超市服務(wù)模型

1、莆田學(xué)院2001級(jí)數(shù)學(xué)本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文超市服務(wù)方案的隨機(jī)模型數(shù)學(xué)系 01數(shù)本 2001141120 劉晨凡 指導(dǎo)老師：周天明摘要：為了提高超市服務(wù)效率，我們根據(jù)超市顧客到達(dá)及服務(wù)問(wèn)題的基本規(guī)律，建立了超市服務(wù)系統(tǒng)的隨機(jī)模型，并由此得出最佳服務(wù)方案，并對(duì)所建立的模型進(jìn)行仿真模擬，驗(yàn)證了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服務(wù)方案的確定。關(guān)鍵詞：隨機(jī)摸擬；隨機(jī)數(shù)字；隨機(jī)變量；仿真摸擬；Poisson分布；指數(shù)分布；隨機(jī)模型、引言 超級(jí)市場(chǎng)門(mén)口排列著若干收款臺(tái)，顧客攜帶著采購(gòu)的商品在收款臺(tái)前排隊(duì)等候驗(yàn)貨付款。若在顧客少時(shí)，就能只接付款離開(kāi)；若在購(gòu)物高峰期，顧客就得排隊(duì)等待。作為顧客，我

2、們所關(guān)心的是何時(shí)能付款后離開(kāi)，作為超市又不可能為每一個(gè)顧客提供一個(gè)收款臺(tái)，這樣會(huì)花費(fèi)大量的金錢，但是他會(huì)增開(kāi)幾個(gè)收款臺(tái)使得排隊(duì)的人數(shù)恢復(fù)到原來(lái)的水平。那么要增開(kāi)幾個(gè)這樣的收款臺(tái)才能即不多花錢又能使顧客不至于排隊(duì)等太久呢？這就是本文所要探討的。1、隨機(jī)模型1.1基本假設(shè)：隨機(jī)服務(wù)過(guò)程滿足三個(gè)性質(zhì):顧客到達(dá)平穩(wěn)性、獨(dú)立增量性和普通性.根據(jù)排隊(duì)付款問(wèn)題我們就這三個(gè)性質(zhì)做如下假設(shè),并由此得到關(guān)于顧客到達(dá)時(shí)刻和服務(wù)時(shí)間的概率分布。顧客到達(dá)平穩(wěn)性：設(shè)在時(shí)間內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，若以記為在時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)個(gè)顧客的概率，則顯然有： 獨(dú)立增量性：在內(nèi)來(lái)到個(gè)顧客這一事件與時(shí)刻以前發(fā)生的事件獨(dú)

3、立。普通性：在充分小的時(shí)間間隔中，最多來(lái)到一個(gè)顧客，即，若記 應(yīng)有，即普通性表明，在同一時(shí)間來(lái)兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客實(shí)際上幾乎是不可能的，因此在后續(xù)的推導(dǎo)及計(jì)算時(shí)予以忽略。1.2主要結(jié)論引理1 若是連續(xù)函數(shù)，且對(duì)一切有 （1）則 證明：由知對(duì)任意，因此非負(fù)。一直用（1）式，對(duì)任意正整數(shù)及實(shí)數(shù)有 （2）在上式中取得以考慮 （3）記，則 ，因此對(duì)于任意正整數(shù)及成立 （4）這樣，我們已證得（4）對(duì)一切有理數(shù)成立，再用利用無(wú)理數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的連續(xù)性可以證明對(duì)無(wú)理數(shù)也成立，從而證明了引理。引理2：用表示 內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，則服從參數(shù)為的Poisson分布，即。證明：對(duì)，考慮中來(lái)到個(gè)顧客的概率是，由獨(dú)立性增量性

