高考數(shù)學(xué)文分類匯編：第5章平面向量含答案解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第5章 平面向量第1節(jié) 平面向量的概念、基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算題型62 向量的概念及共線向量1. （20xx遼寧文3）已知點(diǎn)，則與向量同方向的單位向量為（ ）.a. b. c. d. 1.解析 則與其同方向的單位向量.故選a.題型63 平面向量的線性運(yùn)算1.（20xx江蘇10）設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，若（為實(shí)數(shù)），則的值為 .1.分析 利用平面向量的加、減法的運(yùn)算法則將用，表示出來(lái)，對(duì)照已知條件，求出，的值即可.解析 由題意，于是.故.2. （20xx四川文12）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，則 . 2.分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量數(shù)乘的幾何意義求

2、解.解析 由向量加法的平行四邊法則，得.又是的中點(diǎn)，所以，所以，所以.又，所以.3.（20xx福建文10）設(shè)為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，為平行四邊形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于（ ）.a. b. c. d. 4.（20xx新課標(biāo)文6）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（ ）.a. b. c. d. 5.（20xx浙江文9）設(shè)為兩個(gè)非零向量的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值為（ ）. a若確定，則唯一確定 b若確定，則唯一確定 c若確定，則唯一確定 d若確定，則唯一確定6.（20xx全國(guó)2文4）設(shè)非零向量，滿足，則（ ）.a b. c. d. 6.解析 由平方得，即，則.故選a.7.（20xx天津文14）在中，

3、.若，且，則的值為 .7.解析 解法一：如圖所示，以向量，為平面向量的基底，則依題意可得.又因?yàn)?，則.又因?yàn)椋瑒t，即得.解法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).依題意易得，則可得，于是有，解得.題型64 向量共線的應(yīng)用1.（20xx北京文6）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）.a. 充分而不必要條件 b. 必要而不充分條件c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件1.解析 由，若，則，即，因此.反之，若，并不一定推出，而是，原因在于：若，則或.所以“”是“”的充分而不必要條件.故選a.題型65 平面向量基本定理及應(yīng)用1（20xx廣東文10）設(shè)是已知的平面向量且關(guān)于向量

4、的分解，有如下四個(gè)命題：給定向量，總存在向量，使； 給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；給定向量和正數(shù)，總存在單位向量，使.給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使.上述命題中的向量、和，在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù) a 1 b 2 c 3 d4 1.分析 利用向量的平行四邊形法則或三角形法則、平面向量基本定理進(jìn)行判斷.解析 對(duì)于，若向量確定，因?yàn)槭谴_定的，故總存在向量，滿足，即，故正確；對(duì)于，因?yàn)楹筒还簿€，由平面向量基本定理知，總存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，滿足，故正確；對(duì)于，如果，則以為三邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果和正數(shù)確定，則一定存在單位向量和實(shí)數(shù)滿足，故正確；對(duì)于，如果給定的正數(shù)和不能

5、滿足“為三邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形”這時(shí)單位向量和就不存在，故錯(cuò)誤.故選c.2.（20xx四川文9） 已知正的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最大值是（ ）.a. b. c. d. 2. b解析 正三角形的對(duì)稱中心為，易得，.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則.設(shè)，由已知，得.又，所以，所以.因此.它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，所以.故選.題型66 向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.（20xx廣東文3）已知向量，則（ ）.a. b. c. d. 2.（20xx北京文3）已知向量，則（ ）.a. b. c. d.2. 解析 由知，所以.故選a.3.（20xx湖南文10）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，

6、動(dòng)點(diǎn)滿足,則的取值范圍是（ ）.a. b.c. d.4.（20xx陜西文18）（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.5.（20xx全國(guó)1文2） 已知點(diǎn)，向量，則向量（ ）.a. b. c. d. 5.解析 由題意可得，.故選a.6.（湖南文9） 已知點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)，且.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）.a. 6 b. 7 c. 8 d. 96.解析 解法一: 由題意，為直徑，所以，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，取得最大值.故選b.解法二 :由題意得，為圓的直徑，故可設(shè)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)“”，取所以的最大值為.故選b.7.（

