江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：專項(xiàng)限時(shí)集訓(xùn)8　函數(shù)最值、恒成立及存在性問題 Word版含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專項(xiàng)限時(shí)集訓(xùn)(八)函數(shù)最值、恒成立及存在性問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第127頁)(限時(shí)：60分鐘)1(本小題滿分14分)(鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)f (x)xln x，g(x)(x21)(為常數(shù))(1)若函數(shù)yf (x)與函數(shù)yg(x)在x1處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且x1，證明：f (x)g(x)；(3)若對(duì)任意x1，)，不等式f (x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)f (x)ln x1，則f (1)1且f (1)0.所以函數(shù)yf (x)在x1處的切線方程為：yx1，從而g(x)2x，g(1)21，即.2分(2)證明：由題意知：設(shè)函數(shù)h(

2、x)xln x(x21)，則h(x)ln x1x，設(shè)p(x)ln x1x，從而p(x)10對(duì)任意x1，)恒成立，所以p(x)ln x1xp(1)0，即h(x)0，因此函數(shù)h(x)xln x(x21)在1，)上單調(diào)遞減，即h(x)h(1)0，所以當(dāng)x1時(shí)，f (x)g(x)成立.6分(3)設(shè)函數(shù)h(x)xln x，從而對(duì)任意x1，)，不等式h(x)0h(1)恒成立又h(x)ln x12x，當(dāng)h(x)ln x12x0，即2恒成立時(shí)，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減設(shè)r(x)，則r(x)0，所以r(x)maxr(1)1，即12，符合題意；當(dāng)0時(shí)，h(x)ln x12x0恒成立，此時(shí)函數(shù)h(x)單調(diào)遞增于是，不等

3、式h(x)h(1)0對(duì)任意x1，)恒成立，不符合題意；當(dāng)0時(shí)，設(shè)q(x)h(x)ln x12x，則q(x)20x1，當(dāng)x時(shí)，q(x)20，此時(shí)q(x)h(x)ln x12x單調(diào)遞增，所以h(x)ln x12xh(1)120，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增于是當(dāng)x時(shí)，h(x)0成立，不符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.14分2(本小題滿分14分)(20xx·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知函數(shù)f (x)aln xbx3，a，b為實(shí)數(shù)，b0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)當(dāng)a0，b1時(shí)，設(shè)函數(shù)f (x)的最小值為g(a)，求g(a)的最大值；(2)若關(guān)于x的

4、方程f (x)0在區(qū)間(1，e上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394114】解(1)b1時(shí)，f (x)aln xx3，則f (x)，令f (x)0，解得：x，a0，0，x，f (x)，f (x)的變化如下：x(0，)(，)f (x)0f (x)遞減極小值遞增故g(a)f ln，令t(x)xln xx，則t(x)ln x，令t(x)0，解得：x1，且x1時(shí)，t(x)有最大值1，故g(a)的最大值是1，此時(shí)a3；8分(2)由題意得：方程aln xbx30在區(qū)間(1，e上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故在區(qū)間(1，e上有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y1的圖象與函數(shù)m(x)的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

5、m(x)，令m(x)0，得：x，x，m(x)，m(x)的變化如下：x(，em(x)0m(x)遞減3e遞增x(1，)時(shí)，m(x)(3e，)，x(，e時(shí)，m(x)(3e，e3，故a，b滿足的關(guān)系式是3ee3，即的范圍是(3e，e3.14分3(本小題滿分14分)(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中高三下學(xué)期期中)已知函數(shù)f (x)x，(1)函數(shù)f(x)f (ex)k，其中k為實(shí)數(shù)，求f(0)的值；對(duì)x(0,1)，有f(x)0，求k的最大值；(2)若g(x)(a為正實(shí)數(shù))，試求函數(shù)f (x)與g(x)在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，求出符合條件的a的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由f(x)exk得f(x)e

6、xk，f(0)2k，記h(x)f(x)，則h(x)exkx，記m(x)h(x)，則m(x)exk，當(dāng)x(0,1)時(shí)，ex.3分()當(dāng)k2時(shí)，m(x)2k0，x(0,1)，即m(x)在(0,1)上是增函數(shù)，又m(0)0，則h(x)0，x(0,1)，即h(x)在(0,1)上是增函數(shù)，又f(0)2k0，則f(x)0，x(0,1)，即f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，故f(x)f(0)0，x(0,1)()當(dāng)k2時(shí)，則存在x0(0,1)，使得m(x)在(0，x0)小于0，即m(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，則h(x)0，x(0，x0)，即h(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，又f(0)2k0，則f(x)0，x

7、(0，x0)，又f(0)2k0，即f(x)在(0，x0)上是減函數(shù)，故f(x)f(0)0，x(0，x0)，矛盾故k的最大值為2.8分(2)設(shè)函數(shù)f (x)與g(x)在其公共點(diǎn)xx1處存在公切線，則由得(2x1a)(x1)0，即x1，代入得8ln a8ln 2a280，記g(a)8ln a8ln 2a28，則g(a)2a，得g(a)在(0,2)上是增函數(shù)，(2，)上是減函數(shù)，又g(2)40，g(4)8ln 280，g0，得符合條件的a的個(gè)數(shù)為2.(未證明小于0的扣2分)14分4(本小題滿分16分)(無錫市高三上學(xué)期期末)已知f (x)x2mx1(mr)，g(x)ex.(1)當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)

