高考數(shù)學(xué)理分類(lèi)匯編：第4章三角函數(shù)4解三角形含答案解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四節(jié) 解三角形題型55 正弦定理的應(yīng)用1. (20xx天津理6）在中， 則（ ）.a b c d2. (20xx湖南理3）在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（ ）.a b c d 3.(20xx安徽12)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為.若，則角 .4.（20xx浙江理16）中，是的中點(diǎn)，若，則 _.5.（20xx 北京理 15）如圖所示，在中，點(diǎn)在邊上，且.（1）求；（2）求的長(zhǎng).6.（20xx廣東）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則 6.解析 解法一：因?yàn)榍?，所以或又，所以，所以，且又，由余弦定理得，所以又，解得，所以解法二：因?yàn)榍?，所以或又，所以，又，由正弦定理得?/p>

2、應(yīng)填1.7.（20xx湖南）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.7.解析（1）由及正弦定理，得,所以，即，又為鈍角，因此，故，即.（2）由（1）知，所以，于是，因?yàn)?所以,因此，由此可知的取值范圍是 .8.（20xx全國(guó)甲理13）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則 8. 解析 解法一：由題可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又.由余弦定理可得.解法三：因?yàn)椋?由正弦定理得，解得9.（20xx江蘇15）在中，（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值9. 解析 （1）因?yàn)?，而，所?由正弦定理，故（2）因?yàn)?，所?又，所以，故10.（20xx浙江理16）在中

3、，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，.已知.（1）求證：；（2）若的面積，求出角的大小.10.解析 （1）由正弦定理得，故，于是又，故，所以 或，因此（舍去）或，所以（2）由，得.由正弦定理得，因?yàn)椋糜?，所以?dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得綜上所述，或11.（20xx天津理15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（1）求和的值；（2）求的值.11.解析 （1）在中，因?yàn)椋视?，可?由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（）及，得，所以，故.12.（20xx山東理9）在中，角，的對(duì)邊分別為，若為銳角三角形，且滿(mǎn)足，則下列等式成立的是（ ）.a. b. c. d.12.解析 因?yàn)?，所以，又，得，?

4、故選a.題型56 余弦定理的應(yīng)用1. (20xx重慶理20）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求；（2）設(shè)，求的值.2.（20xx山東理17）設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且，.（1）求，的值；（2）求的值.3.（20xx 江蘇理 14）若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則的最小值是 4.（20xx 天津理 12）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，則的值為_(kāi).5.（20xx 湖南理 18）如圖所示，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）若，求的長(zhǎng).6.（20xx安徽）在中，,點(diǎn)在邊上，求的長(zhǎng)6.解析 解法一：設(shè)的內(nèi)角，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得，由題設(shè)知，所以在中，由正弦定理得解法二：如圖所

5、示，設(shè)由余弦定理得，所以在中，設(shè)，則，故，即 ，即 由式，式得，即7.（20xx福建）若銳角 的面積為 ，且 ，則 7.解析 由已知得的面積為，所以又因?yàn)?，所以由余弦定理得，所?.（20xx江蘇）在中，已知，（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值8.解析 （1）由余弦定理，解得（2）.因?yàn)?，故，故評(píng)注 在運(yùn)算的過(guò)程中類(lèi)似，可不化簡(jiǎn)，有時(shí)候會(huì)利于下面的運(yùn)算9.（20xx陜西）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量與平行（1）求；（2）若，求的面積9.解析 （1）由可知， ，由正弦定理，得.(2)由余弦定理，得.所以.10.（20xx天津理3）在中，若， ，則（ ）.a.1b.2 c.3d.410.a解析 由余弦定理得

6、，解得.故選a.11.（20xx全國(guó)丙理8）在中，邊上的高等于，則（ ）.a. b. c. d.11. c 解析 如圖所示.依題意，.在中，由余弦定理得故選c.12.（20xx北京理15）在中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.12. 解析 （1）由題設(shè)可得.由余弦定理，可得.又，所以.（2）由（1）可得，.再由，得，所以.由，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 取到最大值，且最大值是1.題型57 判斷三角形的形狀1. (20xx陜西理7） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則 的形狀為（ ）.a. 銳角三角形 b. 直角三角形 c. 鈍角三角形 d. 不確定題型58 解三角形的綜合應(yīng)用1. (20xx陜西