4、及全概率公式得 （5）特別地，表示在長(zhǎng)度為的時(shí)間間隔中沒(méi)有來(lái)顧客的概率，因此它關(guān)于單調(diào)下降，由引理知。其中，若，則，這說(shuō)明不管怎么短的時(shí)間間隔內(nèi)都要來(lái)顧客，這種情形不在我們考慮之列。此外，因是概率，故應(yīng)有，而當(dāng)時(shí)， ，這表示不來(lái)顧客，也不是我們想要的，所以應(yīng)有，從而存在使，因此當(dāng)時(shí)，我們有 ，由（5）得，因此 令得 由于已知，故有，可解得，這樣下去，可解得一切。， ，這正是參數(shù)為的分布。從而，在該區(qū)間內(nèi)有一位顧客到達(dá)的概率為=，由基本假設(shè)(3)知沒(méi)有顧客到達(dá)的概率是。引理3：若服從參數(shù)為的分布，若以T表示顧客到達(dá)的時(shí)間間隔，則T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。證明：,而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵诘却龝r(shí)間內(nèi)沒(méi)有顧客來(lái)，

5、所以有， 時(shí)， ， 所以即為服從參數(shù)為的指數(shù)分布函數(shù)的分布函數(shù)。又因?yàn)槊總€(gè)都為時(shí)間間隔,那么都滿足為的指數(shù)分布.同理每一位顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。由上面的討論有以下結(jié)論： 顧客接受服務(wù)時(shí)間為，由指數(shù)分布的無(wú)后效性，則在該區(qū)間有一位顧客接受完服務(wù)離去的概率為 沒(méi)有顧客離去的概率為。 多于一個(gè)顧客到達(dá)或離去的概率為，可以忽略。1.3隨機(jī)模型：綜上，在時(shí)刻，系統(tǒng)中有個(gè)顧客的概率滿足是由于假設(shè)時(shí)間內(nèi)已有個(gè)顧客,那么就能解釋為時(shí)間內(nèi)有個(gè)顧客，內(nèi)沒(méi)一人來(lái)到也沒(méi)一人離開(kāi)的概率；即為一人到來(lái)一人離開(kāi)的概率；為時(shí)間內(nèi)已有個(gè)顧客，內(nèi)沒(méi)人到來(lái)，有一人離開(kāi)的概率；為時(shí)間內(nèi)已有個(gè)顧客，內(nèi)有一人到達(dá)而沒(méi)人離開(kāi)

6、。由此可以得到超市服務(wù)的隨機(jī)模型： 2、關(guān)于服務(wù)方案問(wèn)題當(dāng)顧客平均到達(dá)率上升引起服務(wù)強(qiáng)度增加致使平均隊(duì)長(zhǎng)L太大,甚至由于>1使隊(duì)長(zhǎng)趨向無(wú)限時(shí),在平均服務(wù)率不變的情況下就只能增加服務(wù)員。下面討論有2個(gè)服務(wù)員且他們的平均服務(wù)率相等的情況。2個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)服務(wù)有兩種形式分別如下兩圖所示： 圖1 ； 圖2由相關(guān)的文獻(xiàn)資料3，我們可以知道，2個(gè)服務(wù)員的兩種服務(wù)形式平均隊(duì)長(zhǎng)，等待時(shí)間之比為 注意到,就人們最關(guān)心的等待時(shí)間而言有,而當(dāng)較大時(shí)圖1的形式可以比圖2的形式節(jié)省較多的等待時(shí)間,由此可見(jiàn),對(duì)于設(shè)置多個(gè)服務(wù)員的隨機(jī)過(guò)程,如果僅從等待時(shí)間角度考慮應(yīng)該讓顧客只排一個(gè)隊(duì)。3、系統(tǒng)仿真3.1隨機(jī)數(shù)字的產(chǎn)生

7、 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行摸擬，就是對(duì)隨機(jī)變量取值的模擬，也就是利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一系列服從一定概率分布的數(shù)值。我們根據(jù)同余法遞推方法1，取，得到了本方案中所需的服從（0，1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。 ， ；， ， ；， ， ；， ， ；， ， ；其余類推。3.2隨機(jī)變量的摸擬 對(duì)于給定分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，可以利用在區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)來(lái)摸擬，最常用的方法是反函數(shù)法。 由概率論的理論可以證明。若隨機(jī)變量Y有連續(xù)的分布函數(shù)，而X是區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機(jī)變量。令，則與有相同的分布，由此若已知的密度函數(shù)，由可得是區(qū)間 （0，1）上均勻分布的隨機(jī)變量，如果給定區(qū)間（0，1）上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，則具

