高三數(shù)學(xué) 第56練 向量法求解立體幾何問題練習(xí)

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第56練 向量法求解立體幾何問題訓(xùn)練目標(biāo)會(huì)用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題訓(xùn)練題型(1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離解題策略(1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式；(4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設(shè)變量，引入?yún)?shù)，列方程求解.1.(20xx·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖，已知矩形abcd所在平面垂直于直角梯形abpe所在平面于直線ab，且abbp2，adae1，aeab，且aebp.(1)設(shè)點(diǎn)m

2、為棱pd的中點(diǎn)，求證：em平面abcd；(2)線段pd上是否存在一點(diǎn)n，使得直線bn與平面pcd所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)n的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由2(20xx·上饒?jiān)驴?如圖所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是線段ef的中點(diǎn)求證：(1)am平面bde；(2)am平面bdf.3.(20xx·南昌月考)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，b1bb1aabbc，b1bc90°，d為ac的中點(diǎn)，abb1d.(1)求證：平面abb1a1平面abc；(2)在線段cc1(不含端點(diǎn))上，是否存在點(diǎn)e，使得二面角eb1db的余弦

3、值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由4(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱adebcf和一個(gè)正四棱錐pabcd組合而成的，adaf，aead2.(1)證明：平面pad平面abfe；(2)求正四棱錐pabcd的高h(yuǎn)，使得二面角cafp的余弦值是.答案精析1(1)證明因?yàn)槠矫鎍bcd平面abpe，且bcab，所以bc平面abpe，所以ba，bp，bc兩兩垂直以b為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則p(0,2,0)，d(2,0,1)，m，e(2,1,0)，c(0,0,1)，所以.易知平面abcd的一個(gè)法向量為n(0,1,0

4、)，所以·n·(0,1,0)0，所以n.又em平面abcd，所以em平面abcd.(2)解當(dāng)點(diǎn)n與點(diǎn)d重合時(shí)，直線bn與平面pcd所成角的正弦值為.理由如下：因?yàn)?2，2,1)，(2,0,0)，設(shè)平面pcd的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面pcd的一個(gè)法向量為n1(0,1,2)假設(shè)線段pd上存在一點(diǎn)n，使得直線bn與平面pcd所成角的正弦值為.設(shè)(01)，則(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin |cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，線段pd上存在一點(diǎn)n，當(dāng)n點(diǎn)與d點(diǎn)重合時(shí)，直線bn與平面pcd所成角的正弦值為.2證明(

5、1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)acbdn，連接ne，則點(diǎn)n，e的坐標(biāo)分別為(，0)，(0,0,1)所以(，1)又點(diǎn)a，m的坐標(biāo)分別是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且ne與am不共線所以neam.又因?yàn)閚e平面bde，am平面bde，所以am平面bde.(2)由(1)知(，1)，因?yàn)閐(，0,0)，f(，1)，所以(0，1)所以·0，所以，所以amdf，同理ambf，又dfbff，df平面bdf，bf平面bdf，所以am平面bdf.3(1)證明取ab的中點(diǎn)o，連接od，ob1.因?yàn)閎1bb1a，所以ob1ab.又abb1d，ob1b1db1，ob1平面b1od，b1d平面

6、b1od，所以ab平面b1od，因?yàn)閛d平面b1od，所以abod.由已知條件知，bcbb1，又odbc，所以odbb1.因?yàn)閍bbb1b，ab平面abb1a1，bb1平面abb1a1，所以od平面abb1a1.因?yàn)閛d平面abc，所以平面abb1a1平面abc.(2)解由(1)知ob，od，ob1兩兩垂直，所以以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，|為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接b1c.由題設(shè)知，b1(0,0，)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(1,0,0)，c(1,2,0)，c1(0,2，)，(0,1，)，(1,0，)，(1,0，)，(1,2，)，

7、設(shè)(0<<1)，由(1，2，(1)，設(shè)平面bb1d的法向量為m(x1，y1，z1)，則得令z11，則x1y1，所以平面bb1d的法向量為m(，1)設(shè)平面b1de的法向量為n(x2，y2，z2)，則得令z21，則x2，y2，所以平面b1de的一個(gè)法向量n(，1)設(shè)二面角eb1db的大小為，則cos.解得.所以在線段cc1上存在點(diǎn)e，使得二面角eb1db的余弦值為，此時(shí).4(1)證明在直三棱柱adebcf中，ab平面ade，ad平面ade，所以abad.又adaf，abafa，adafa，ab平面abfe，af平面abfe，所以ad平面abfe.因?yàn)閍d平面pad，所以平面pad平面abfe.(2)解由(1)知ad平面abfe，以a為原點(diǎn)，ab，ae，ad所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)h為點(diǎn)p到平面abcd的距離則a(0,0,0)，f(2,2,0)，c(2,0,2)，p(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)設(shè)平面afc的一個(gè)法向量為