7、理9） 在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長(zhǎng)（單位）的取值范圍是（ ）.a. b. c. d. 2.（20xx 江西理4）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為.若，則的面積是（ ）.a. b. c. d. 3.（20xx 新課標(biāo)2理4）鈍角三角形的面積是， ，則 （ ）.a. b. c. d. 4.（20xx 重慶理 10）已知的內(nèi)角滿(mǎn)足，面積滿(mǎn)足，記分別為所對(duì)的邊，則下列不等式成立的是（ ）.a. b. c. d. 5.（20xx 福建理 12）在中，則的面積等于 .6.（20xx 廣東理 12）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為.已知，則 . 7.（20xx 山

8、東理 12）在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為.8.（20xx 四川理 13）如圖，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸的俯角分別為，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度約等于 .（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：，）9.（20xx 新課標(biāo)1理16）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則面積的最大值為 .10.（20xx 浙江理 17）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小.若，則的最大值 .11.（20xx 大綱理 17） 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已.求.12.（20xx 江蘇理 18）170

9、m60 m東北oabmc如圖，為了保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋與河岸垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心在線段上并與相切的圓且古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)位于點(diǎn)正北方向處，點(diǎn)位于點(diǎn)正東方向處（為河岸）， （1）求新橋的長(zhǎng)； （2）當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？13.（20xx 山東理 16）已知向量，函數(shù)，且的圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求的值；（2）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的單調(diào)遞增區(qū)間.14.（20xx 浙江理 18）（本題滿(mǎn)分14分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求角的大?。唬?）若

10、求的面積.15. (20xx福建理13）如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上， ，, 則的長(zhǎng)為 .16（20xx湖北理17）在中，對(duì)應(yīng)的邊分別是 已知(1) 求角的大小(2) 若的面積，求的值17（20xx江西理16） 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知()(1) 求角的大?。?2) 若，求的取值范圍18（20xx四川理17） 在中，角的對(duì)邊分別為，且（1）求的值；（2）若，求向量在方向上的投影19. （20xx江蘇18）cba如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車(chē)到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從

11、乘纜車(chē)到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，.（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？20. (20xx全國(guó)新課標(biāo)卷理17）在內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求面積的最大值.21.（20xx北京）在中，則 .21.解析 在中，由正弦定理得，由余弦定理得，因此.22.（20xx湖北）如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂d在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的

12、高度 m. 22.解析 在中，所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，在中，因?yàn)?，所以，所? 23.（20xx全國(guó)1）在平面四邊形中，則的取值范圍是 .23.解析 解法一：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則可知，且在中，在中，由正弦定理可得，所以由題意可得在中，由正弦定理可得 ，所以又因?yàn)?，所以的取值范圍?（解法一圖） （解法二圖）解法二（構(gòu)造法）：如圖所示，構(gòu)造，使得，則，取邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，使得若平移使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)四邊形退化為，且可在中利用正弦定理求得；若平移使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)四邊形退化為，且可在中利用正弦定理求得又因?yàn)槭瞧矫嫠倪呅?，所以點(diǎn)應(yīng)在點(diǎn)與點(diǎn)之間，且不與點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以的取值范圍是24.

13、（20xx天津）在中，內(nèi)角， 所對(duì)的邊分別為， ，已知的面積為 ，則的值為 .24.解析 因?yàn)椋?，又，所以，解方程組得，由余弦定理得，所以.25.（20xx全國(guó)2）在中，是上的點(diǎn)，平分，是面積的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的長(zhǎng).25.分析 (1)用正弦定理求面積的方法寫(xiě)出面積，然后根據(jù)已知條件中面積為2倍關(guān)系、角相等進(jìn)行代換；(2)由(1)的結(jié)論得高相同，面積比等于邊長(zhǎng)比，再由余弦定理建立等式來(lái)求解.解析 (1)根據(jù)題意可得右圖，由正弦定理得，又因?yàn)椋?所以得.由正弦定理得.(1) 由題意知，所以. 又因?yàn)?，所以在和中，由余弦定理得，故?1)知，所以即所求為，.26.（20xx山東）