8、f (x)g(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若m(1,0)，設(shè)函數(shù)g(x)，h(x)x，求證：對(duì)任意x1，x21,1m，g(x1)h(x2)恒成立解(1)f(x)x2mx1ex，f(x)2xmex.當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)f (x)g(x)為增函數(shù)，f(x)0即2xmex0在0,2上恒成立，即mex2x在0,2上恒成立令h(x)ex2x，x0,2，則h(x)ex2，令h(x)0，則xln 2.h(x)在0，ln 2上單調(diào)遞減，在ln 2,2上單調(diào)遞增h(0)1，h(2)e241， h(x)maxh(2)e24，me24.6分(2)證明：g(x)，則g(x).要證任給x1，x21,1m，

9、g(x1)h(x2)恒成立，即證g(x)maxh(x)min，x1,1m，g(x)在1,1m上單調(diào)遞增，g(x)maxg(1m)，h(x)在1,1m上單調(diào)遞減，h(x)minh(1m)(1m).10分要證g(x)maxh(x)min，即證(1m)，即證4(2m)e1m5(1m)令1mt，則t(1,2)設(shè)r(x)ex(5x)4(x1)，x1,2，即r(x)5exxex4x4.r(x)(4x)ex42ex40，r(x)ex(5x)4(x1)在1,2上單調(diào)遞增，r(1)4e80，ex(5x)4(x1)，從而有(1m)，即當(dāng)x1,1m時(shí)，g(x)maxh(x)min成立.16分5(本小題滿分16分)(

10、蘇北四市(徐州、淮安、連云港、宿遷)高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)f (x)ax，g(x)ln xax，ar.(1)解關(guān)于x(xr)的不等式f (x)0；(2)證明：f (x)g(x)；(3)是否存在常數(shù)a，b，使得f (x)axbg(x)對(duì)任意的x0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394115】解(1)當(dāng)a0時(shí)，f (x)，所以f (x)0的解集為0；當(dāng)a0時(shí)，f (x)x，若a0，則f (x)0的解集為0,2ea若a0，則f (x)0的解集為2ea,0綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f (x)0的解集為0；當(dāng)a0時(shí)，f (x)0的解集為0,2ea；當(dāng)a0時(shí)，f (x)0

11、的解集為2ea,0.4分(2)證明：設(shè)h(x)f (x)g(x)ln x，則h(x).令h(x)0，得x，列表如下：x(0，)(，)h(x)0h(x)極小值所以函數(shù)h(x)的最小值為h()0，所以h(x)ln x0，即f (x)g(x).8分(3)假設(shè)存在常數(shù)a，b使得f (x)axbg(x)對(duì)任意的x0恒成立，即2axbln x對(duì)任意的x0恒成立而當(dāng)x時(shí)，ln x，所以2ab，所以2ab，則b2a，所以2axb2ax2a0(*)恒成立，當(dāng)a0時(shí)，2a0，所以(*)式在(0，)上不恒成立；當(dāng)a0時(shí)，則4a2(2a)0，即20，所以a，則b.令(x)ln xx，則(x)，令(x)0，得x，當(dāng)0x

12、時(shí)，(x)0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，(x)0，(x)在(，)上單調(diào)遞減所以(x)的最大值為()0.所以ln xx0恒成立所以存在a，b符合題意.16分6(本小題滿分16分)(江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬)設(shè)函數(shù)f (x)ln x，g(x)ax3(ar)(1)當(dāng)a2時(shí)，解關(guān)于x的方程g(ex)0(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；(2)求函數(shù)(x)f (x)g(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)當(dāng)a1時(shí)，記h(x)f (x)·g(x)，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式2h(x)有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值：若不存在，請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù)：ln 20.693 1，ln 31.098 6

13、)解(1)當(dāng)a2時(shí)，方程g(ex)0即為2ex30，去分母，得2(ex)23ex10，解得ex1或ex，故所求方程的根為x0或xln 2.2分(2)因?yàn)?x)f (x)g(x)ln xax3(x0)，所以(x)a(x0)，當(dāng)a0時(shí)，由(x)0，解得x0；當(dāng)a1時(shí)，由(x)0，解得x；當(dāng)0a1時(shí)，由(x)0，解得x0；當(dāng)a1時(shí)，由(x)0，解得x0；當(dāng)a0時(shí)，由(x)0，解得0x.綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，(x)的增區(qū)間為；當(dāng)0a1時(shí)，(x)的增區(qū)間為(0，)；a1時(shí)，(x)的增區(qū)間為.6分(3)法一：當(dāng)a1時(shí)，f (x)ln x，g(x)x3，h(x)(x3)ln x，所以h(x)ln x1單調(diào)遞增，hln120，h(2)ln 210，所以存在唯一x0，使得h(x0)0，即ln x010，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)minh(x0)(x03)ln x0(x03)6，記函數(shù)r(x)6，則r(x)在上單調(diào)遞增，所以rh(x0)r(2)，即h(x0)，由2，且為整數(shù)，得0，所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.16分法二：當(dāng)a1時(shí)，f (x)ln x，g(x)x3，所以h(x)(x3)ln x，由h(1)0得，當(dāng)0時(shí)，不等式2h(