8、有給定分布的隨機(jī)數(shù)可由方程中解出。 當(dāng)我們需要摸擬服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)，由，可得。因?yàn)楹屯瑸椋?，1）區(qū)間上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，故上式可簡(jiǎn)化為 。3.3服務(wù)方案的評(píng)價(jià) 我們就上述2個(gè)服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行摸擬仿真。在此之前，首先需要確定評(píng)定方案的標(biāo)準(zhǔn)。在這里我們將顧客在出口處逗留時(shí)間的長(zhǎng)短作為標(biāo)準(zhǔn)，先設(shè)兩個(gè)單服務(wù)員系統(tǒng)中服務(wù)員的服務(wù)效率相同均為，那么雙服務(wù)員中服務(wù)效率為2。并假設(shè)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間在單服員系統(tǒng)中服從上的均勻分布，那么在雙服務(wù)員系統(tǒng)中由于服務(wù)效率提高了，假設(shè)在雙服務(wù)系統(tǒng)中每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從上的均勻分布。以下按2.1和2.2的方法給出兩個(gè)系統(tǒng)的仿真摸擬：1.雙服務(wù)員系統(tǒng)：（參見(jiàn)

9、附表1）雙服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間為（等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時(shí)間為：（150+20）/30=5.67分2.單服務(wù)系統(tǒng)1：（參見(jiàn)附表2）單服務(wù)系統(tǒng)2：（參見(jiàn)附表3）同樣由將上述兩個(gè)表格的時(shí)間進(jìn)行處理單服務(wù)員系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間為（等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間）/總?cè)藬?shù)于是平均逗留時(shí)間為：323/30=10.77分那么綜上對(duì)比的情況來(lái)看,明顯可以知道雙服務(wù)員的優(yōu)越性。結(jié)束語(yǔ) 本方案以超市服務(wù)系統(tǒng)為例，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及結(jié)果，并加以仿真模擬驗(yàn)證，為超市確定服務(wù)方案提供了理論依據(jù)。本方法可以推廣到類似服務(wù)系統(tǒng)，如醫(yī)院排隊(duì)掛號(hào)，客運(yùn)售票之類的問(wèn)題中，有廣泛的應(yīng)用前景。參考文獻(xiàn)：1劉來(lái)

10、福，曾文藝數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模北京：北京師范大學(xué)出版社，2002 2吳孟達(dá)，成禮智數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐。長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1998 3姜啟源數(shù)學(xué)模型。北京：高等教育出版社，1993 4復(fù)旦大學(xué)。概率論（第一冊(cè) 概率論基礎(chǔ)）高等教育出版社，19795高惠璇。統(tǒng)計(jì)計(jì)算。北京師范大學(xué)出版社，1995，北京Abstract For the sake of the exaltation supermarket service efficiency, we arrive according to the supermarket customer and basic regulation of the

11、 service problem, built up the random model of the supermarket service system, and get a the best service project from here, and carry on imitating the true emulation to the model build up, verifying the rationality of the income model.This project can used for the assurance of the supermarket servi

12、ce project.Keywords：Touch draw up random；Random numeral；Change the quantity random；Imitate to really touch draw up；The Poisson distribute；Random model ；The index number distribute附表1雙服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)顧客到達(dá)時(shí)間間隔服務(wù)時(shí)間到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離開(kāi)時(shí)刻15656011274124117345165124464224228535255333685335038756386044864

13、444048945485053105453405711355650611274634067133566507114567160771574784082164582508717668860941857937010019349644104208510450109214610861115227411540119236612160127245512850133256613162139266613960145275514451150283314634153296615261159304416140165附表2單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)到達(dá)時(shí)間間隔服務(wù)時(shí)間到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離

14、開(kāi)時(shí)刻15125120173118168125591025100357131138110499109489158118105610268131096692771512878818717101188110991988968310721121110811112023131212112013325101213112214527131114411115629811152114167附表3單服務(wù)員系統(tǒng)仿真方案及結(jié)果輸入數(shù)劇輸出數(shù)劇顧客序號(hào)到達(dá)時(shí)間間隔服務(wù)時(shí)間到達(dá)時(shí)刻服務(wù)時(shí)間等待時(shí)間離開(kāi)時(shí)刻2787801541081782276119289138812940925110984982591210859806714811671107816111078100