14、設(shè).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角中，角的對(duì)邊分別為. 若，求面積的最大值.26.解析（1）由題意知由，可得，；由，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由，得，由題意知為銳角，所以由余弦定理，可得，即，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此所以面積的最大值為27.（20xx四川）如圖所示，為平面四邊形的四個(gè)內(nèi)角.(1)求證：；（2）若，求的值.27.分析（1）首先切化弦得，為了將半角變?yōu)閱谓?，可在分子分母同時(shí)乘，然后逆用正弦與余弦的二倍角公式即可；（2）由題設(shè)知，該四邊形的兩對(duì)角互補(bǔ). 再結(jié)合（1）的結(jié)果，有，所以只需求出即可. 由于已知四邊，且，故考慮用余弦定理列方程組求，從而求出.解析 （1）

15、.（2）由，得，.由（1），有.連接，在中，有，在中，有所以，則，所以.連接，同理可得，所以.所以.28.（20xx浙江）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，=.(1)求的值；(2)若的面積為，求的值28.（1）解析 解法一：由余弦定理，又，所以消去得，所以，所以.解法二: 由及正弦定理得，所以 ，所以（2）由得.又，所以由正弦定理得，（或由（1）知）所以，所以，所以29.（20xx重慶）在中，的角平分線，則_.29.解析 如圖所示，由正弦定理易得,即，故,即，在，知，即由于是的角平分線，故在中，易得在中，由正弦定理得，即，所以30.（20xx上海理9）已知的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則該三角形的外接

16、圓半徑等于 30解析 不妨設(shè)，則，故，因此31.（20xx全國(guó)乙理17）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)31.解析 （1）由已知及正弦定理得，即，故，可得，所以.（2）由已知得，.又，所以.由已知及余弦定理得，故，從而.所以的周長(zhǎng)為.32.（20xx山東理16）在中，角，的對(duì)邊分別為，已知.（1）求證：；（2）求的最小值.32.解析 （1）由題意知，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)?，所?從而.由正弦定理得.（2）由（1）知，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.33.（20xx四川理17）在中，角， 所對(duì)的邊分別是， ， ，且.（1）求證：；（2）若，求.33.解析（1

17、）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，.代入中，有，可變形得在中，由，有，所以（2）由已知，根據(jù)余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故34.（20xx全國(guó)丙理21）設(shè)函數(shù)，其中，記 的最大值為.（1）求；（2）求；（3）證明34.解析 （1）.（2）當(dāng)時(shí)，.因此.當(dāng)時(shí)，將變形為.令，則是在上的最大值，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為.令，解得且，所以.（i）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，所以.（ii）當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)，在上的圖像.由如圖所示的圖形可知，我們得到如下結(jié)論當(dāng)時(shí)，.綜上可知，.（3）由（1）得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，.所以；綜上所述有.35.（20xx江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻

18、璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，容器的兩底面對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為和 分別在容器和容器中注入水，水深均為 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長(zhǎng)度為（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）.（1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度；（2）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度 35.解析 （1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處，如圖所示為截面的平面圖形因?yàn)?，所以，從?記與水面的交點(diǎn)為， 過(guò)點(diǎn)作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為（2）如圖所示為截面的平面圖形，是正棱臺(tái)兩底面的中心由正棱臺(tái)的定義，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處過(guò)作，為垂足，則因?yàn)椋?，從而設(shè)，則因?yàn)?，所以在中，由正弦定理可得，解?因?yàn)?，所以，于是記與水面的交點(diǎn)為，過(guò)作，為垂足，則平面，故，從而答：玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為評(píng)注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識(shí)，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應(yīng)用題讓學(xué)生有畏懼之感，且該應(yīng)用題的實(shí)際應(yīng)用性也不強(qiáng)也有學(xué)生第（1）問(wèn)采用相似法解決，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒沒(méi)入水中部