PB±W AON ,貝U AN ±PBo即/ANO為所求二面角的平面角AO=ABcos30 ° =百在 RtAPOB 中,OP OB 1322-15ONANOA1 2 ON2BP 2 .2cos/ANOONAN.32 吏、1552o所以所求二面角的余弦值為11 【解析】解：（1）設(shè)BABCBDa, BB1 b12ab - a由條件2以點B為原點，分別以BC、BB1、BA為通、y軸、卻建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0, .2), C(, 2,0,0), D(0, ,2,0), Bi(0,2,0),Ci(.2,2,0), Ai(0,2, .2

43、)Q ACD的重心 G ,333umr_ r uuur又CAi ( V2,2,V2)M!Jcosa,CAi)a BG=,為平面ACD的法向量.3332 2_3 _62 2年63所求角的正弦值為二66uuu uuuu _令 AP mAC172m, 2m, 72mUULTUULTUUr_.rB1PB1AAP、2m, 2m2, J2, 2ma,2m32m 2 無解3.2 /2m 上3不存在滿足條件的點 P.12.解：(1)連接B1Q交BC1于點O,則O為B1C的中點，. D為 AC中點 ，OD/ B1A又 B1A 平面 BDC1, OD 平面 BDC1，B1A/平面 BDC1(2) AA1X面 AB

44、C BC±AC, AA1/I CC1 . . CC1L面 ABC 貝U BCL平面 AC1, CCUAC如圖以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為X軸,CB所在直線為Y軸，CC1所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)r ulut r uur.設(shè)平面C1DB的法向量為n(x,y,z)由n C1D,n C1B得rx 3z 0,2y 3z 0,取 z 2,則 n (6,3,2)C1C n 2uuurCC,n-又平面 BDC勺法向量為 CC1(0,0,3) cos|C1C|n|7.二面角C1BDC的余弦值為7【備課資源】2第25

45、頁共22頁1.已知兩條異面直線 a、b所成的角為40。，直線l與a、b所成的角都等于。， 則。的取值范圍是（）F(A) 20。，90。1(B) 20。，90。)(C)(20° ,40 ° (D) 70° ,90。1【解析】選A.第29頁共22頁取空間任一點O,將直線a,b, l平移到過O點后分別為a' ,b ' , l ',則l '與a' ,b '所成的角即為l與 a,b所成的角.當(dāng)l '與a' ,b 共面時。最小為20。.當(dāng)l '與a' ,b '確定的平面垂直時，。最大為90

46、。故。的取值范圍為20° ,90 ° 2J2009 鄭州模假）如圖.正 E橙七 ABC Ai RC 中.EM AC中點.【n 君 AB=Z. AA| = &+求點A到爐面BE口的陰陽BC, C的ih：較研帶方:為何值時二面粕工為恒, 51由翹卷如A對羋面BEC1的焙禹于十點C到 平面BEa眄距商，V ABC'為耳口是1t三植槨,二BE-+而ACC A,- BEC 羋面 KECi .二平面 BLC 一手向 AUG A, 過苴C作CH_CE于點H,則CH-平面HEC， AC1J網(wǎng)懸C到平百BI：C,的距離.在KcAClX：,中.CE1.CC 超,CE 值.山尚枳出不可掰C"二*八利中而RFC的距離為一幻過II鉀HGBC于。,迷結(jié)（：（；.由三也隹定理存CGJ_BC .故£8”為二西角E BC C的平面也設(shè) AA hAE- £小蚓 CHr ah .在RCGH中,痂工81罌=聞AAAF!若酷=1時二面他眄一臉一。鞘正霰植為7T3.如圖甲,直角梯形 ABCM ,AB / CD, / DAB±，點 M N分別在 AB, CD上，且 MNL AB, MCL CB, BC=2, MB=4現(xiàn)將