7、江蘇6）已知向量，若，則的值為 7.解析 由題意，從而，解得，故評(píng)注 也可以將用與線性表示，如題型67 向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1. (20xx陜西文2）已知向量，若，則實(shí)數(shù)等于（ ）.a. b. c. 或 d. 1.解析 由.故選c.2.（20xx四川文2）設(shè)向量與向量共線，則實(shí)數(shù)（ ）. a. 2 b. 3 c. 4 d. 62.解析 由向量平行的性質(zhì)，得，解得.故選b.3.（20xx全國(guó)甲文13）已知向量，向量，且，則_.3. 解析 因?yàn)椋?，解?4.（20xx山東文11）已知向量，若，則 .4.解析 由，得，解得.第2節(jié) 平面向量的數(shù)量積題型68 平面向量的數(shù)量積1. （20xx

8、湖北文7）已知點(diǎn)，則向量在 方向上的投影為（ ）.a b c d 1.分析 首先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)投影的定義進(jìn)行計(jì)算.解析 由已知得，因此在方向上的投影為.故選a.2(20xx福建文10）在四邊形則該四邊形的面積為（ ）.a b c d2.分析 先利用向量的數(shù)量積證明四邊形的對(duì)角線垂直，再求面積.解析 因?yàn)?，所以，所?故選c.3. (20xx湖南文8）已知是單位向量，.若向量滿足 則的最大值為（ ）.a. b. c. d.3.分析 將所給向量式兩邊平方后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解.解析 因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所?又，所以，所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以的最大值為.故選c.

9、4. (20xx天津文12）在平行四邊形中， ，為的中點(diǎn).若， 則的長(zhǎng) 為 .4.分析 用表示與，然后進(jìn)行向量的數(shù)量積計(jì)算.解析 由已知得所以所以5.（20xx浙江文17） 設(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于_.5.分析 為了便于計(jì)算可先求的范圍，再求的最值.解析 根據(jù)題意，得.因?yàn)椋?，所?故的最大值為.6. (20xx安徽文13）若非零向量滿足，則與夾角的余弦值為 .6.解析 由兩邊平方，得所以.又所以.7. （20xx山東文15）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若 ，則實(shí)數(shù)的值為 7.分析 利用向量垂直的充要條件，列方程求解.解析 因?yàn)椋?，所?又，所以.所以.8. (

10、20xx重慶文14） 在為邊，為對(duì)角線的矩形中， 則實(shí)數(shù) .8.分析 畫(huà)出矩形草圖，利用向量加減運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算直接求解.解析 如圖所示，由于，所以.在矩形中，由得，所以，即，解得.9.（20xx大綱文6）已知為單位向量，其夾角為，則（ ）.a b0 c1 d210（20xx新課標(biāo)文4）設(shè)向量滿足則（ ）.a b c d11. （20xx山東文7）已知向量. 若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)（ ）. a. b. c. d. 12. （20xx安徽文10）設(shè)為非零向量，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為（ ）.a. b. c. d.13. 分析 本題考查向量的數(shù)量積

11、的最值.解析 由如下三種可能： ； ； .易知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，因此最小值為.當(dāng)時(shí)， 得，此時(shí)，不滿足題意，故舍去.綜上所述，若最小值為，則與的夾角.故選b.14.（20xx四川文10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）.a. b. c. d.15.（20xx重慶文12）已知向量_.16.（20xx江西文12）已知單位向量的夾角為，且，若向量，則 .17.（20xx陜西文13）設(shè)，向量，若，則_.18.（20xx四川文14）向量，且與的夾角等于與的夾角，則_.19（20xx湖北文12）若向量， 則 .20.（20xx江蘇12）如圖所

12、示，在平行四邊形中，已知，則的值是 21. （20xx天津文13）已知菱形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在邊，上，.若，則的值為_(kāi).22.（20xx全國(guó)2文4）向量,，則（ ）. a. b. c. d. 22.解析 由向量的坐標(biāo)表示方法知，.故有.故選c.23.（20xx福建文7）設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）.a b c d 來(lái)源:z.xx.23.解析 由已知可得，因?yàn)?，則，即，解得.故選a.24.（20xx廣東文9） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是平行四邊形，則（ ）.a b c d24.解析 因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危善叫兴倪呅畏▌t可得，所以.故選a.評(píng)注 本題考查1.平面向量的加法運(yùn)算；2.平

13、面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算25.（20xx重慶文7）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）.a. b. c. d. 25.解析 因?yàn)?，所以，即，所以，所以與的夾角為故選c26.（20xx陜西文8）對(duì)任意的平面向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）. a. b. c. d. 26.解析 因?yàn)椋詀選項(xiàng)正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，b選項(xiàng)不成立，所以b選項(xiàng)錯(cuò)誤；向量平方等于向量模的平方，所以c選項(xiàng)正確；，所以d選項(xiàng)正確.故選b.27.（湖南文9） 已知點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)，且.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（ ）.a. 6 b. 7 c. 8 d. 927.解析 解法一: 由題意，為直徑，所以，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，取得最大值

14、.故選b.解法二 :由題意得，為圓的直徑，故可設(shè)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”，所以的最大值為.故選b.28.（20xx安徽文15）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結(jié)論中正確的是 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.為單位向量；為單位向量；.28.解析 由題意作圖，如圖所示.因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，得.故正確；因?yàn)?，所以，?故錯(cuò)誤，正確；由，為等邊三角形，可得與的夾角為.故錯(cuò)誤；由.所以，故正確.綜上可知，正確的編號(hào)是.評(píng)注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性質(zhì).29.（20xx湖北文11）.已知向量，則 .29 .解析 因?yàn)?，所以即?30.（20xx山東

15、文13）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為則 .30.解析 根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示.由平面幾何知識(shí)，得.由切線長(zhǎng)定理，得.在中，所以.可得.所以.31.（20xx天津文13）在等腰梯形中，已知， ，點(diǎn)和點(diǎn)分別在線段和上，且， 則的值為 31.解析 在等腰梯形中，由，得， ，所以.32.（20xx浙江文13） 已知，是平面單位向量，且若平面向量滿足，則 32.解析 設(shè)，由，得，即.又，得，即，故.過(guò)點(diǎn)作直線，如圖所示，因?yàn)椋瑩?jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義知，在，上的投影均為，所以.故.33.（20xx北京文9）已知向量，則與夾角的大小為_(kāi).33. 解析 由已知可得，.所以.34.（20xx全國(guó)丙文

16、3）已知向量，則（ ）. a. b. c. d.34. a 解析 因?yàn)?，所?由，所以.故選a.35.（20xx全國(guó)乙文13）設(shè)向量，且，則 .35. 解析 由題意，解得.36. （20xx山東文13）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).36. 解析 由題意可得，解得.37.（20xx天津文7）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（ ）.a. b. c. d.37.b 解析 由題意作圖，如圖所示.則.故選b.38.（20xx上海文12）如圖所示，已知，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 .38.解析 由題意設(shè)，故，由線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)知.故填.評(píng)注 也可以

17、設(shè)，則，.利用三角有關(guān)知識(shí)求解.39.（20xx浙江文15）已知平面向量，.若為平面單位向量，則的最大值是_.39.解析 由已知得，所以.不妨取，設(shè)，則，取等號(hào)時(shí)與同號(hào).所以（其中，取為銳角）.顯然.易知當(dāng)時(shí)，取最大值1，此時(shí)為銳角，同為正，因此上述不等式中等號(hào)能同時(shí)取到.故所求最大值為.40.（20xx江蘇13）如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的值是 .40. 解析 解法一（基底法）：令，則，則，故，因此，.故.解法二（建系法）：可以考慮以為原點(diǎn)，所在直線為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，.則，.由題意，因此，故.評(píng)注 特別地，可以假定，建立特殊的直角

18、坐標(biāo)系.這類問(wèn)題以前也遇到過(guò)，比如下面一題.在平面四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，且，.若，則 .解析 解法一（配湊）：由題意得，從而，平方整理得.（或）.故.故填.解法二：（建系）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，從而，.由題意，從而，即通過(guò)，求解，得，即，而即為，得，即.故填.可見(jiàn)，強(qiáng)制建系歸根結(jié)底轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)（強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)）處理，而合理的建系會(huì)對(duì)運(yùn)算起到簡(jiǎn)化作用.41.（20xx全國(guó)1文13）已知向量，.若向量與垂直.則 .解析 由題得，因?yàn)榕c，所以，解得.42.（20xx全國(guó)3文13）已知向量，且，則 .解析 因?yàn)?，所以，即，解?評(píng)注 考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，公式套用即可，沒(méi)有難度.43.（20xx浙江10）如圖所示，已知平面四邊形，與交于點(diǎn)，記 ，則（ ）.a bc d 43.解析 如圖所示，動(dòng)態(tài)研究問(wèn)題:，此時(shí)有，且，故.44.（20xx浙江15）已知向量，滿足，則的最小值是 ，最大值是 .44.解析 解法一：如圖所示，和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，則，是以為圓心的單位圓上的一動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造2個(gè)全等的平行四邊形，平行四邊形所以易知當(dāng)，b，c三點(diǎn)